純数学 1：後続のすべてのユニットで用いられるツールキット
純数学 1 (P1) は、International ASおよびInternational A Level Mathematicsの最初の必須ユニットである。 International A Level Pure Mathematicsの最初の必須ユニットでもある。この参照はすべての Edexcel IAL 仕様書におけるP1 トピックを網羅する（Issue 3、April 2019）：代数と関数、座標 幾何学、三角関数、微分法と積分法。
- P1試験紙（WMA11/01）の時間は1時間30分、満点75点であり、全問に答える必要がある。 questions. Recent papers have ten questions from 5 to 11 marks each.
- 電卓を使用しても構いませんが、記号代数、記号微分・積分、または記憶された数式を呼び出せる機能を持つものは使用できません。 または積分、または参照可能な保存済み数式。
- 数学的公式および統計表（黄色い冊子）が提供されます。以下の「必ず覚えるべき」表にある公式は、その冊子には記載されていないため、暗記する必要があります。 「必ず知っておくべき」表は上記のブックレットには含まれていないため、暗記すること。
- 指示がない限り、3有効数字で不正確な答えを提出する。問題に「 計算の全過程を示す必要がある」とある場合、電卓による解答のみでは得点できない。
P1で必ず覚えるべき公式（評価基準の試験情報より）：
| 公式 | 用途 |
|---|---|
| $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ | $ax^2 + bx + c = 0$の解 |
| $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ | 正弦定理 |
| $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ | 余弦定理 |
| area $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$ | 三角形の面積 |
| arc length $s = r\theta$, sector area $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$ | $\theta$（ラジアン単位） |
| $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ | 微分の累乗則 |
| $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$ | 積分の累乗則 |
代数学と関数
指数と根号
指数の法則は、すべての有理指数に対して成り立ちます：
分数指数は根です：$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$、したがって$a^{1/2} = \sqrt{a}$および $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$。負の指数は逆数を意味します：$a^{-1} = 1/a$。問題は通常、 答えを 形式 $kx^n$ で書き、$k$と$n$が完全に簡略化された定数となるように求めるものです。
** worked example — 3つの指数操作**（Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q1より適宜修正）。 $p = \dfrac{x^4}{16}$と$q = \dfrac{40}{3x}$が与えられたとき、各式を形式 $kx^n$で表しなさい。
(a) $p^{\frac{1}{2}}$.
- 既知：$p = x^4/16$、および指数$\tfrac12$は平方根を意味する。
$$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
- 検証：答えを二乗すると、$(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$となる。
(b) $(pq)^{-1}$.
- 既知：$x^4 \cdot x^{-1} = x^3$を用いて、逆数をとる前に掛け算を行う。
$$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$$$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
- 確認：$(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$。
(c) $(pq)^2$.
- 確認：$5^2 = 25$、$6^2 = 36$、$(x^3)^2 = x^6$、そして定数はすでに完全に簡略化されている。
**surds（無理数）**とは、$\sqrt{2}$のような正確な根のことである。問題で小数を求められていない限り、答えは正確な値のままに保つこと。 出題者は、surdsが期待される箇所で四捨五入した小数を減点対象とする。分母の有理化を行うには、 分子と分母に、根号を取り除く項を掛けて計算する。
** worked example — 分母の有理化 ** $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ を分母が有理数となるように変形せよ。
- 既知：$(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$であるため、$\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$を掛ける。
$$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
- 電卓による確認：$12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ と $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓
二次方程式：判別式と平方完成
二次関数 は $y = ax^2 + bx + c$ の形を持ち、そのグラフは放物線であり、 上に開く（$a>0$）か下に開く（$a<0$）かである。判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$ が 解の個数を示す：
- $\Delta > 0$: two distinct real roots — the curve cuts the $x$-axis twice;
- $\Delta = 0$: 重根（重複解） — 曲線が $x$軸に接します；
- $\Delta < 0$: 実数解なし — 曲線は $x$軸と一切交わりません。
平方完成により $ax^2+bx+c$ を $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ に変形し、 頂点 $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ を直接求めることができます。次に解きます。 二次方程式の解法には因数分解、公式、平方完成、電卓のいずれも使えますが、「全過程を示せ」の問題では電卓での計算のみを許容しません。 全過程を示す問題では、電卓での計算のみは採点対象外である。
** worked example — 隠れた二次方程式 ** （Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q10 より改変）。この 方程式は $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$ であり、$k$ は定数である。
(a) $k = 4.5$ について、正確な解を求めよ。
