P4 · Pure Mathematics 4

純数学 4 (P4) は国際Aレベル数学における最終必須純数学単元である。 および国際Aレベル純数学。P1–P3 は既知であり、WMA14/01 で出題される可能性がある。 試験紙(1時間30分、75点; 同一の電卓および公式集規則)。この参考書は、帰無法による証明、部分分数、パラメータ方程式、一般二項級数、暗黙的微分およびパラメータ微分、微分方程式、拡張された 積分法、回転体積、およびベクトルを網羅する。 級数、暗黙的微分およびパラメータ微分、微分方程式、拡張された 積分法、回転体積、およびベクトル。

P4 で必ず知っておくべき内容（公式集には含まれない）：

背理法とは、命題の否定を仮定し、不可能性を導き出し、 元の命題を結論とする手法である。2つの古典的な例は必ず覚えること：

計算例 — $\sqrt2$ は無理数である。（ある数が無理数とは、分数 $\tfrac pq$ がその数に等しくない場合をいう。）代わりに $\sqrt2 = \tfrac pq$ が既約 約分された分数（$p, q$互素な整数、$q \ne 0$）。

• 二乗する：$2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$、したがって$p^2$ は偶数、よって$p$ も偶数： $p = 2r$.
• つまり$4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$、よって$q$もまた偶数である。
• $p$と$q$の両方が偶数であることは、$\tfrac pq$が既約分数であることに反する。$\blacksquare$

** worked example — 素数の無限性。** 有限個だと仮定する： $p_1, \ldots, p_k$.

• $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$を考える。$N$を任意の$p_i$で割った余りは1である。
• したがって $N$ そのものが素数か、リストに含まれない素数の約数を持つ。いずれにしても素数 $\{p_1, \ldots, p_k\}$ の外側にあることになり、仮定と矛盾する。$\blacksquare$

** worked example — 三角関数の矛盾**（Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q10より改编）。すべての$90° < x < 180°$に対して$\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$であることを示せ。

• Suppose not: some $x$ in the range has $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Squaring (both 両辺：
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• しかし$90° < x < 180°$から$180° < 2x < 360°$が導かれ、これは$\sin 2x < 0$—矛盾となる。
• よってそのような $x$ は存在せず、$\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ は範囲全体で成り立つ。$\blacksquare$
• $x = 135°$での確認：$\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓；$x = 100°$での確認： $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

有理関数を部分分数に分解する。分母は 重複線形因子の複雑さを保つ：$(ax+b)(cx+d)(ex+f)$または$(ax+b)(cx+d)^2$で、重複因子 $(cx+d)$のべき乗にわたって分割される；二次因子は不要である。** improper fractions** （分子の次数$\ge$分母の次数以上）はまず割り算を行う。

** worked example — 異なる因数.** $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ を分解する（P2 シートファミリーより）： シートファミリー）：

• $x = 0$ で確認：左辺 $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$；右辺 $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓。

計算例 — 重複因数。 $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$ を因数分解する。

• 重複因数を両辺の指数にまたがせて設定する：
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• 両辺に掛けると：$3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$。
• $x = 0$ において：$6 = A$。$x = -1$ において：$3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$。
• $x^2$ を比較：$3 = A + B \Rightarrow B = -3$。
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• $x = 1$ で確認：左辺 $= \tfrac{16}{4} = 4$；右辺 $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓。

パラメータ式は、パラメータ $t$ を通じて両座標を与える： $x = f(t)$, $y = g(t)$。$t$ を片方の変数の主として表すことでカルテシアン形式に変換する。 方程式に代入する（または恒等式を利用する）。 $x$におけるパラメータ写像が破れる除外値。

** worked example ** 曲線は $x = 2t$、$y = t^2 - 1$ を通る。カルテシアン方程式を求めよ。

• $x = 2t$ より：$t = \dfrac x2$ なので、
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• $t = 3$ で確認：$(x, y) = (6, 8)$；カルテシアン：$36/4 - 1 = 8$ ✓。

** worked example — 参数点和法线 ** （Edexcel IAL WMA14 June 的事实验证） 2025 Q5)。参数曲线在 $t = 2$ 时经过 $P(-7, -3)$，此处斜率为 $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$（来自 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$）。

• 法线斜率：$-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$。
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• 確認：$5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓。

任意の有理数 $n$ および $\lvert x \rvert < 1$ について：

まず因数分解する：$(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$、有効範囲は $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$。有理関数を部分分数に分解し、 各成分を展開する。$n$ が正の整数でない限り、展開式は有限项にはならない。

** worked example ** （Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q8 改编）。将 $\sqrt{4 + x}$ 展开为 非零項3つまで展開せよ。

• 因数分解：$\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$、有効範囲 $\lvert x\rvert < 4$、かつ $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• $x = 1$ での確認：級数は $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$ を与える；真 $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ （第3項が2項の値 2.25 を 0.002 以内に引き下げている）。

暗黙微分では、$x$ に対して両辺を微分し、 $y$ を $x$ の関数として扱う：$\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$、および $xy$ のような積については 積の微分法を用いる必要がある：$\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$。その後、$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。

