対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 母集団の推計とシミュレーション証拠を解釈し、証明を主張しない
- 条件付き、複合、期待値の量を計算する
- 順序が重要かどうかに応じて順列または組合せを選択する
前提知識：百分率；母集団；ランダム選択と割り当ての違い。
説明し、方法を選択する
ランダムサンプリングは、その母集団への推論を支持し、誤差範囲は推計の周りにあるサンプリング不確実性の区間を提供します。一方、ランダム割り当ては、因果的治療比較を支持します。シミュレーションにおいて、ある主張の下で稀に生じる結果はその主張に対する証拠となり得ますが、異常な結果が見つからなかったからといって、その主張が真であることを証明するものではありません。
条件確率は分母を条件付きグループに限定する。AまたはBのいずれかについては、個別の確率を加えた後に重なりを引く。独立は一定の確率を掛け合わせることを許容し、無放回抽出では更新された数を必要とする。期待値は各可能な結果とその確率の積の和であり、必ずしも1回の試行で達成される結果ではない。
順次選択には乗法の原理を用いる。n個の異なる物体からr個を順序付きで選ぶ場合、n!/(n-r)!；順序付きでない集合を選ぶ場合、n!/[r!(n-r)!]となる。r!で割ることで同一の集合の複数の順序を除去する。これらの公式は異なる物体と無放回を仮定しており、異なる条件には対応するカウントが必要である。
事象の確率を計算する前に、それを頻度に置き換えてください。ある有利な事象が複数の互いに排他的な方法で生じる場合は、その方法を足し合わせます；パスが重なっている場合は重複カウントを避けます。確率の数値的回答はゼロから一の間にあるべきですが、期待コストや得点は結果の単位を持ちます。
誤差範囲（マージン・オブ・エラー）はパーセントポイント単位で加算および減算されます。 63%を4ポイントの誤差範囲で推定すると、59%–67%となる。 これはある手順による区間であり、各人の回答が63%に近いという保証ではない。 無作為抽出は母集団の推論を支持し、無作為割り当ては治療の比較に対応する。
Worked example. From five students, captain/deputy pairs number 5·4=20; unranked pairs number 5·4/2=10. A game awards 4 points with probability 1/4 and 0 otherwise, so expected award is 1 point per play. A sample estimate 52% ±3 percentage points gives 49%–55%; it is not a guarantee about every sample or individual.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
6人の生徒から議長と異なる秘書を選出する。配置は何通りあるか？順序付きでない2人委員会は幾つあるか？その違いを説明せよ。
Reasoning. Ordered roles give $6(5)=30$. Unranked pairs count each pair twice in that product, so there are $6(5)/2=15$. Swapping people changes roles but not an unranked committee.
練習 2
あるゲームは、確率0.1で12トークン、確率0.4で3トークンを支払い、それ以外はゼロを支払います。参加費は2トークンです。Expected payout（支払額）とexpected net gain（純利益）を求めよ。プレイヤーは毎回その金額を受け取るか？
Reasoning. Remaining probability is 0.5. $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ tokens. Expected net is $E(G)=E(P)-2=0.4$ token per play. Actual net outcomes are 10,1,-2; none equals 0.4, which is a long-run mean under the model.
練習 3
袋の中に 3 個の赤玉と 2 個の青玉がある。取り出し後戻さない条件下で、両方とも赤玉である確率と、赤玉がちょうど1つである確率を求めよ。
解説。 $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$です。ちょうど1つだけ赤である場合はRBまたはBRの順列で生じます：$P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$です。第2の分母は4であり、引き出しは依存しています。
練習 4
A random sample of 500 registered library members reports 62% support for a change, with stated margin 4 percentage points. State the interval and population. Does it establish support among every town resident?
Reasoning. Interval is $62\%-4\%=58\%$ to $62\%+4\%=66\%$, where the subtraction denotes points. The population is registered members in the sampling frame. Nonmembers were not sampled, so the estimate does not establish all residents' support.
練習 5
40人のボランティアがランダムに古い指示または新しい指示に割り当てられ、同じタスクと条件下で処理を行う。新しい群はより速く終了した。合理的な因果および母集団の主張は何か？
推論。 ランダム割り当ては、テストされた条件下でのこれらの参加者に対する指導版間の因果比較を裏付けますが、変動には注意が必要です。ボランティアによる選択は母集団への一般化を制限します。将来のユーザー全員がより速く完了することを保証するものではありません。
演習6
A poll of 10000 website volunteers has a narrow reported margin. Explain why size alone cannot repair selection bias, and propose a better recruitment method.
推論。 回答を選択する人々は、回答しない人々と系統的に異なる可能性があります。サンプリング変動のための誤差範囲は、そのバイアスを除去しません。定義された標的母集団からランダムに選択し、未回答者への追跡を行ってください。ただし、限界については依然として報告する必要があります。
Limits and next use
順序、交換律および結合律は計算を変化させる。統計的主張を棄却できないことは、それが真であることを証明するものではない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。