- 置換の理由：$k = 4.5$ なので、これは $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$ に関する二次方程式である。2 を代入する。
$$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
- $x^6 = (x^3)^2$ に戻す：$x^3$ または $z = x^3$ なので、
$$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
- $x$ に戻す：$x^3 = -\tfrac17$ または $x^3 = -1$ であるため、
$$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
- 検証：$z=-1$ を代入すると $7-8+1 = 0$ ✓；$z=-\tfrac17$ を代入すると $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓
(b) 方程式に実解が存在しない $k$ の値の範囲を求めよ。
- 既知条件：方程式を $x^3$ に関する二次方程式として扱い、係数を$a = k-1$、$b = 4$、$c = k-4$ とする。実解が存在しない
ためには判別式が負である必要がある。
$$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$$$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
- 検証：$k = -1$ において $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓；$k = 6$ において $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓；$k = 3$ において： $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓（这里有兩個實數根）。
聯立方程與不等式
透過代入法解析求解聯立方程：先重新排列 一次方程，代入另一方程求解，再代回。直線與曲線相交 會得到一個二次方程，其根即為交點 $x$座標 — 這正是考綱所要求的「代數解的幾何意義」。 代数解の解釈」の仕様が求めている内容である。
** worked example — 直線と立方曲線の平方の交点 ** （Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q7 より改変）。 $C_1$ ：$y = 0.2x^2(x-4)$ および $C_2$ ：$y = 1.2x(8-x)$ が交わる点は
- 両辺を展開：$0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$ 。
- 項をまとめ：$0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$ ，次に$0.2$ で割ると：$x^3 + 2x^2 - 48x = 0$ 。
- 因数分解: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, よって $x = 0, -8, 6$。
- $C_2$ に代入する: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$。
- $C_1$ で検証: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ および $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓
不等式も同様の代数的処理を行うが、答えは範囲となる:
- $ax + b > cx + d$ を解くために $x$ をまとめよ（加減算では不等号の向きは変わらず、 正の数で割る場合も不等号の向きは変わらず、負の数で割るときにのみ向きが変わる）。
- 如「曲線在直線下方」之不等式 $px^2 + qx + r \le 0$ 意指：曲線的 y 值 小於直線 y 值的區域為何？先找出交點。
- 「曲線が直線より下にある」不等式 $px^2+qx+r < ax+b$ とは: 曲線の高さが直線の 高さより小さい領域はどこか？まず交点を見つける。
- 解領域を描く際は、厳密な$<$または$>$の境界には点線を使用し $\le$または$\ge$の場合には実線を使用します。
** worked example（解法例）。** $x^2 < 3x + 10$ を解け。
- 変形：$x^2 - 3x - 10 < 0$、因数分解：$(x-5)(x+2) < 0$。
- 放物線$y = (x-5)(x+2)$は上に開くため、根の間でゼロより小さい値をとります：
$$-2 < x < 5$$
- 確認：$x = 0$は$0 < 10$を与え✓；$x = 6$は$36 < 28$を与え✗（正しく除外）。
多項式：展開と因数分解
括弧を展開して同類項をまとめ、共通因数の引き出しやグループ分けによる因数分解を行います。 三次式の因数分解は、1つの根を見つけたら完全に完成します：$x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$。 記号$f(x)$は関数を表すため、$f(2)$は「$x = 2$を代入する」ことを意味します。
グラフの概略描画と変換
これらの家族を概略描画（プロットせず）してください：二次式および単純な三次式 such as $y = x^3 - 4x$；逆比例関数 $y = \dfrac{k}{x}$ および $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$) は漸近線を持ちます — 曲線が近づきつつも決して接しない直線です。 また、以下の三角関数のグラフです。切片と極点をマークしてください。
交点は方程式の解答となります：曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$が$f(x) = g(x)$の地点で交差します。
1つずつ変換を行い、$y = f(x)$に適用します：
| 新しい方程式 | グラフへの影響 |
|---|---|
| $y = a f(x)$ | $y$軸に平行な伸縮、倍率$a$ |
| $y = f(x) + a$ | $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$による並進（$a$だけ上へ移動） |
| $y = f(x + a)$ | $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$による並進（$a$だけ左へ移動） |
| $y = f(ax)$ | $x$軸に平行な伸縮、倍率$\dfrac{1}{a}$ |
*方向、変換の種類、および倍率（またはベクトル）を答えよ。
** worked example — 2つの変換を説明** (Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q9 より改変)
- $y = \sqrt{2x}$ は $y = \sqrt{x}\,$ から: $\sqrt{2x} = f(2x)$ と書くので、これは 伸縮 $x$-軸に平行で、倍率は $\tfrac12$**である。
- $y = 12 - \sqrt{x}$ は $y = -\sqrt{x}\,$ から: $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$ と書く。 $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$による平行移動（12だけ上へ）。
