FP3 · Further Pure Mathematics 3

純粋数学 3 (FP3、試験紙 WFM03/01、1 時間 30 分、75 点、最初の評価 June 2020) は最後の純数学単元である：P1–P4 および FP1 は前提知識とみなされ、出題されることがある。これにより以下が追加される 双曲線関数とその逆関数、焦点-準線 の性質、残りの微分・積分技法（降次公式、弧長、回転体表面積）、三次元における直線と平面のベクトル积、 固有値と対角化までの行列代数である。この参考書はこれらすべてを網羅しており、 固有値と対角化までの行列代数。このリファレンスにはすべてが含まれており、 6月 2025 試験紙が解法示例として機能している。

FP3 で必須（前提知識として扱われ、再講義されない）：

双曲線関数は指数関数から構成されます： $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ と $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$、および $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$ 。$\cosh$ のグラフは カテナリー であり、 even である 最小 $(0, 1)$ ； $\sinh$ は原点を通じて奇関数である； $\tanh$ は奇関数であり、 漸近線 ⟨$y = \pm 1$⟩ の間に収まっています。随時導出すべき2つの恒等式は $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ と $\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$ です。和積変換の 恒等式は三角関数のものに対応しています。

** worked example — 定義からの恒等式（WFM03 June 2025 Q1）**。 $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$ を示せ。左側から：

$e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ を $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ とペアにし、同様に $4x$ 項について—— 各ステップは ⟨$e^{\pm x}e^{\pm 5x}$⟩ の積に関する計算処理であるため、得点には 消去を行う前に指数形式を示すことが求められます。次に $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$ を解きます： 恒等式が $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$ に圧縮し、$\cosh$ がゼロになることはないので、 $\cosh 5x = 4$ となり、$5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ が得られ、 $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

** worked example — cosh–sinh 方程式（オリジナル）**。$2\cosh x + \sinh x = 2$ を解く： 指数の定義により $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$ となるので、 $3e^x + e^{-x} = 4$、すなわち $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$、すなわち $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$、および $x = 0$ または $x = -\ln 3$。元の式で両方を確認する — 平方运算は絶対に不要である。

$\sinh$ と $\tanh$ は単調増加であり $\cosh$ も $x \ge 0$ に対して単調であるため、逆函数は一意に存在し、それらのグラフは制限された元の函数の $y = x$ に対する対称移動によって得られる。 対数相当式は引用するだけでなく導出可能でなければならない：

導出パターン (arsinh)。 $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$ を置く：すると $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$ に挟まれており、したがって $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ （負の解は除外されるため、 $e^x > 0$) and $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. The same quadratic-in-$e^x$ structure solves every 混合双曲線方程式を正確に解きます。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ は、参数形式で表されます。 $x = a\cos t$, $y = b\sin t$；双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ は $x = a\sec t$, $y = b\tan t$ を持ち、さらに $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$（右側の枝）も持ちます。この 離心率 $e$ は、すべてを 焦点- 准線 性質に結びつけます。 $PS = e\cdot PN$ （焦点への距離 = $e$ × 準線への距離） ：楕円の場合 $b^2 = a^2(1 - e^2)$ において、焦点は $(\pm ae, 0)$、准線は $x = \pm\dfrac ae$ です。双曲線の $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ においても、同じ焦点および准線の公式が適用されます。

例題 — 離心率と焦点（WFM03 6月 2025 Q9a）。Hについて： $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$、よって $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ と $e = \tfrac{\sqrt{113}}8$；焦点は $(\pm\sqrt{113}, 0)$ である。

二次曲線に $y = mx + c$ を代入して判別式をゼロにすると、接線の 条件が得られる：楕円では $c^2 = a^2m^2 + b^2$、双曲線では $c^2 = a^2m^2 - b^2$ （したがって $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ が必要となる）。参数点では微分を行う —— 判別式は不要である。 軌跡の問題は FP1 を再現する：焦点への距離、中点、または一定の比。

