Integrasi
Introduced| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | integrasi |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral tentu |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | teorema fundamental kalkulus |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | konstanta integrasi |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | integrasi substitusi |
Akumulasi bertanda dapat saling meniadakan
- Integrasi dapat memulihkan antiturunan atau menghitung akumulasi bertanda. Integral tentu tidak otomatis merupakan area geometri tak negatif.
- Untuk integran yang kontinu, teorema fundamental kalkulus menghubungkan integral tentu dengan antiturunan yang dievaluasi pada batas-batasnya.
Pertahankan keluarga antiturunan
- Integral tak tentu membutuhkan konstanta integrasi karena menurunkan konstanta apa pun menghasilkan nol. Rumus pangkat adalah $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ untuk $n\ne-1$ pada domain yang valid.
- Pengecualian resiprokal berlaku $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ pada interval yang tidak memotong nol. Domain positif atau negatif memerlukan perhatian sebelum memilih ekspresi logaritma.
Integrasikan x³ terhadap x. Sertakan konstantanya.
Tambahkan satu pada pangkat dan bagi dengan pangkat baru, lalu tambahkan c karena sembarang konstanta diturunkan menjadi nol.
Integral tentu memerlukan konstanta integrasi.
Konstanta saling menghilangkan dalam F(b) − F(a). Hanya integral tak tentu yang membutuhkannya — dan di sana hal itu wajib.
Dalam satu kalimat bahasa Inggris, jelaskan mengapa integral tak tentu membutuhkan "+ c".
Contoh: "Sembarang konstanta diturunkan menjadi nol, sehingga konstanta awal tidak dapat dipulihkan dari turunannya."
Evaluasi batas atas dikurangi batas bawah
- Integral tentu menghasilkan $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ ketika metode antiturunan diterapkan. Substitusikan kedua batas ke dalam F yang sama.
- Konstanta C saling menghilangkan antara evaluasi tersebut. Untuk luas geometris, pecah daerah di mana kurva mengubah tanda atau di mana kurva atas dan bawah bertukar urutan.
Luas di bawah kurva
$\int_a^b f(x)\,dx$
Integral tentu adalah luas bertanda antara kurva dan sumbu.
Evaluasi integral dari x² dari 0 hingga 3.
[x³/3] dari 0 hingga 3 = 27/3 − 0 = 9.
Integral nol, luas positif. Untuk $y=x$ dari -1 hingga 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Luas geometris adalah $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Setiap daerah segitiga memiliki luas setengah; kontribusi tertandanya saling meniadakan.
Substitusikan fungsi dan diferensialnya
- Integrasi substitusi membalikkan aturan rantai. Dengan $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, sehingga $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- Untuk integral tentu, ubah batas-batasnya menjadi u atau kembalikan ke x sebelum mengevaluasi batas asli. Jangan menggabungkan ekspresi u dengan batas x.
Substitusi manakah yang menyederhanakan integral dari 2x(x² + 1)⁵?
Turunannya 2x sudah ada, jadi du = 2x dx dan integral menjadi u⁵ du.
Turunkan antiturunan untuk memverifikasinya. Periksa juga domain, konstanta integrasi, dan batas; turunan saja tidak membuktikan bahwa integral tentu atau luas geometris telah dievaluasi dengan benar. Lembar 3.2 menggunakan kecepatan untuk membedakan perpindahan, jarak total, dan posisi akhir.
Bagaimana cara memeriksa jawaban integrasi secara andal?
Turunkan antiturunan yang diusulkan dan bandingkan dengan integran aslinya pada domainnya. Also periksa konstanta, batas, dan tanda atau interpretasi luas geometris; diferensiasi saja tidak memvalidasi langkah-langkah tersebut.
Antiturunan yang valid pada suatu interval tidak dapat secara otomatis membenarkan evaluasi melintasi singularitas. Periksa domain fungsi integran sebelum menerapkan batas atas dikurangi batas bawah. Posisi awal harus ditambahkan ketika integral hanya memberikan perpindahan.