対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 算術的差分と幾何学的比を区別すること
- インデックスの一貫性を保ちながら、項または有限和を求めること
- 有効な定義域において対数方程式を指数形式に変換すること
前提知識：添字記法；指数の法則；有限数列。
説明し、方法を選択する
等差数列は一定の公差 d を持ち、aₙ=a₁+(n-1)d である。有限和は n(a₁+aₙ)/2 である。等比数列は一定の公比 r を持ち、aₙ=a₁r^(n-1) である。r≠1 の場合、有限和は a₁(1-rⁿ)/(1-r) であり、r=1 の場合は単に n a₁ となる。求める項や合計に一致させること。
指数モデル A b^t は、指定された時間単位あたりに b 倍することを表す。百分率成長 r は乗数 1+r を用い、繰り返しの変化はパーセンテージを加算するのではなく乗数を掛け合わせる。二倍になるのに複数の時間単位がかかる場合は、指数でその間隔で t を割ること。
底 b>0 かつ b≠1 のとき、log_b(a)=c は b^c=a を意味し、a>0 を要します。対数方程式を指数関係に変換して解き、対数の引数を確認します。対数の積の対数は有効な正の引数の下で加算されますが、対数は加算に対して分配できません。
利用可能な正確な累乗を用いること。ACT では、数値対数表を必要とせず単純な対数関係をテストすることがある。計算による近似値でも、問題の表記と定義域を尊重しなければならない。数列の添字、指数モデルの時間、対数の引数の概念は別々に保持すること。
等差数列 ：$a_n=a_1+(n-1)d$ 。 その和は $S_n=n(a_1+a_n)/2$ である。 等比数列 ：$a_n=a_1r^{n-1}$ および $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ は $r\ne1$ である。 対数は指数関数の逆操作です：$\log_b a=c$ は $b^c=a$ を意味し、$a>0$、$b>0$、$b\ne1$ です。
Worked example. Arithmetic 4,7,10,… has a₅=16 and sum of first five=5(4+16)/2=50. Geometric 3,6,12,24 has four-term sum 45. log₂(x-1)=4 gives x-1=16, so x=17, which satisfies x>1. A population 50·2^(t/3) reaches 200 after six time units.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
successive rows（連続する列）の席数は 12,16,20,… です。8番目の行と最初の8行の合計を求めなさい。モデルの仮定を述べよ。
解説。 一定の差は列あたり 4 席である。$a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ 席。$S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ 席。これは、すべての8列を通じて同じ4席増分の増加を仮定している。
練習 2
等比数列は 5,15,45,… で始まる。その第5項と初項5項の和を求めよ。公比が 1 の場合、何が変化するか説明せよ。
考察。 $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$。$S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$。$r=1$ のとき、分母がゼロになり、正しい和は $na_1$ であり、ここでは5つの同一項の和である 25 です。
練習 3
$\log_2(x-3)=5$ を解き、なぜ $\log_2(x+3)$ が一般に $\log_2x+\log_23$ に分解できないかを説明せよ。
Reasoning. The domain requires $x>3$. Exponential form gives $x-3=32$, so $x=35$ and the argument is positive. The sum of logs corresponds to the product $3x$, not $x+3$; at $x=1$, the proposed equality would equate 2 with $\log_23$.
練習 4
ある培養モデルは、初期細胞数が 120 であり、2時間ごとに倍率 1.5 で増殖する。時間を $N(t)$ 時間として $t$ を表し、$N(4)$ を求め、倍率と百分率での増加を区別せよ。
Reasoning. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ cells. $N(4)=120(1.5)^2=270$ cells. The growth is 50% per two hours, not 150%; the four-hour factor is 2.25. The hourly factor would be $\sqrt{1.5}$.
Limits and next use
第n項に n ではなく n-1 を使うこと、有限和と最終項を混同すること、log(a+b) を log a + log b と展開することは避けるべきである。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。