対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 有用な関数の形から零点、頂点、パラメータを読み取る
- 加法的線形変化と乗法的指数変化を区別する
- 入出力の変化を追跡しながらグラフを変換する
前提知識：関数表記；平方；成長倍率。
説明し、方法を選択する
頂点形式 a(x-h)²+k は頂点 (h,k) と开口方向を示し、因数分解形は零点を示す。同じ関数は両方の形式を持つことができる。文脈において、どの特徴が意味を持つかを決定せよ。下向きの放物線の頂点には最大の高さが生じ、零点は地面に戻ることを表すことがある。
y=A b^t において、A は t=0 の時の値、b は単位時間あたりの倍率である。成長率 r を用いると b=1+r、減衰では b=1-r となる。等しい差は線形モデル、等しい比は等しい入力ステップにおける指数モデルを示す。文脈的な根拠がない限り、どちらのモデルも定義域を超えて外挿してはならない。
出力シフト f(x)+k はすべての点を垂直に k だけ移動させる。入力シフト f(x-h) はグラフを h だけ右へ移動させる：新しい x が大きいときに古い入力が得られる。外側の倍率は出力を拡大・縮小し、負の外側係数は x 軸に対して反射させる。点を確認せずに方向を暗記するのではなく、代数的に変換を決定せよ。
複数単位時間の間に与えられた指数倍率については、その区間と1単位の区間を区別せよ。3時間ごとに倍増する場合、2^(t/3) となり、2^t ではない。放物線については、求められた表現を用いて極値を読むか、入力を求める。初期値、成長倍率、成長パーセンテージは分離して扱え。
頂点形式 $a(x-h)^2+k$ から転換点 $(h,k)$ が読み取れる。 $H(t)=-2(t-4)^2+32$ において、$t=4$ のときの最大値は 32 です。 $H(t)=0$ を設定すると $(t-4)^2=16$ が得られ、したがって $t=0,8$ となる。 問題が飛翔を表す場合、時間を物理的な区間に制限せよ。
Worked example. h(t)=-4(t-3)²+36 has a maximum 36 at t=3, with zeros t=0 and 6. N(t)=80(1.25)^t starts at 80 and grows 25% per unit; N(2)=125. A quantity doubling every three hours is 80·2^(t/3), so after six hours it is 320. If f(x)=x², f(x-2)+5 has vertex (2,5).
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
モデルの高さは $H(t)=-3(t-2)^2+12$ メートルで、発射から地面に戻るまでに $t$ 秒かかる。定義域、最大高度、高さが少なくとも 9 メートルである時間の区間を求めよ。
Reasoning. 地面とは $H=0$ を意味するため、$(t-2)^2=4$ と $t=0,4$ が該当します。定義域は $0\le t\le4\,\mathrm{s}$ です。負の平方係数は最大値 $H(2)=12\,\mathrm{m}$ を与えます。$H\ge9\,\mathrm{m}$ については、$(t-2)^2\le1$ なので、$1\le t\le3\,\mathrm{s}$ です。
練習 2
ある培養モデルは、初期細胞数が 120 であり、2時間ごとに倍率 1.5 で増殖する。時間を $N(t)$ 時間として $t$ を表し、$N(4)$ を求め、倍率と百分率での増加を区別せよ。
Reasoning. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ cells. $N(4)=120(1.5)^2=270$ cells. The growth is 50% per two hours, not 150%; the four-hour factor is 2.25. The hourly factor would be $\sqrt{1.5}$.
練習 3
$f(x)=(x+1)^2$ の場合、$g(x)=-2f(x-3)+5$ の頂点とその最大値または最小値を求めよ。
** reason.** 符号を解釈する前に入力値を代入します。$g(x)=-2(x-2)^2+5$ は頂点 $(2,5)$ と最大値 5 を持ちます。それまでの頂点 $-1$ は3単位移動して 2 になりました。
Limits and next use
1.25 という因子は、25% の成長を意味し、125% の成長ではない。f(x-2) は右にシフトし、繰り返し使用される百分率は更新された量を用いる。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。