対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 平均値、中央値、範囲、標準偏差を定性的に比較する
- 全データ値に追加または乗算することの影響を予測する
- 値と頻度を混同せずに頻度情報を読み取る
前提知識：順序データ；頻度；平均値と中央値。
説明し、方法を選択する
The mean uses the sum of all observations divided by their count; the median is the middle of the ordered observations. Frequency means a value repeats: if 2 occurs three times and 8 once, the mean is (3·2+8)/4=3.5, not (2+8)/2. The horizontal positions on a display are values and the frequencies determine how many observations they represent.
範囲は最大値から最小値を引いたものです。標準偏差は平均値からの一般的な距離を示します。単純で中心等った分布を比較する場合、完全な公式を暗記する必要はありません; 平均値の近くに密集したデータは、対称的に遠く離れたデータよりも標準偏差が小さくなります。外れ値は平均値とばらつきを大きく変更しながら、中央値を安定させたままにすることがあります。
全観測値に c を加えると、平均値と中央値は c だけ増加しますが、ペア間の距離が変わらないため、範囲と標準偏差は変化しません。全観測値を正の k で乗算すると、平均値、中央値、範囲、標準偏差はすべて k 倍になります。より一般に、ばらつきは |k| 倍にスケールされ、負の乗数順位を逆転させます。
プロットを比較する際は、見かけの幅を判断する前にスケールと観測値の数を確認してください。横方向に引き伸ばされたグラフは異なる値を表さずに、より変動があるように見えることがあります。標準偏差の等価性に関する主張には、単なる等しい範囲や等しい平均値ではなく、実際の分布が必要です。
頻度は反復観測の回数を示す。 値1, 3, 7がそれぞれ頻度2, 1, 1を持つ場合、4つの観察値は1, 1, 3, 7を表します。 $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. 中央値は $(1+3)/2=2$ であり、平均値と等しいとは限らない。
Worked example. A={4,5,6} and B={0,5,10} both have mean and median 5, but B has greater spread. Adding 7 gives A+7={11,12,13}, mean 12 and the same standard deviation as A. Multiplying A by 2 gives {8,10,12}; its mean is 10 and its range and standard deviation double. Equal range alone does not guarantee equal standard deviation.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
値 2, 5, 8 の頻度は 3, 2, 1 です。平均値、中央値、範囲を求めよ。
** Reasoning.** データは 2,2,2,5,5,8 です。$\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$。中央値は位置 3 と 4 の平均 $(2+5)/2=3.5$ です。範囲は $R=8-2=6$ です。
練習 2
すべての観測値が $z=3x-4$ だけ変化しました。新しい平均値、中央値、範囲を求めよ。計算せずに標準偏差がどのように変化するか述べよ。
Reasoning. Mean $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. Median is $3(3.5)-4=6.5$. Range is $3(6)=18$. Standard deviation triples; subtracting 4 changes no distance from the mean.
練習 3
A = {0, 0, 10, 10} と B = {0, 5, 5, 10} を比較する。両方とも範囲は10である。標準偏差も等しくなるか？理由を示せ。
** Reasoning.** 両方の平均は 5 です。A のすべての観測値は平均から 5 離れています。B の距離は 5,0,0,5 です。したがって、B の方が平均二乗偏差が小さく、標準偏差も小さいです。範囲が等しいだけでは不十分です。
Limits and next use
頻度が異なる場合、異なるカテゴリのラベルを平均したり、分布がシフトしたものと広く分散したものを混同したりしてはならない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。