Q.D-data · Data analysis: spread, weighted averages and conditional probability

評価対象の短形タスク内での従来の教室実践。適応型テストをシミュレートしたり、スケール化された点数や作文点数を予測したりするものではない。

• 平均値、中央値、ばらつき、加重平均を区別する
• 分布や重複事象・条件付き事象の数を解釈する
• 表に基づく推論において、正しい参照総量を使用する

加重平均: 各グループの寄与や規模を考慮に入れた平均値。

排反: 同一の結果の中で同時に発生することができない事象。

平均は総和を個数で割ったもの、中央値は並べ替えたときの中央の値、あるいは中央の二つの値の平均である。範囲は最大値から最小値を引いたものである。極端な値は中央値を変化させずに平均や範囲を変化させることができる。標準偏差は平均からのばつくり感を測る。定数を加えると中心は動くがばつくり感は変わらず、すべての値にcを掛けると標準偏差も|c|倍になる。

グループをその個数と組み合わせて計算し、グループの大きさが等しくない限り、グループ平均の単純な平均値として扱わない。10個で平均6のグループは合計60に寄与し、30個で平均10のグループは合計300に寄与する。全体の平均は (60+300)/40=9 となる。部分集合の割合は、その部分集合の標本数を分母とする。

同様の確率を持つ離散事象では、確率は「有利な事象の数」を「全事象の数」で割ることで求められる。条件付き確率は、分母を与えられた条件に限定する。無復元抽出は後の事象の数を変化させる。重複する事象については、和集合を求める際に重複部分を引く必要がある。独立性は明示的に示すか、合理的に裏付ける必要があり、互いに排他的であることとは異なる。

推論を行う前に、グラフの軸、単位、および標本の説明を確認する。相関関係は因果関係を特定するものではない。利便性サンプルは対象集団を代表しない可能性がある。基本的な計数には、役割が異なる場合は順序付き掛け算を用い、順序が重要でない場合は重複配置で除算する。事象と事象の結果を明確に定義しておく。

袋には赤いカウンター4個（うち3個にマーク）、青いカウンター6個（うち1個にマーク）が入っている。合計でマーク付きカウンターは4個。P(赤)=4/10, P(マーク)=4/10, P(マークが与えられたとき赤)=3/4。放回せずに2個赤を選ぶ確率は(4/10)(3/9)=2/15であり、(4/10)²ではない。データ1,2,3,4,20に対して、平均値=30/5=6、中央値=3。各値に5を加えると平均値と中央値は5だけシフトするが、対偏差や標準偏差は変わらない。

条件が変わると参照対象となる母集団も変わります。グループの平均値には重みが必要であり、取り出しなしの抽出では分母が変化します。

グループAは12個の観測値で平均5、グループBは八個で平均10である。併合平均を見つけよ。データ1,2,3,4,20について平均、中央値、範囲を見つけよ。すべての値に7を加えることで標準偏差がどのように変化するか説明せよ。

モデル解答と推理

The combined total is $12(5)+8(10)=140$ across twenty observations, so mean is seven. An unweighted average of five and ten would incorrectly ignore group sizes. In the second data set, sum is thirty, mean six, median three and range nineteen. Adding seven shifts all values and their mean together; every deviation from the mean is unchanged, so standard deviation is unchanged.

40人の学生のうち、24人が美術、18人が音楽を専攻しており、10人は両方を専攻している。美術を専攻している場合に音楽を専攻する確率と、少なくとも一方を専攻する確率を求めよ。これらの事象は独立しているか？ また、すべての測定値を-3倍したとき、標準偏差がどうなるかを説明せよ。

解答後の確認

Conditioning on art gives $P(M\mid A)=10/24=5/12$. The union count is $24+18-10=32$, so union probability is 4/5. Independence would require $P(A\cap M)=P(A)P(M)$, but $10/40=1/4$ differs from $(24/40)(18/40)=27/100$. The events are not independent. Scaling every deviation by -3 scales its square by nine and the square root by three, so standard deviation triples. It cannot become negative.