A.5 · ガリレオ相対性と特殊相対性

この資料は、コースが 2025 に初めて評価された際のHLトピックの一部を扱っており、全カリキュラムではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

この観察を説明するのは何か？

• 2人の観測者は、同一の出来事間の時間を異なる値として割り当てることができる。クロックの読み数は、参照系と出来事が具体的に指定されて初めて意味を持つ。

モデルを構築する

• 特殊相対性理論において、慣性系観測者は真空中の光速度を同じ値で測定する。
• 時間延长は、ある地点で二つの出来事が発生した地点で測定される固有時間と、別の慣性系での間隔を比較するもの。
• 固有時間: ある座標系内で同一地点で測定される出来事間の時間。
• 慣性系: 自由物体が一定の速度で運動する座標系。

モデルを検証できる証拠を選ぶ

• ロ伦ツ因子は、1 を、1 から光速の二乗に対する速度の二乗を引いたものの平方根で割った値である。
• ガリレオ速度合成則は、光速に比べて十分小さい速度における近似である。

実験室で: 代入する前に、どの座標系が固有時間または固有長を測定するかを明示せよ。出来事の座標を一貫して使用せよ。変換なしに、一つの座標系の長さと別の座標系の間隔を併用するな。

既知の値から始める

• 既知：v = 0.60c および固有時間が 4.0 マイクロ秒である。γ = 1/√(1-v²/c²) = 1/√(1-0.60²) = 1.25。Δt = γΔt₀ = 1.25×4.0 = 5.0 マイクロ秒（指定された第二のフレーム内）。

あなたの番: 固有間隔が 8 マイクロ秒で、ガンマが 1.25 のとき、他座標系での間隔を求めよ。

結論とその限界を確認する

• 時間延长は計器の故障ではない。
• 固有長は物体の静止系で測定され、収縮した長さはその物体が運動している座標系で測定される。

誤り: すべての慣性系観測者が任意の二つの出来事間の時間間隔を同じ値で測定しなければならない。同時性と持続時間は座標系に依存する: 相対運動にある慣性系観測者は、通常、同一の二つの出来事間の異なる時間間隔を測定する。唯一共有されるのは、出来事の静止系で測定される固有間隔のみである。

重要：

• 特殊相対性理論において、慣性系観測者は真空中の光速度を同じ値で測定する。
• ロ伦ツ因子は、1 を、1 から光速の二乗に対する速度の二乗を引いたものの平方根で割った値である。
• 注意：時間延長は計測器の誤差ではない。

伸長された間隔 18 マイクロ秒から記述する

• 固有区間は 12 μs で、ガンマは 1.5 。
• 別の系における間隔を求める。慣性観測者は、時間の長さについて必ずしも一致しない。

長さの収縮から導く

• 棒が 0.80c で移動し、静止長は 10 m である。γ = 1 ÷ √(1 − 0.64) = 1.67。
• 移動距離 = 10 ÷ 1.67 = 6.0 m — 棒は運動方向にのみ縮み、横方向には縮まない。

ミオンの時計から導く

• ミューオンの固有寿命は 2.2 マイクロ秒；0.995c で移動し、γ ≈ 10。
• 実験室座標系での寿命 ≈ 22 マイクロ秒 — 地面に到達するのに十分長く、大気中で毎日測られている。