P2 · Pure Mathematics 2

純数学 2（P2）は国際AS数学の必須単元であり、 国際AS純数学、および両方の国際A-Levelルートに関するもの。この参照 Edexcel IAL指定書（Issue 3、April 2019）の全P2トピックを網羅する：証明、因数 三角恒等式と方程式、定常点、および面積や台形則を含む積分。 三角恒等式と方程式、定常点、面積を含む積分 台形則。

• P2試験（WMA12/01）の時間制限は1時間30分、満点は75点。P1の知識と その公式が前提とされ、P2試験で出題される可能性がある。
• 以下の黄色い『Mathematical Formulae and Statistical Tables』のルールは、 P1と同じである。以下の式は booklet に記載されていないので暗記すること。
• 「計算過程を全て示せ」という問題では電卓のみでの解答を認めず、不正確な 答えを3有効数字で答えること。特に指示がない限りこの通りとする。

P2で必ず知っておくべき公式（規定の評価情報より）：

証明は、既知の仮定から論理的な手順を経て結論に至る。P2では 3つの手法を用いる：

• 場合分けによる証明：可能性をケースに分け、すべてのケースを確認する。
• 反例による反証：主張を破る一例があれば、その主張は反証される。
• 代数による証明：与えられた情報から始め、恒等式（解くべき方程式ではない）を変形し、 最終的に目的とする命題に到達させる。

Worked example — exhaustion (adapted from Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q10). Prove that for all positive integers $m$ that are not multiples of 3, the value of $m^2 + 3m + 2$ is always a multiple of 3. （上記の結論）

• まず因数分解する：$m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$。
• 3 で割り切れない正の整数は、必ず $m = 3q + 1$ または $m = 3q + 2$ のいずれかであり、これらがすべてです。 ケースであるため、これらを網羅することで主張が証明される。
• ケース$m = 3q + 1$：$(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ —3の倍数である。
• ケース$m = 3q + 2$：$(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ —3の倍数である。
• 両方のケースで3の倍数となるため、$3 \nmid m$ whenever $3 \mid m^2+3m+2$。$\blacksquare$
• 確認：$m = 1$：$6 = 3 \times 2$ ✓；$m = 2$：$12 = 3 \times 4$ ✓；$m = 4$：$30$ ✓；$m = 5$： $42$ ✓.

計算例 — 反例。「$n^2 - n + 1$ はすべての整数に対して素数である」という命題を否定せよ。 $n \ge 2$."

• 反例は一つあれば十分である。$n = 5$を試す：$25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$となり、これは素数ではない。
• この命題は誤りである。$n = 2,3,4$ を確認すると素数 $3, 7, 13$ が得られるが、最初はパターンが成立しているように見えるため、 これがまさに、反例によって、あるいはさらに多くの例によって問題が解決される理由である。

多項式 $f(x)$ について：

• 約数定理：$(x - b)$ が $f(x)$ の約数であるのは、$f(b) = 0$ のときのみである。 $(ax - b)$ 型の約数に対しては、$f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ であれば $(ax - b)$ は 約数となる。
• 余り定理：$f(x)$ を $(ax - b)$ で割ったときの余りは $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• $(ax \pm b)$ による代数除法では、商と余りが得られ、 次数が1減る：$f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$ 。

** worked example — 両定理を同時に **（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q4 に準拠）。 $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$，ここで$(x+3)$は$f(x)$の因数であり、$f(x)$を割ることで $(2x - 1)$ 时余数为 7 。

(a) $b = 3a + 2$ であることを示せ。

• 約数定理：$f(-3) = 0$ ：
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) $a$ と $b$ を求めよ。

• $(2x-1)$ における余り定理：$f\!\left(\tfrac12\right) = 7$ ：
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• $b = 3a + 2$を代入：$a + 6a + 4 = 60$、したがって$a = 8$および$b = 26$。
• 確認：$f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ；$f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ および $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) $f(x)$ を $(x - 2)$ で割ったときの商と余り。

• $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ を $(x-2)$ で割ると：商 $8x^2 + 42x + 89$ 、余り $175$ 。
• 再構築によって確認：$(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

中心が$(a, b)$、半径が$r$の円の方程式は

展開形$x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$から平方完成を行い、中心を復元する $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$および$r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$。3つの円の 性質を検討する：

• 半円内の角は直角である；
• 中心から弦に下ろした垂線はその弦を二等分する；
• 接線は接点における半径と垂直である。

** worked example — 直径の端点**（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q2より適応）。直線 $(-2, 5)$と$(4, 15)$を結ぶものは円$C$の直径である。

