C.8 · Trigonometric phase and parametric curves

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：ラジアン三角関数、導関数、および曲線のパラメータ表示法。

• 振幅、角周波数、位相角、水平シフトを区別する
• パラメータを除去しつつ、その定義域や軌道の進行方向を残す
• 垂直接線が定常点であることを仮定せずに、パラメータ微分を用いる

位相角: 周期関数の引数に含まれる角度のずれであり、全周期を単位として定義される。

パラメータ曲線: 座標が共通のパラメータの関数として指定された曲線。

y=A cos(ωx−φ)（A>0、ω>0）において、振幅は A、周期は 2π/ω、水平シフトは φ/ω である。位相角 φ はコサインの引数内で測定され、ω=1でない限り水平シフトそのものではない。周期には山から山までの間隔を、振幅には中央線から山までの距離を initially とする。位相を求めるには既知の点を代入し、その点での運動方向を確認する。等価な位相は 2π の倍数だけ異なる。

y=−2 cos(3x) の場合、正の振幅を持つモデルとして 2 cos(3x−π) に書き換える。振幅は 2、周期は 2π/3、位相は π であり、等価な右シフトは π/3 である。極大値は 3x−π が 2π の倍数となる点で現れる。点 (x=0, y=0) だけでは位相を一意に決定できない：傾きや別の点を用いて可能な角度を区別する。単位と角度の慣例は重要であり、通常の微積分における三角関数の導関数はラジアンを用いる。

パラメータ曲線とは x=x(t), y=y(t) で指定される。t を除去すると点の集合を表すが、制約や進行方向を失うことがある。x=cos³t, y=sin³t において、実数の立方根を用いると |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1 となり、軸上の頂点を持つ星形線になる。t が 0 から 2π まで変化するとき、(1,0) を通り、π/2 で (0,1) を通過し、反時計回りに進む。t を [0, π/2] に制限すると第一象限の弧のみになり、隠蔽方程式の全領域にはならない。

dx/dt≠0 のとき、dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) である。水平接線は通常 dy/dt=0 かつ dx/dt≠0 を要し、垂直接線はその逆の条件を要する。両方が零の場合、0/0 を勾配とするのではなく、極限または局所展開 inspect する。x=t², y=t³ において t=0 で、t≠0 の商は 3t/2 であり零に収束する：頂点は水平接線を持つ。パラメータ速度が零であっても、それが y を x の関数としたときの局所的な最大値・最小値を意味するわけではない。

y=−2 cos(3x) について、極小値には x=0 が含まれ、極大値には x=π/3 が含まれる。位相表現 2 cos(3x−π) は同じ値を与える。x=2 cos t, y=sin t において、t を消去すると x²/4+y²=1 となる；t=π/4 において dx/dt=−√2 および dy/dt=√2/2 であるため、傾きは −1/2 となる。完全なパラメータ区間 [0,2π] は楕円を一度だけ反時計回りに描く。

位相角と水平シフトは周波数因子によって異なります。暗黙方程式は曲線の追跡されていない部分を追加します。両方のパラメータ微分がゼロになる場合、すべての点を極値としてラベル付けするのではなく、局所的な推論を使用してください。

$y=-3\cos(2x)$ について、振幅、周期、正の振幅を持つ位相表現、および対応する水平シフトを記述せよ。楕円 $x^2/9+y^2/4=1$ を反時計回りにパラメータ化せよ。

解例

振幅は三、周期は $2\pi/2=\pi$ である。$y=3\cos(2x-\pi)$ を書け。位相は $\pi$、右シフトは $\pi/2$ である。位相とシフトは同一ではない。一つのパラメータ化は $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$ であり、($(3,0)$) を始まり、当初上向きに進む。t を除去して楕円の方程式を確認する。

$x=t^2,y=t^3$ について、$-1\le t\le1$ 上で t=0 における描かれた軌跡と接線を求めよ。パラメータ速度の消失が接線の存在しないことを証明するか？隠蔽方程式だけでパラメータの制限全体が残るか？

解答後の確認

除去によって $y^2=x^3$ が得られ、$0\le x\le1$ および y の両方の符号を含む。t が零でないとき、$dy/dx=3t/2\to0$ である。原点からの接線傾きは $y/x=t\to0$ でもあり、頂点は水平接線を持つ。両方のパラメータ導関数が零になるため、生きた商 $0/0$ は結論的ではなく、接線の欠如を証明するものではない。無制限の隠蔽方程式にも x>1 の点が含まれるため、区間の制限は別途持ち運ぶ必要がある。