- 点で確認: $y=\sqrt x$ は $(4, 2)$ を通る；第1の変換後、曲線は $(2, 2)$ （$x$ の半分）を通り、$y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓。第2の変換後、$y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, よって $(4, 10)$ がその曲線上にある ✓。
(x, y) 平面における座標幾何学
$(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ です。この形 $ax + by + c = 0$ は $-\dfrac{a}{b}$ に含まれる傾きを隠しています。2点から傾きを求めます： $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- 平行な直線は同じ傾きを持つ: $m_1 = m_2$ 。
- 垂直な直線は傾きの積が $-1$ となる: $m_1 m_2 = -1$ 。
** worked example — 原点を通る垂直線** (Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q5 より改変) 直線 $l_1$ の式は $x - 2y + 25 = 0$ であり、$l_2$ は原点を通り、 $l_1$ に垂直である。
(a) $l_2$ の式。
- 既知: $l_1$ を変形すると: $2y = x + 25$ なので、$y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ および $m_1 = \tfrac12$ 。
- 理由: 垂直な勾配の積は $-1$ となるため、$m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$。
$$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$
(b) $l_1$ と $l_2$ は $P$ で交差する。
- $y = -2x$ を $x - 2y + 25 = 0$ に代入する:
$$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
- $P = (-5, 10)$。$l_1$ に確認: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓
(c) 原点から $l_1$ までの最短距離を、簡略化された根号で表す。
- 最短距離は、垂線上の $|OP|$ である:
$$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
- 確認: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓
三角関数
正弦定理、余弦定理と三角形の面積
辺 $a, b, c$ が角 $A, B, C$ の向かい側にある三角形 $ABC$ において、
（辺、向かい合う角）のペアには正弦定理を、向かい合うペアがないときには余弦定理を用いる。 正弦定理には曖昧なケースがあり: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$ のとき、ある角と その補角の両方が条件を満たすことがある——図示からどちらが妥当かを判定する。
ラジアン法、弧の長さと扇形の面積
1 ラジアン は、半径と同じ長さを持つ弧が中心角として作る角度である; $180° = \pi$ ラジアン。$\theta$ をラジアン単位とした場合、
弧の長さは $s = r\theta$ であり、扇形の面積は $\tfrac{1}{2}r^2\theta$ である。
A major sector is the larger share of the circle: angle $2\pi - \theta$ when the minor angle is $\theta$.
** worked example — 主要扇形と三角形からなるヘリポート**（Edexcel IALより改変） WMA11 June 2025 Q6). A landing pad is the major sector $AOB$ of a circle centre $O$ joined to 三角形$AOC$: $AO = OB = 15$ m、$BC = 2$ m、$CBO$は一直線であり、角$ACO = 0.6$ ラジアン。
(a) $COA = 1.847$ラジアンを3桁の小数点以下で示しなさい。
- 既知: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ m；三角形$AOC$において、辺$AO = 15$は与えられた角の対辺である。 角 $0.6$ と向かい、辺 $OC = 17$ は角 $CAO$ と向かい合っている。
- 正弦の法則（まず引用せよ）：
$$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$$$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
- 確認：角の和が $\pi$ ： $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓
** (c) ** パッドの周長。
- 大扇形の角度： $2\pi - 1.847 = 4.436$ ラジアン。
$$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$$$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$$$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
- 確認: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓
(c) パッドの周囲長。
- 周長は、大弧$AB$および辺$AC$、$BC$の合計である。
$$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
- $AC$ に対する余弦の法則（まず引用せよ）：
$$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$$$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
- 確認： $\cos 1.847 < 0$ （角は鈍角）、したがって $-2bc\cos A$ 項は加算される ✓
正弦、余弦、正接のグラフ
$y = \sin x$ と $y = \cos x$ は $2\pi$ ごとに繰り返される（$360°$ ）； $y = \tan x$ は $\pi$ ごとに繰り返される ($180°$) は漸近線 $x = 90° + 180°n$ を持つ。対称性を知る：$\cos$ は偶関数である $\sin(180° - x) = \sin x$ および $\tan x = \sin x / \cos x$ 。 $y = 3\sin x$ などの曲線は、 変換則から導かれる $y = \sin 2x$ および $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ に従う 以上。与えられた区間での交点の数を数えることで、方程式を図形的に解く。
** worked example — 解の個数の数え方 **（Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q4 に準拠）. $y = 4\cos x$を$x$度に変換したとき、$5 + 4\cos x = 1$が成り立つ解は幾つあるか。 $-720° < x \le 720°$?