(a) $C$の方程式。

• 中心は中点：$\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$。
• 直径の二乗：$d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$、したがって$r^2 = 136 \div 4 = 34$。
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• 確認：両端点が方程式を満たす：$(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ および$3^2 + 5^2 = 34$ ✓。

(b) $C$上で$x$-軸に最も近い点の正確な座標。

• 最も近い点は垂直な半径上にある：中心と同じ$x$であり、その$r$下：
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• 確認：$(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓、かつより小さな$y$はあり得ないなぜなら 中心は軸の上$10 > \sqrt{34}$にあるから。

数列は、第$n$項の公式または関係式によって与えられる $x_{n+1} = f(x_n)$。これを増加する、減少する、あるいは周期関数的であると記述する （公式ではなく、項から判断すること）。

等差数列：一定の公差$d$。

和の公式の証明（$S_n$を正順と逆順に書き足す）を把握しておく必要がある。また $\Sigma$の表記法も必要である。

等比数列：一定の公比$r$。

和の公式の証明（テレスコーピング$S_n - rS_n$）を知らねばならない。対数を用いて解くこと。 項の値が与えられた場合に$n$を求める問題に対応すること。

正の整数$n$に対する二項展開：

** worked example — 対数を用いた等比級数 **（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q7 より改変） 等比級数が $10 + 8 + 6.4 + \cdots$ から始まる

(a) 無限和。

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$, $|r| < 1$：
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) 第$k$項が 0.0005 より小さい最小の$k$を、代数学的に求めよ。

• 第$k$項が $10(0.8)^{k-1}$ ：
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• 対数を取る（1 未満の数の対数は負であるため、 その値で除算する際は不等号の向きに注意すること）：
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• したがって$k > 45.38$であり、最小の整数は$k = 46$である。
• 確認：$10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓、$10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓。

例題 — 等差数列の最大和（同一問題より）。等差 数列が $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$) で始まります。その最大部分和は：

• 項は $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$ まで正のままであるため、$n \le 122.4$；122 番目の項は $850 - 7(121) = 3 > 0$ で、123 番目の項は $-4 < 0$ です。
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• 確認：負の 123 番目の項を加えると和が減少するため、$S_{122}$ が最大 ✓。

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) は $(0, 1)$ を通り、$a > 1$ に対して無制限に増加します。この 逆関数である対数 $\log_a x$ は、$\log_a x = y$ が $a^y = x$ であることを意味します。以下のことを知っておく必要があります：

および $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$。$a^x = b$ を $x = \log_a b$ で解きます（底の変換公式を使用する場合があります）。 常に候補を 定義域 で確認してください：対数の引数は正である必要があります。

例題 — 対数方程式（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q6 より）。 $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• 両辺をそれぞれ1つの対数式にまとめます：
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• 等しい対数は等しい引数を持ちます：
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• 定義域の確認：$4 - x > 0$ には $x < 4$ が必要なので、$x = 14$ は却下されます。$x = -2$。
• 確認：左辺 $= 2\log_2 6$；右辺 $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓。

例題 — $\log_3$ 形式での正確な交点（同一問題）。曲線 $y = 3^{2x+1}$ と $y = 6 \times 3^x$ は $P$ で交わり、$P$ を $(\log_3 a, b)$ の形で表します。

• 等置して $u = 3^x$ を代入します：
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, so $a = 2$, $b = 12$. Check: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓。

正弦、余弦、正切の間の変換に用いられる2つの恒等式があります：

与えられた区間で三角方程式を解くには、単一関数（ （しばしば隠れた二次方程式）に変形し、その後グラフの対称性から第2の解を読み取ります。 区間を指定し、その単位（度またはラジアン）で計算し、範囲外の数値は除外します。

** worked example — ラジアンと正確な分数 **（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q8より適宜修正）。 $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ の $0 \le x < \pi$ における解を求めよ。

• 3で除算：$\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$、および $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• $0 \le x < \pi$内：$x = \dfrac{29\pi}{60}$（k = 1）および $x = \dfrac{59\pi}{60}$（k = 2）。
• Check: at $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ and $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓。

** worked example — 余弦における隠れた二次方程式 **（同一の問題）。解く $0 \le \theta < 360°$における$5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$の値。

• $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ を置き換え、両辺に $\cos\theta$ を掛けて展開：
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を適用：
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• $\cos\theta$ に対する二次公式：
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• $-$の根は$-1$より下にある（却下）；$\cos\theta = 0.6385$は$\theta = 50.3°$を与え、さらに 余弦の対称性により $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$ が得られる。
• 確認：$\cos 50.3° = 0.638$ ✓；両方の角が区間に含まれる ✓。

