対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 二次方程式、絶対値方程式、有理方程式、根号方程式を解く
- 元の方程式や定義域に反する候補解を却下する
- 直線と非線形曲線の交点を見つける
前提知識：因数分解；置換；定義域の制約。
説明し、方法を選択する
展開する前に構造を利用します。因数分解された二次方程式がゼロになるのは、少なくとも1つの因子がゼロのときです。絶対値方程式|u|=aは、a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0の場合、実数解を持ちません。正の分支分だけでなく、許容されるすべてのケースを考慮してください。
有理方程式の場合、通分する前に分母の零点を除外します。通分によって除外された値に候補が生まれることがあります。根号方程式の場合、主平方根は非負であることを念頭に置き、それを単独にして慎重に二乗します。二乗は片方向の含意しか持たないため、得られたすべての候補を元の式で検証する必要があります。
直線と放物線の連立方程式を解くには、直線の式を二次方程式に代入します。実数解がxの値を与え、直線を使って各yを取り戻します。実数解がない場合、実数交点はありません。重解则有接し、異なる2つの実数解则有2つの交点を与えます。
A graph or calculator can help locate candidates and check scale, but rounded intersections are not exact proof when the question asks an exact value or solution count. Relate graphical behaviour to the algebraic equation. A double root should not be counted twice as two different ordered pairs.
候補根は元の方程式を満たさなければならない。 $\sqrt{x+6}=x$において、右辺は非負でなければならない。 二乗すると $x^2-x-6=0$ となるため、候補は $3,-2$ です。 元の条件式を満たすのは$3$のみである：$\sqrt9=3$。
Worked example. √(x+2)=x requires x≥0. Squaring yields x²-x-2=0, so x=2 or -1; only 2 works in the original. For y=x+2 and y=x², solve x²-x-2=0: x=2,-1, giving (2,4) and (-1,1). For |2x-1|=5, solve 2x-1=5 or -5 to obtain x=3 or -2.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
実数において$\sqrt{2x+3}=x$を解き、なぜ候補が却下されるかを説明してください。
Reasoning. $x\ge0$ を要求します。二乗して $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$ を得ます。候補は 3 と -1 です。元の式は 3 で $\sqrt9=3$ を与えますが、-1 では $\sqrt1=1\ne-1$ を与えます。有効なのは $x=3$ のみです。
練習 2
$y=x+2$と$y=(x-1)^2$を連立して解け。正確な順列を答え、交点の個数を検証せよ。
Reasoning. 出力を等置して $x+2=x^2-2x+1$ を得、または $x^2-3x-1=0$ を得ます。したがって $x=(3\pm\sqrt{13})/2$ と $y=(7\pm\sqrt{13})/2$ は符号が一致しています。判別式 13 は正であるため、2つの異なる実数の交点があります；$y$ に対する両方の式は導かれた方程式によって一致します。
練習 3
$|3x+2|=7$ と $(x^2-9)/(x-3)=6$ を解き、なぜこれらの方程式の解の個数が異なるのか説明してください。
** reason.** 絶対値は $3x+2=7$ または $-7$ を与えるため、$x=5/3$ または $-3$ です。有理方程式は $x\ne3$ を必要とし、$x+3=6$ に簡略化されますが、その唯一の候補 3 は除外されます。したがって解はありません。
Limits and next use
変形後の方程式の解をすべて報告する前に、元の制約条件や枝分かれを確認してください。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。