- 変形：$4\cos x = -4$ なので、$\cos x = -1$ となり、$x = 180° + 360°n$ が得られる。
- $-720° < x \le 720°$ 内では： $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 個の解である。
- 確認： $\cos(\pm180°) = -1$ ✓ 、および $5 + 4(-1) = 1$ ✓ 。区間は半開区間なので、 $x = -720°$ （$\cos = 1$ のとき）は正しく除外される。
微分法
導関数 $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ は、 $y = f(x)$ 上の一点における接線の傾きである—2点が重なる際の弦の傾きの極限値である。これは $y$ の $x$ に対する変化率である。2階導関数 $f''(x)$ をさらに微分する。（P1 では合成法則は不要である。）
項ごとに冪の法則で微分し、積を展開して分数を分割してから行う：
** worked example — 曲線における傾きの条件 **（Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q2 に準拠）。 $C$ ： $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$ ；点 $P$ は $C$ 上にあり、 $x$ 座標が $2^k$ であり、その接線の傾きは $P$ における傾きが 16 である。$k$ を求めよ。
- 微分（指数は1ずつ下がる）：$\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$ .
- 勾配を 16 に $x = 2^k$ で設定する：
$$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
- 確認：$2^{4/3} = 2.5198\ldots$ と $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓
計算例 — 接線、法線および2階導関数（Edexcel IAL WMA11 より改変） 6月 2025 Q8）。曲線は $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ を持ち、点 $P(4, 12)$ を通る； 点 $P$ における接線の勾配は $y = 10x + c$ である。
(a) $k = \tfrac14$ が成り立つことを示し、$c$ を求める。
- 既知条件：接線の勾配は $f'(4)$ である。
$$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
- 接線は点 $(4, 12)$ を通るため：$12 = 10(4) + c \implies c = -28$ 。
- 確認：$f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ および $10(4) - 28 = 12$ ✓
(b) $P$ における $f''(x)$ の値を求める。
- 確認: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓
積分法
積分 は微分の逆操作であり、$n \neq -1$ ($\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ) ならば、
計算例 — 積分前に展開する（Edexcel IAL WMA11 6月 2025 Q3 より改変）。 $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$を求めよ。
- 分子を展開：$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ ；分母は $3x^{1/2}$ である。
- 項ごとに除算（$x$ のべき乗を引く）：
$$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
- 項ごとに積分（べき乗に1を加え、新しい幂で割る）：
$$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$$$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
- 微分によって検証：$\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓、 $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓、$6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — 被積分関数が正確に復元されます。
** worked example — $f'(x)$ から $f(x)$ を復元する例と一点**（Edexcel IAL WMA11 より改変） 6月2025 Q8の続編）。$k = \tfrac14$ により、$f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$ であり、 曲線上における$P(4, 12)$ ：
- ⟨$P$⟩ を代入：$2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$ 、および$4^{3/2} = 8$ ：
$$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
- 検証：$f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓ 、答えを微分すると $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$ が得られるため、$f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ （ 以前に求めた接線の傾きによる）。
この単元終了前のチェックリスト
- ⟨$a^{m/n}$⟩ 、負の累乗および根号を正確に変形し、分母の有理化を行う。
- ⟨$b^2-4ac$⟩ を3つの方法で読み解き、平方完成を行い、置換法を用いて隠れた二次方程式を解く。
- 連立一次・二次方程式を置換法で解き、交点として解釈する。
- 直線と二次不等式を正しく解き、破線・実線の境界線を用いてグラフを描く。
- 三次関数、逆比例関数（漸近線を含む）、変換された曲線を描き、方向、種別および 各単一変換の拡大率を記載する。
- 直線の方程式を両方の形式で記述し、垂直な直線には$m_1m_2 = -1$ を用いる。
- 正弦定理、余弦定理および$\tfrac12 ab\sin C$ を引用し、曖昧なケースとラジアン単位の大扇形を扱う。 ラジアン単位での大扇形。
- 区間内の三角関数グラフの解を数え、後に一覧表にする。
- 展開した後に、$x^n$項ごとに微分・積分を行い、常に$+c$を加える。
- $f'(x)$と一点を$f(x)$に変換し、その点を戻して確認する。