定常点は$\dfrac{dy}{dx} = 0$を持つ。導関数の符号で分類する：

• 導関数が$+$から$-$に変わる：最大値；
• 導関数が$-$から$+$に変わる：最小値；
• 二階導関数を用いる場合：点における$f''(x) > 0$は最小値を、$f''(x) < 0$は 最大値を確認する。

関数は$f'(x) > 0$の範囲で増加し、$f'(x) < 0$の範囲で減少する。実用的な 問題——最少材料、最低コストなど——は、単一変数の式を最小化する形に翻訳される。

** worked example — モデリングによる最小値 **（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q9より適応）。開いた トローフは直角三角形の端面を持ち、脚の長さは$3x$と$2x$（メートル）、長方形の側面は$3x \times L$ と$2x \times L$、容量は$12\ \text{m}^3$である。金属の面積は$S\ \text{m}^2$である。

(a) $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$を示せ。

• 体積：断面 $\times$ × 長さ $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$、したがって $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• 表面：2つの三角形＋2つの長方形：
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) 微分法により$S$の最小値を求める。

(c) 最小値を証明せよ。

• 定義域全体で二階導関数が正であるため、定常点は最小値である ✓。
• 確認：$x = 1.1856$において$\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$である ✓。

基本定理を用いて定積分を評価する：

定積分は、$y \ge 0$における曲線下の面積である。領域が 曲線と直線で囲まれた領域の面積は、交点間での (上 − 下) の定積分として求め、順序が変わる点で区切る。どちらのグラフが上にあるかを確認する。

** worked example — 曲線と直線の間の面積 **（Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q3より改変）。 $C$: 座標 $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) および $P(1, 11)$、$Q(4, 5)$ が直線 $C$ 上にあるとき、面積を求める $C$ と直線区間 $PQ$ の間の面積。

• 直線 $PQ$: 傾き $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$ なので $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$。
• $Q$ を確認: $-8 + 13 = 5$ ✓。
• 直線下の面積: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$。
• 曲線下の面積: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$。
• 領域の面積: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ 平方単位。
• 確認: 全体を通じて直線が曲線の上にある（$x = 2$ において: 直線 $9$, 曲線 $3(2) + 4 - 8 = 2$） したがって、直線から曲線を引くのが正しい順序である ✓。

台形則 は $n$ 個の幅 $h$ のストリップで面積を近似する：

ストリップを増やす（または曲線をまっすぐにすると）推定値が改善される。上に湾曲する曲線（凸、 U字型の $x^2$ ）では、すべての弦が上にあるため、台形則による推定値は過大評価され、一方で 下向きに湾曲する曲線（凹関数、$\sqrt x$や円弧のような形状）は、弦を下方に残す そのため、この法則は過小評価してしまう。

** worked example — 表を用いた台形則。** $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$の値を推定する 4個の帯で近似する。

• $[1, 3]$に対して4つの帯を用いると、$h = 0.5$が得られ、$y = \dfrac1x$の値が5つ必要になる： $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$における値は$1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$である。
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• 真の値は$\ln 3 = 1.099$（3桁）。推定値は過大評価となる：$y = 1/x$は 凸関数（上向きに湾曲する）であるため、すべての直線的な帯が曲線の上に位置する ✓。

• 証明を構成する；完全帰納法を用いて全ケースを網羅し、反例一つで否定する。
• 係数定理と剰余定理を適用し、$(ax - b)$の因数を含め、代数 除法を行い、商と剰余を求める。
• 円の中心と半径をどちらかの形式から求め、円の3つの性質を用いる。
• 等差級数と等比級数の求和公式証明に$a_n$、$S_n$、$S_\infty$を用い、 $\Sigma$の記法および対数を用いて$n$を求める。
• $(a + bx)^n$を展開し、二項係数を用いて与えられた係数を一致させる。
• 対数方程式を3つの法則を用いて解き、定義域を確認する；交点の正確な値を $(\log_a b, c)$として答えるよう指示された場合。
• 三角方程式を$\tan = \sin/\cos$と$\sin^2 + \cos^2 = 1$を用いて簡略化し、 指定された度数法またはラジアン法で解き、区間内のすべての解を列挙する。
• 停留点を求め分類し、符号の変化または2階導関数で正当性を示し、設定する 1変数の極小値のモデル化。
• 定積分を計算し、曲線下の面積および曲線と直線間の面積を求める； 表から台形則を適用し、その誤りの方向を述べる。