Worked example — tangent, normal and a focal circle (WFM03 June 2025 Q9b–e). At $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ における H ：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$、よって接線は

$y$-軸と $Q = (0, -7\cot\theta)$ で交わる；与えられた法線 $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ が $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$ で交わります。直径 $QR$ （端点が $q, r$ で、 $y$ 軸上にある）を持つ円の方程式は $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$ であり、これはある点 $(x, 0)$ が $x^2 = -qr$ のときのみ。ここで $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ は $\theta$ は円上にある。$113 = (\sqrt{113})^2$ が相殺される点は問題の核心である。 $(\pm\sqrt{113}, 0)$ は円周上にある。$\theta$ の約分が、この問題の核心である。

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$ およびその逆関数から： $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — 各々を $y = f(x)$ の逆変換によって証明し、 暗黙的に微分することで導かれ、定義域内でのみ有効である。

** worked example — 制限された定義域における逆関数の微分（WFM03 June 2025 Q4）。** 以下において、 $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ を ⟨$x > 0$⟩ に変換する場合：

$x > 0$ は $\sqrt{x^2}$ を $x$ に変換する — 定義域の条件が実質的な役割を果たしている。したがって、 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ が $x = 1$ と $y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$ を与える。

標準的な結果は微分の結果と対応する。根号を含む分母については、まず平方完成を行い、 逆関数の場合は部分積分を行う — $u$ を逆関数、$1$ を残りの部分とする：

** worked example — 両方の技法（WFM03 June 2025 Q2）。** (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$：$4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$ であるため、 この積分は $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ となる （微分して確認する）。 (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$。

暗記すべき4つの積分があり、それぞれ $x = a\sinh t$ （または $x = a\tan t$、$a\coth$-型分割）によって解く： $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. 帰納公式 は $I_n$ を $I_{n-1}$ （または $I_{n-2}$）で表す： 部分積分を行い、根号を $v$ とし、残った根号の積分を $I_n$ の定義を用いて書き換える。 弧長 および 回転体の表面積 には $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ および $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ （パラメータ表示の場合、$s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ で $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ を $S$ に置き換える）。

Worked example — building a reduction formula (WFM03 June 2025 Q5). With $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, take $u = x^n$ and $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

$\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ を用いて $I_n$ と $I_{n-1}$ を露出させる。まとめると： $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ と $I_1 = 6$ で置換 （直接代入により）、次に $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$、および $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$ を与える $I_3 = \tfrac{3322}{35}$。

Worked example — a surface with a sinh substitution (WFM03 June 2025 Q7). Rotating $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, through $2\pi$ about the $x$-axis (calculator-banned): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$ 。$2\sin 2x = \sinh\theta$ を用いて、 $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$ の間 $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ の間において $0$ と $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$ が一致するため、$S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ は — $\cos 2x$ の因子が正確に相殺されるため、この置換が適用される理由である。

外積 $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ は 両方の因子に垂直であり、 $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — 平行四辺形の面積を持つ。スカラー三重積 $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ は符号付きの平行六面体の体積であり、ゼロであれば3つのベクトルは同一平面上にあることを意味する。直線： 平面：$\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ または $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$ で、 平面：$\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ または $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ かつ $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$；最短距離 $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$ ；最短距離 異面直線の間：アンカー点のオフセットを共通法線に射影する $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

** worked example — 平面から直線へ、さらに距離まで (WFM03 June 2025 Q8)。** $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: 法線は $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$であり、基準点を代入すると $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$となる。 $\Pi_2: x - y + z = 7$との交点: 直線の方向は $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ であり、ある一点 の両平面の交点は $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$ なので、 $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$となる。 $A(2,1,3)$ と $B(3,0,2)$ を通る直線の方向は $(1,-1,-1)$ であり、共通の法線は $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$ であり、最短距離は

