対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 単位を保ちながら比例関係を用いる
- 比率を変換し、直接比例と反比例を区別する
- 正しい基準を用いて連続的な変化と百分率比較を計算する
前提知識：分数；単位変換；百分率の基底。
説明し、方法を選択する
比は特定の順序で数量を比較したものです。赤:青 = 3:5 で合計が 64 の場合、8等分された部分それぞれに8が含まれるため、赤は 24 、青は 40 です。比 3/5 は赤を青に対して表し、3/8 は赤を合計に対して表します。要求される分母を読み取り、最初に見える分数を使わないでください。
単位数は数量を対応する時間、距離または個数で割ったものです。不要な単位が消えるように変換係数を記述します: 72 km/h に 1000 m/km を掛け、3600 s/h で割ると 20 m/s になります。面積と体積の変換では長さの係数を二乗・三乗します。1cm² は 1m² を100で割ったものではありません。
直接比例 y=kx において、x を倍にすれば y も倍になります；逆比例 xy=k において、x を倍にすれば y は半分になります。同一労働者による一定作業の共有は、生産性と条件が固定されている場合にのみ、時間の逆比例モデルとなります。一定の初期料金をレートに加えると、原点を通る直接比例ではなく、アフィン線形モデルとなります。
百分率変化は、変化量を元の比較基準で割ることで求められる。連続した百分率変化はその因子を掛け合わせる。20% 引き followed by 20% 上げは、元の $0.8\times1.2=0.96$ となる。パーセントポイントと相対的な百分率を区別すること。30% から 36% への変化は6ポイントだが、20% の相対的な増加である。
比率は、単位のついた quantity と比較するものです。 $v=d/t=(90\,\mathrm{km})/(1.5\,\mathrm{h})=60\,\mathrm{km/h}$. Canceling units（割り消し単位）を使って変換する：$v=(60\,\mathrm{km/h})(1000\,\mathrm{m/km})/(3600\,\mathrm{s/h})=50/3\,\mathrm{m/s}$。 複合比率の分子だけを変換しないこと。
** worked example.** 250 ユニットの価格が 20% 引いて 200 になり、その結果を 20% 上げると 240 となり、250 より4%低い。ポンプは 18 リットルを 3 分で供給するので、流量は 6 L/min または 0.1 L/s である。一定の流量で、45 リットルには 7.5 分かかる。株式が 40% から 50% に上昇した場合、上昇幅は 10 パーセントポイントであり、旧株価に対する相対的な比率は 25% である。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
赤と青の塗料を比率4:7で混ぜ、33リットルを作る。それぞれの量を求めよ。赤塗料はリットルあたり18元、青塗料は12元である。合計費用を求めよ。
Reasoning. 11の部分があるため、それぞれが3 Lです。赤い液体の体積は$V_r=33(4/11)=12\,\mathrm{L}$、青い液体の体積は$V_b=33(7/11)=21\,\mathrm{L}$です。コストは$C=p_rV_r+p_bV_b=(18\,\mathrm{yuan/L})(12\,\mathrm{L})+(12\,\mathrm{yuan/L})(21\,\mathrm{L})=468\,\mathrm{yuan}$です。
練習 2
400元の品物が15%下落し、その後10%上昇した。最終価格と全体としての単一の百分率変化を求めよ。
Reasoning. 連続乗数を用います。$P=P_0(1-0.15)(1+0.10)=(400\,\mathrm{yuan})(0.85)(1.10)=374\,\mathrm{yuan}$。相対変化は$r=(P-P_0)/P_0=(374-400)/400=-0.065$であり、6.5%の減少です。
練習 3
ポンプは秒間0.15リットルを供給する。54リットルを排出するには何秒かかるか？ 一辺が30cmの正方形がある。その面積を平方メートルで示せ。
Reasoning. $t=V/q=(54\,\mathrm{L})/(0.15\,\mathrm{L/s})=360\,\mathrm{s}=6\,\mathrm{min}$。二乗する前に辺を変換してください：$A=s^2=(0.30\,\mathrm{m})^2=0.09\,\mathrm{m^2}$；面積の変換係数は10000であり、100ではありません。
Limits and next use
どの金額が百分率の基準となるかを明示し、単位を可視的に消去する。等しい正の百分率変化と負の百分率変化では、異なる基準が用いられる。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。