対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 解く前に分母および累乗根の制約を記録する
- 変換された方程式の候補解を元の式で検証する
- 連立解または許容される領域を見つけ、解釈する
前提知識：因数分解；置換；定義域の制約。
説明し、方法を選択する
有理式については、因子を消去したり方程式の両辺に分母を掛けたりする前に、分母の零点を特定します。 簡略化により見かけ上の因子が消えることがありますが、元の制約は残ります。 加算内の特定の項ではなく、全体として因子を消去してください。
平方根を左辺に孤立させ、その非負性を尊重してから二乗します。 二乗は解を保存しますが、追加の候補解を生むことがあるため、各候補解を元の式に代入してください。 零になり得る式との掛け合わせについても同様の注意が必要です。 変換された多項式を満たしても、元の式を満たさない値は不要解です。
連立方程式系は、同じ順序対がすべての方程式を満たす必要があります。 直線を円や放物線に代入し、生じた二次式を解いて第2座標を取り戻します。 連立一次方程式系は、交点が1つ、なし、または一致する直線のいずれかになります。 2つの代数解と2つの別々の連立方程式系を混同しないでください。
不等式の連立系については、各条件が許容される領域を提供し、解はその共通部分（交点）です。 厳密な境界線上にある点は、他の不等式を満たしても除外されます。 提案された点を確認するには、等号を含む元の各不等式に代入してください。
候補根は元の方程式を満たさなければならない。 $\sqrt{x+6}=x$において、右辺は非負でなければならない。 二乗すると $x^2-x-6=0$ となるため、候補は $3,-2$ です。 元の条件式を満たすのは$3$のみである：$\sqrt9=3$。
** worked example.** √(x+6)=x より x≥0 が成り立ちます。二乗すると x²-x-6=0 となり、候補は 3 と -2 ですが、3 のみ有効です。x²+y²=25 および y=x+1 について、代入すると x²+x-12=0 となるため、解は (3,4) および (-4,-3) です。(x²-4)/(x-2) は x≠2 において x+2 に整理され、制限条件も保持されます。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
連立方程式 $x^2+y^2=25$ と $y=x-1$ を解き、各順序対が両方の方程式を満たすか確認せよ。
Reasoning. 代入して $x^2+(x-1)^2=25$ または $x^2-x-12=0$ を得ます。解は $4,-3$ であり、$(4,3)$ と $(-3,-4)$ が得られます。どちらも二乗和が 25 となり、$y=x-1$ を満たします。
練習 2
$\sqrt{3x+4}=x$ を解き、$y\ge x+1$ と $y<4-x$ を満たすすべての点を記述してください。
推論。 $x\ge0$ で乗算すると $(x-4)(x+1)=0$ になる；$x=4$ だけが条件を満たす。領域は $y=x+1$ 上またはその上にあり、$y=4-x$ 下にある。$x+1<4-x$ が成立する場合のみ存在するため、$x<3/2$ となる；両者の交点は除外される。
練習 3
$F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$ を簡略化せよ。元の制約をすべて挙げ、なぜ$F$ が後者の式の定義域全体において$x/(x+4)$ と同一でないかを説明せよ。
解説。 分子 $x(x-4)$ と分母 $(x-4)(x+4)$ を因数分解する。元の定義域は $x=4,-4$ を除外する。約分により、$x\ne4,-4$ に対して $F(x)=x/(x+4)$ が得られる。後者の式だけでは $4$ を許容し、その結果は $1/2$ となるが、$F(4)$ は未定義である。
Limits and next use
制限事項は簡略化後も存続します。連立系においては、すべての元の関係式において両方の座標を確認してください。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。