行列式と逆行列は $3\times3$ に拡張され、任意の行または列に沿って展開できる（符号 $+\,-\,+\,-\,+\,-$）；$\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$ は、余因子行列の転置であるアジュガット行列である。 特異行列（$\det = 0$）は逆行列を持たず、 次元を圧縮する。$(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ および $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ 。固有値 $\lambda$ は、 固有ベクトル $\mathbf v$ が $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ を満たすことを意味する — 行ごとに各 $\mathbf{Av}$の成分は、$\lambda$と$\mathbf v$の対応する成分の積（ $\lambda$そのものではない）である。$\mathbf v$が与えられたとき、非ゼロの积を持つ行から$\lambda$を読み取る；そうでない場合、 $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ を解き、逆代入を行う。対称行列 $\mathbf A$ において、 異なる固有値に対する固有ベクトルは直交し、正規直交行列 $\mathbf P$ が 固有ベクトルで対角化される：$\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$ 。

** worked example — 与えられた固有ベクトルからの固有値（WFM03 June 2025 Q3 ）** $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ は固有ベクトルを持つ $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$ 。行 1 ：$1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$ なので、$\lambda = 3$ 。行 2 ： $3 + 2a + b$は$\lambda\times 2 = 6$と等しくなければならず、行3において、$a + 2 + b$は次のように等しくなる $\lambda\times 1 = 3$ 。よって ⟨$2a + b = 3$ ⟩ と ⟨$a + b = 1$ ⟩ ：引き算により、$a = 2$ と ⟨$b = -1$ ⟩ 。これらを用いて $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$：トレースは$2$であり、展開すると 行1に沿って、$\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$となる。残りの 固有値の和は$2 - 3 = -1$、積は$\tfrac{-6}3 = -2$となる。すなわち、それらは$1$と$-2$である。固有ベクトル：$\lambda = 1$に対して、 $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$を解くと$-\,y + 4z = 0$と$3x + y - z = 0$が得られるため、 $\mathbf v = (-1, 4, 1)$となる。$\lambda = -2$に対しては、$(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$が与える ** worked example — パラメータを含む特異行列と逆行列（WFM$3x - y + 4z = 0$ June $2x + y + z = 0$ Q$\mathbf v = (-1, 1, 1)$ ）** 行列式による検証は自由である：$3 + 1 - 2 = 2$ ✓ および $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓。

** worked example — パラメータを含む特異行列と逆行列 (WFM03 June 2025 Q6 )** $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$であるため、$\mathbf A$は $k = -\tfrac98$のとき特異となる。コファクターの転置である共役行列式（adjugate）により、

積の(1,1)成分を検証する：$(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, これは行列式と相殺されて$1$ ✓ となる。

• $\cosh, \sinh, \tanh$を指数関数から定義し、基本的な恒等式を導出する。$e^x$二次方程式を用いて混合方程式を解き、正確な$\ln$の答えを得る。
• $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$対数の形を導出する。逆関数を微分し、定義域を適切に考慮する。
• 楕円および双曲線のパラメータ表示を使用し、$b^2 = a^2(1-e^2)$と$a^2(e^2-1)$の変換を行う；焦点および准線を配置し、パラメータ点における接線/法線、または$y = mx + c$条件$c^2 = a^2m^2 \pm b^2$を用いて求める。
• 双曲線関数および逆関数を微分・積分する。$\int\operatorname{arcosh}$型被積分関数に対する部分積分を含む。
• 4つの根号/有理型定積分を理解する。部分積分による帰約公式を構築して反復計算を行う。弧長と回転体表面積を正確に計算する。
• Compute $\mathbf a\times\mathbf b$ and $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ with their area and volume meanings; move between plane and line forms; find point-to-plane and skew-line distances.
• Evaluate $3\times3$ determinants, invert via the adjugate, handle the singular case, find eigenvalues/eigenvectors (normalised when asked) and diagonalise symmetric matrices with an orthogonal $\mathbf P$.