対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 相似図形に対する長さ、面積、体積の拡大率を適用する
- 平行線の角度と三角形の内角和を用いて未知の値を求める
- 相似と合同、および十分条件を区別する
前提知識：三角形の内角の和、三平方の定理、長さ・面積・体積の単位。
説明し、方法を選択する
長さスケールkを持つ類似図形について、対応する長さはk倍され、面積はk²倍され、体積はk³倍される。これらの法則は、すべての対応する寸法が共に変化する場合に適用される。半径だけが二倍され高さ固定の円柱は、体積が八倍ではなく四倍である。指数を選ぶ前に、どの次元がスケーリングされたかを明記せ。
正しい幾何学的計量を用いる：三角形の面積は底辺×垂直高の半分；円柱の体積は底面積×高さである。表面積は露出した面を加算し、体積は閉じ込められた空間を測る。斜線長は必ずしも面積公式に必要な垂直高ではない。結果に平方単位または立方単位を付記せ。
対頂角は等しい。平行線に横断線が交わる場合、対応角と内側錯角は等しく、同側内角の和は180°となる。三角形の内角の和は180°であり、外角はそれに対応する2つの遠方内角の和に等しい。これらの法則は図の見た目ではなく、明示されているまたは印字された平行線に依存する。
相似三角形は対応角が等しく、対応する辺の比が一定である。合同三角形はさらに対応する長さも等しい。2つの角が等しければ相似だが、大きさの同一性は保证されない。比を書く際は対応関係を維持すること。SSA（辺-辺-角）配置は合同を普遍に保証しないのに対し、SAS（辺-角-辺）は2辺の間の角を含むため合同を保証する。
縮尺（スケールファクター）$k$は、すべての対応する長さを変化させます。 相似な図形における $A_2=k^2A_1$ と $V_2=k^3V_1$。 $k=3/2$ と $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$ が成立する場合、$A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$ です。 一つの寸法のみを変更しても、これらの相似の規則を正当化することはできません。
Worked example. Two similar solids have edge ratio 2:3, so surface-area ratio is 4:9 and volume ratio 8:27. A triangular garden with base 12 m and perpendicular height 5 m has area 30 m². If a triangle has interior angles 48° and 67°, its third is 65° and the adjacent exterior angle is 115°=48°+67°.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
相似な容器の表面積が 96 と 216 平方センチメートルの場合、小さい方の体積は 160 立方センチメートルです。大きい方の体積を求めよ。
Reasoning. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Volume uses the cube: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Using area ratio directly would give the wrong volume.
練習 2
直角三角形の斜辺が 13 cm、片辺が 5 cm です。もう一方の辺、その面積、および 5 cm の辺の対角の正弦を求めよ。
Reasoning. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
練習 3
Two interior angles of a triangle are 42° and 73°. Find the third angle and its adjacent exterior angle. Would those angles alone determine all side lengths?
Reasoning. Third angle is $180-42-73=65$ degrees. Its adjacent exterior angle is $180-65=115$ degrees, also $42+73$. Angles establish shape, not scale; similar triangles can have different side lengths.
練習 4
Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find its matching corresponding angle and the adjacent angle on the second line. Explain which given condition justifies each step.
**推理。**平行線により対応角 68°が等しくなる。隣り合う角は一直線の角をなすため、残りは 180°−68°=112°である。等しい対応角の条件は平行線であり、一直線の和の性質は直線上での隣接関係による。平行線なしの類似した図では、最初の等式を正当化できない。
Limits and next use
全体形状がスケールされる場合にのみk²やk³を使用し、未印のスケッチから平行線や垂直の高さを推論しないでください。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。