対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 値を変えずに因数分解と展開を行う
- 元の定義域内で有理式と根号式を簡略化する
- 式の構造を利用して零点と係数を特定する
前提知識：分配法則、平方の差、実数の平方根。
説明し、方法を選択する
展開では各因子を他の因子に分配し、因数分解はその逆の操作です。x²-5x+6=(x-2)(x-3)のように、積の形は零点を露わにし、展開した形は係数を露わにします。質問が求める目的に合わせて適切な形を選択してください。どちらか一方が常に優れているわけではありません。
和の項ではなく因子のみを約分します。(x²-4)/(x-2)はx≠2のときx+2になりますが、元の式はx=2で定義されません。簡略化後の式から分母が消えても、制約が残ることがあります。約分前にそれを明記し、比較や方程式の求解でも引き継ぎます。
指数法則は文脈によります：a^m a^n=a^(m+n)や(a^m)^n=a^(mn)は許容された実数領域でのみ成立します。負の指数は逆数を作り、ゼロでない底を必要とします。実数の平方根の場合、√(x²)=|x|となります。主平方根は非負であるため、すべての実数xに対してxになるわけではありません。
等価性を確認するためには数値代入が使えますが、1つの一致する値だけでは2つの式が等しいことを証明できません。有効な代数恒等式と一致する定義域があれば確立されます。係数が求められている場合は、必要な範囲まで展開し、そのべき乗への寄与をすべて考慮してください。
同値変形は、指定された定義域上で一致しなければならない。 $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$は$x\ne5$の場合にのみ成立する。 約分によって因数を取り除けるが、除外された入力値を復元することはできない。 主平方根は負にはならないため、$\sqrt{x^2}=|x|$も成立しない。
** worked example.** (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 （ただし x≠3）。x=3 のとき元の式は定義されません。x=-5 のとき、√(x²)=5=|x| です。(2x+1)(x-4) における x の係数は -8+1=-7 であり、展開した式は 2x²-7x-4 です。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
$F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$ を簡略化せよ。元の制約をすべて挙げ、なぜ$F$ が後者の式の定義域全体において$x/(x+4)$ と同一でないかを説明せよ。
解説。 分子 $x(x-4)$ と分母 $(x-4)(x+4)$ を因数分解する。元の定義域は $x=4,-4$ を除外する。約分により、$x\ne4,-4$ に対して $F(x)=x/(x+4)$ が得られる。後者の式だけでは $4$ を許容し、その結果は $1/2$ となるが、$F(4)$ は未定義である。
練習 2
$(3x-2)(x+5)$における$x$の係数を求め、$x=1$のとき$\sqrt{(x-5)^2}$の値を計算せよ。
解説。 展開すると$3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$となるため、係数は13である。根は$|x-5|$であり、$x=1$においては$|-4|=4$となり、$-4$や16ではない。
練習 3
ある生徒が$x=2$をテストし、$x^2$と$2x$が等価であると結論づけた。この結論を反証し、実際に両者が一致する点を求めよ。
推論。 $x=3$ において出力は 9 と 6 であるため、一致するテスト1つだけでは証明にならない。$x^2=2x$ を $x(x-2)=0$ として解くと、$x=0,2$ だけが得られる。
Limits and next use
簡略化された式は、必ずしもより大きな定義域を持つ等価関数とは限りません。加減の項を約分することはできません。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。