T.1 · Real analysis and topology

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：量化された命題、不等式、数列、連続関数。

• 数列および関数の極限の定義を適用する
• コンパクト性、連結性、完全性の区別を行う
• 測度空間および初等的位相論的推論を用いる

コンパクト: 任意の開被覆は有限部分被覆を持つ。

上界（supremum）: 集合の上界の中で最小のもの。

epsilon-delta 命題は十分に近い入力をすべて制御する。量化子の順序は重要である。

実ユークリッド空間において、閉かつ有界な集合はコンパクトである。この同値をすべての測度空間に適用してはならない。

コンパクト集合の連続像はコンパクトであるため、コンパクトな定義域上の実連続関数は極値をとる。

連結性は、不交な非空開部分への分解を排除する。連続性は連結性を保つが、完全性は別の性質である。

f(x)=x は (0,1) 上で連続かつ有界であるが、その上包 ⟨1⟩ と一致することはない。一方、[0,1] 上では同じ関数は 1 で最大値をとる。端点の欠如が、圧縮的定義域に関する定理が最初のケースには適用されない理由である。

定理の結論は、その仮定が検証される前に使用してはならない。

明示的な epsilon-delta の選択を用いて $f(x)=x^2$ の 2 での連続性を証明せよ。また、$[1,3]$ 上で最小値をとる理由を別途説明せよ。

解例

$\epsilon>0$ が与えられたとき、$\delta=\min(1,\epsilon/5)$ を選べ。$|x-2|<\delta$ ならば $1<x<3$ であり、したがって $|x+2|<5$ となる。

その選択は epsilon に依存し、後の入力 x には依存しない。区間 $[1,3]$ は通常の实测度において非空かつコンパクトである。連続性により極値がとられる。ここでは $x^2\ge1$ であり、1 で等号が成り立つため、最小値は 1 である。

標準距離を持つ度量空間 $X=(0,1)$ において、X は有界か。自身に対して閉集合か。コンパクトか、あるいは完全か。なぜ「閉かつ有界ならコンパクト」という命題がここで適用できないかを説明せよ。

解答後の確認

X の complement（補集合）は空集合であるため、X は自身に対して有界かつ閉である。Cauchy 列 $1/(n+2)$ は X 内に極限を持たないため、X は完全ではなく、したがって度量空間としてコンパクトでもない。直接的には、相対開被覆 $\{(1/n,1):n\ge2\}$ が X を被覆するが有限部分被覆を持たない。 ハイネ–ボレルの定理は、単に任意の選定された空間で閉であるだけでなく、ユークリッド空間の部分集合として閉かつ有界であることを要求する。X は $\mathbb R$ 内では閉ではない。議論の途中から大域空間を変更して定理の仮定を改めることはできない。