パラメータ微分：$dx/dt\ne0$ のとき $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ となる。それ以外の場合は、接線を直接確認する。

** worked example — 暗黙接線 **（Edexcel IAL WMA14 6月 2025 Q1 に基づいて適宜修正）。曲線 $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ は点 $\left(\tfrac12,\ 4\right)$ を通る。 その点における接線の方程式を求める。

• 項ごとに微分する：
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• $\left(\tfrac12, 4\right)$ 处：$\mathrm{e}^{1-1} = 1$，所以
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• 接線：$y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$。
• 確認：$38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓。

形を変化率の説明から式に作成し、分離可能な方程式を解く：

変数分離中に除算された値を確認すること：定数解が失われる可能性がある。特解には境界条件を用いる。関連する変化率には連鎖律を用い、$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$ を適用する。

** worked example — 溶ける球体 **（Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q2）。半径 $r$ cm の球体は体積$V = \tfrac43\pi r^3$を持ち、$\dfrac{dV}{dt} = k$（一定、単位 cm³/秒）で溶ける。$\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$ を示せ。

• 体積の関係を微分する：$\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$。
• 連鎖律：$k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$、したがって
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• 定数$\dfrac{k}{4\pi}$が$\dfrac{1}{r^2}$を掛け合わせる：半径の減少率は 半径$r^2$に反比例する。$\blacksquare$
• 解释：小球体以不成比例的速度消失——最后一毫米融化得最快 最も速く溶ける。

worked example — 分離可能な方程式（Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q3より改変）。 $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$ を解き、$y = 4$ が$x = \tfrac\pi6$ のとき与えられた場合。

• 変数を分離する：$\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$（右辺は積分して 至 $\tfrac32\sec 2x$，反转 $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$)：
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• 代入 $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$：$16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$，因此 $C = 10$：
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• 確認：$3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓。

• 置換（通常与えられる）: 積分式を $u$ に書き換え、$dx$ を調整する $\dfrac{du}{dx}$ 调整，积分后回代。这是链式法则的逆运算。
• 部分積分: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — 積の微分則の逆。 $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ と $\int x^2\mathrm{e}^x dx$-型の積分における反復部分積分を理解する。
• 部分分式分解 将有理被积函数转化为 $\dfrac{A}{ax+b}$ 的和（积分 得到对数）与 $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$（得到幂次）。

** worked example — 反復が予見される部分積分。** $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ を求める（三角関数の曲線による回転体体積計算で必要）。

• $u = \mathrm{e}^x$ と $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$ を用いた部分積分：
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• 新しい定積分に対して再度部分積分を行う（$u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$）：
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• 元の定積分が再び現れるので、これをまとめよ：
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• 微分して確認： $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓。

$y = f(x) \ge 0$ の曲線下の領域を $x$-軸周りに回転させると、その体積は

回転体の体積 となる

先对方程平方再积分，利用恒等式处理 $\sin^2$/$\cos^2$，并且 線形性によって分割する。パラメータ方程式の場合、$y^2\,dx$ を $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ に置き換え、 パラメータの値の間で計算する。パラメータ曲線下の面積には $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$ を用いる。

** worked example — 恒等式を用いた体積計算** （構造は Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q9 から適応）。 $y = 3\cos x$ の曲線下で $0 \le x \le \tfrac\pi2$ の範囲の領域が $x$-軸周りに回転する。正確な体積を求めよ。

• 验证：$\cos^2x$ 在半周期内的平均值为 $\tfrac12$，故 $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ 精确成立。

ベクトル は大きさ（magnitude）と方向を持ち、$\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ や列ベクトルとして表される。

大きさ$\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; $\mathbf a\ne\mathbf0$の方向への単位ベクトルは$\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$である。零ベクトルには方向がない。

加算とスカラー倍は幾何的な意味を持ち（平行移動、拡大縮小、一方が他方の倍数のとき平行）、

スカラー積$\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$は、$\cos\theta$を用いて非零ベクトル間の角度を求める。$B$の$A$に対する位置ベクトルは$\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$である。

** worked example — 45°の三角形**（Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q6、完全検証済み）。 $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$、および角 $BAC = 45°$ 。

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$、したがって $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$；$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$。
• 内積：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$ 。
• $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$ との角の条件：
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• 確認: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ 内積と一致する。

• 帰納法的矛盾証明（√2 、素数）において仮定を明記し、矛盾点を命名する。
• 再帰線形因子を含む部分分数分解；不適分式は除法を行う まず；代入値によって検証する。
• 除外値を含むパラメータ方程式 ↔ カートシアン座標への変換； dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) を用いて接線と法線を求める。
• 有効性条件付きで有理 $n$ における $(a + bx)^n$ の展開； 部分分数の展開を統合する。
• 積の微分法を用いた混成項の暗黙的微分とパラメータ微分； 関連する変化率から微分方程式を構成する。
• 境界条件付き可分方程式を解き、特解を検証する。
• 置換積分、部分積分（再帰、$\ln x$ 含む）、部分分数による積分。
• 回転体 $\pi\int y^2 dx$ の体積と、 $dx/dt$ を用いたパラメータ面積の計算。
• ベクトルの利用：大きさ、単位ベクトル、位置ベクトル；スカラー積と角度。