P3 · Pure Mathematics 3

純粋数学 3 (P3) は P1 および P2 を拡張する：有理関数と逆関数、絶対値、 合成変換、三角関数の逆数、調和形式、対数グラフモデル 適合、完全な微分法則、識別による積分、数値手法。P1 および P2 の知識が前提とされ、WMA13/01 試験（1時間30分、75 点；同じ電卓および公式集規則）で出題される可能性がある。

P3 で必ず知っておくべき公式（公式集に含まれない）：

有理式の簡略化は因数分解と約分により行い、代数除法 は分母を二次式まで対応させる。因子のみ約分し、項を約分してはならない。

関数とは一対一または多対一の対応であり、その定義域は許容される入力の集合である。 その値域は出力である。合成 $fg$ は「まず $g$ を行い、次に $f$ を行う」ことを意味する。 逆関数 $f^{-1}$ は $f$ の逆作用を行う（$f$ が一対一対応のときのみ存在し）、 $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$；$f^{-1}$ のグラフは、$y = x$ について $f$ のグラフを反射したものである。

解例 — 逆関数と合成（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q1 より改変）。 $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) $f$ の値域。

• $x = 0$ において：$f(0) = 0$；$x \to \infty$ が下から $f(x) \to \tfrac23$ に近づくとき、$f$ は増加している （$x$ が大きくなると $f(x)$ も大きくなる）。
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) $f^{-1}(x)$ を求める。

• $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ とおいて $x$ について解く：
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Check: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓。

(c) $f^{-1}(x) = f(x)$ を解く。

• 確認：$f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓。

絶対値 $|x|$ は、$x \ge 0$ に対しては $x$、$x < 0$ に対しては $-x$ となる：$y = |ax + b|$ は 直線 $y = ax + b$ で、負の部分を軸上方に反射したものである。$y = f(x)$ が与えられたら、 $y = |f(x)|$ を描く（軸下の部分を反射）および $y = f(|x|)$ を描く（右半分を残してそれを左へ反射）。 絶対値方程式をグラフ的または場合分けで解き、各解を検証する。

合成変換は P1 ルールを同時に適用するものであり、例えば $y = 2f(3x)$ または $y = f(-x) + 1$ ：伸縮は倍率を掛け合わせ、平行移動 subsequently で位置を変化させる；カリキュラムで指定された順序に従う。 $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ を一つの式に統合する ($y = f(ax+b)$ は必須ではない)。

例題 — 絶対値方程式 (規定の固有例題)。$|2x - 1| = x + 5$ を解け。

• Case $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ ($x \ge \tfrac12$ を満たす)。
• Case $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$)。
• 両方の解は $x = 6$ と $x = -\tfrac43$ である。確認：$|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

逆関数:

恒等式 $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ と $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$ を用いる。 それらのグラフには、分母関数がゼロとなる位置に漸近線がある。逆三角関数 $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ は定義域の制限が必要である：$\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$。

調和形: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ において、 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$と$\tan\alpha = \dfrac ba$ — 一つの数、一つの角度、最大化の準備完了 または解く。

** worked example — 調和形 **（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q2より改変）。 $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$を$R\cos(x + \alpha)$、$R > 0$、$0 < \alpha < 2\pi$の形に表す。

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$を展開して対応させる： $25\cos\alpha = 7$と$25\sin\alpha = 24$、したがって$\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$および
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• 確認：$25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ および$-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓。

** worked example — 恒等式の証明**（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q8aより改変）。 $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• $3x = 2x + x$を書き、合成角の公式を用いる：
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• 代入する：
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ は定義されない ✓ 整合性あり。

$y = e^x$は$(0, 1)$を通り、無制限に増加する；$\ln x$はその逆関数で、定義域は $x > 0$であり、$y$軸が漸近線である。$e^{ax+b} = p$を解くには$\ln$を取り、 $\ln(ax + b) = q$を指数関数的に変換する。

対数グラフモデル：$y = ax^n$に対して、両辺の対数をとると$\log y = n\log x + \log a$となる— $\log y$を$\log x$に対してプロットすると、傾きが$n$、切片が$\log a$の直線になる。 $y = kb^x$に対して、$\log y$を$x$に対してプロットする：傾き$\log b$、切片$\log k$。

** worked example — べき乗則の復元**（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q3より改変）。 $\log_{10}y$–$\log_{10}x$の直線は$(-3.5, 0)$と$(0, -2)$を通る。$y$を$px^q$として表す。

• 傾き：$\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$；切片：$-2$：
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• 変換: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, よって
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Check with a point on the line: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

** worked example — 指数減衰モデル** (Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q6 より改変)。A プロセッサーが $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ は °C、$t$ は分) で冷却され、初期値は 75 °C、5 分後に 25 °C に達します。$A$、$k$ を求め、温度が 9 °C/分 で下がっている時の時間を求めよ。

• $t = 0$ において: $75 = 21 + A$ なので、 $A = 54$ となる。
• $t = 5$ において: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• 変化率: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; $-9$ と等置する:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• 初期値 は 75 °C、長期的な下限値 は 21 °C です。
• 確認: $T = 2.19$ において、$\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C、減少中 $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/min ✓。モデルの下限値は 21 °C（室温）であり、 $t$ が大きい場合でも妥当です。

$\sin kx$、$\cos kx$、$\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$)、$e^{kx}$、$\ln kx$ を微分 ($\to \tfrac1x$)、および和・差を計算する。

3つの法則が適用範囲を広げます。積の法則、商の法則、そして **合成関数の微分法（連鎖律）**です。

$\sec x \to \sec x\tan x$、$\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$、$\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ は 商の法則。暗黙微分では $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

** worked example — product rule and chain ruleの併用**（specification自身の例による）。 $e^{-x^2}\sin 3x$ を微分せよ（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q7 より適宜修正）。

• 積の法則を $u = e^{-x^2}$ に適用（chain: $u' = -2xe^{-x^2}$）と $v = \sin 3x$ （$v' = 3\cos 3x$）：
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• $x = 0$ での確認：導関数 $= 1 \times (3 - 0) = 3$、かつ $0$ 付近で曲線は次のように振る舞う $\sin 3x$ で勾配 3 ✓。

標準形を直接積分し、識別形（↭ の内部に $f'$ を見出すこと）を用いる：

三角関数の恒等式により、 $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ を積分可能な形に変換する ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

** worked example — 恒等式を先に**（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q5 より適宜修正）。次を求める $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• 倍角公式 を $A = 3x$ に適用： $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$ なので、 $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$ ：
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• 微分して確認： $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓。

** worked example — 識別**。 $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$ を求める。

• 分子は分母の導関数である（$f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$）：
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• 確認： $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓。冪関数の形も同様に有効： $u = 3x^2 + 4$ と $du = 6x\,dx$ において、
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  そして $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ を微分すると $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• 符号の変化： $f$ が $[a, b]$ で連続であり $f(a)f(b) < 0$ である場合、根は $a$ と $b$ の間に存在する。区間を半分にして、任意の精度で根を特定できる。
• 反復計算: $x_{n+1} = f(x_n)$ の初期値からの反復が固定点（またはその逆）に収束するか、常に符号変化の境界と照合して確認する。 必ず符号変化の境界で検証すること。

** worked example — 解の位置付けと反復計算**（Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q7 より改変）。 $y = e^{-x^2}\sin 3x$ の $x = 0.4$ 付近の定常点は $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ を満たす。

(a) $x_1 = 0.4$ を用いて:

• 反復計算の収束を確認: $|x_3 - x_2|$ が小さく、値が 0.43 へ落ち着く ✓。 (b) 解が 0.430 から 3 桁まで一致することを示す: $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ を定義する（または上記 worked example の導関数式を用いる）。 （または上記の worked example の導関数式）：
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ は連続であり、0.4295 と 0.4305 の間での符号の変化が根を含むため、その根 は 0.430 から 3 まで ✓。

• 有理式を整理し、約分する前に因数分解し、一次式または二次式の 因数で割る。
• 定義域、値域、合成、逆関数を扱い、合成して $x$ になることで逆関数を確認する。
• 場合分けして絶対値方程式を概略図に描き解き、検証を行う；一つの グラフ。
• sec, cosec, cot およびそれらの恒等式を使用し、逆関数の制限された定義域を理解する。
• $a\cos\theta + b\sin\theta$ を $R\cos(\theta \pm \alpha)$ に変換し、最大値を読み取って解く。
• 複合角および二倍角の恒等式を証明し、前後両方の方向で使用できる。
• $e^{ax+b} = p$ と $\ln(ax+b) = q$ を解き、対数プロットから $y = ax^n$ と $y = kb^x$ を取り出す。
• 積の法則、商の法則、連鎖律を用いて微分し、$\sec/\operatorname{cosec}/\cot$ も含む；これらを $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• 増減モデルを構築し、初期値と長期的な下限を解釈し、モデルを批判的に評価する。
• 標準形を統合し、$\int f'/f$ と $\int f'(f)^n$ を見つけ、平方した三角関数に対して恒等式を用いる。 三角関数。
• 連続性の声明と共に符号の変化で根の位置を特定し、反復計算を実行して検証する。