GAC Mathematics · ⁨GAC Matematika⁩

Sebuah harga dapat turun 20% dan kemudian naik 20% tanpa kembali ke nilai awalnya. Matematika I membantumu menjelaskan hasil semacam itu dengan metode, satuan, dan interpretasi yang jelas. Enam unit menghubungkan aritmatika, aljabar, grafik, geometri, trigonometri, dan model eksponensial.

Dokumen penilaian saat ini dari pusatmu adalah otoritas untuk tugas, bobot, alat yang diperbolehkan, dan tenggat waktu. Uji di kelas diselesaikan di bawah kondisi ruang kelas yang ditetapkan. Proyek dapat melibatkan pengumpulan data, perhitungan, dan pelaporan; ujian dan tugas kursus mungkin memiliki instruksi berbeda. Jangan menyimpulkan pola penilaian resmi dari lembar praktik ini.

Buku catatan terminologi dapat mencatat istilah bahasa Inggris, makna dengan kata-katamu sendiri, dan contoh kecil. Ikuti instruksi pusatmu jika buku ini diserahkan atau dinilai.

Bacalah kata perintah: selesaikan meminta nilai yang memenuhi suatu kondisi, sederhanakan untuk ekspresi ekuivalen, dan justifikasi untuk alasan. Tampilkan metode yang valid agar pembaca dapat memeriksa bagaimana hasil tersebut diperoleh. Skema penilaian untuk setiap tugas menentukan nilainya.

Enam lembar latihan pendamping ini adalah materi orisinal yang selaras dengan GAC004, bukan soal resmi. Kunci jawabannya memberikan nilai berdasarkan langkah-langkah matematika yang dinyatakan, bukan berdasarkan panjang laporan tertulis.

Kosakata bilangan diasumsikan oleh setiap unit selanjutnya.

Bilangan bulat adalah bilangan bulat, termasuk bilangan bulat negatif dan nol. Bilangan rasional dapat dapat ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat dengan penyebut tak nol; bilangan irasional tidak dapat, dan $\pi$ dan $\sqrt{2}$ adalah contoh standar. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih besar dari 1 dengan tepat dua faktor positif, dirinya sendiri dan 1.

eksponen, kemudian perkalian dan pembagian, lalu penjumlahan dan pengurangan, bekerja dari kiri ke kanan dalam satu tingkat. indeks, kemudian perkalian dan pembagian, kemudian penjumlahan dan pengurangan, bekerja dari kiri ke kanan dalam satu tingkat.

• Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan **kelipatan persekutuan terkecil (KPK) mengalikannya. 6 adalah faktor dari 24, dan 24 adalah kelipatan dari 6.
• Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan **Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) berasal dari faktor prima: $24 = 2^3 \times 3$ dan $36 = 2^2 \times 3^2$, sehingga FPB adalah $2^2 \times 3 = 12$ dan KPK adalah $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Persentase adalah pecahan dengan penyebut 100. Peningkatan sebesar 15% dikalikan dengan $1.15$; penurunan sebesar 15% dikalikan dengan $0.85$. Membalikkan perubahan persentase berarti pembagian, bukan pengurangan persentase yang sama kembali.
• Angka penting adalah digit yang disimpan untuk menyatakan nilai pada presisi tertentu. Angka ini saja tidak menentukan akurasi pengukuran. $0.004\,072$ dibulatkan menjadi tiga angka penting adalah $0.004\,07$.
• Notasi ilmiah menuliskan sebuah bilangan sebagai $a \times 10^n$ dengan $1 \le |a| < 10$ untuk bilangan tak nol, dengan n bilangan bulat. Ini adalah cara kalkulator menampilkan jawaban yang sangat besar atau sangat kecil.

Contoh terpecahkan. Penurunan dan peningkatan menggunakan basis yang berbeda

Diketahui: harga ciptaan 80 unit turun 20%, kemudian naik 20%. Mengapa menggunakan pengali berturut-turut? Setiap perubahan dihitung dari harga saat itu.

Harga tidak kembali ke 80. Penurunan adalah 16, sementara kenaikan berikutnya adalah 12.8, karena basisnya berbeda.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.1. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Persamaan menyatakan dua ekspresi sama dan diselesaikan untuk suatu nilai. Identitas

Dalam $5x^2 - 3x + 7$, seluruhnya adalah ekspresi; $5x^2$, $-3x$ dan $7$ adalah suku-sukunya; suku; 5 adalah koefisien dari $x^2$; dan 7 adalah konstanta.

Untuk menguraikan adalah menghilangkan kurung; untuk memfaktorkan adalah mengembalikannya. benarnya untuk setiap nilai dalam domainnya. Ketaksamaan membandingkan dua ekspresi dengan $<$, $\le$, $>$ atau $\ge$.

Untuk menjabarkan adalah menghapus kurung; untuk memfaktorkan adalah mengembalikannya.

• Sistem persamaan simultan adalah dua persamaan dalam dua variabel tak diketahui, diselesaikan melalui substitusi atau eliminasi. Untuk dua persamaan linear, solusi unik adalah perpotongannya. Garis sejajar yang berbeda tidak memiliki solusi; garis identik memiliki tak hingga banyak solusi.
• Persamaan kuadrat memiliki bentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\ne0$. Faktorkan jika sesuai, atau gunakan $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Sistem persamaan linear adalah dua persamaan dalam dua variabel tak diketahui, diselesaikan dengan substitusi Contoh kerja. balik tanda pertidaksamaan saat membagi dengan bilangan negatif
• ⚠ Pertidaksamaan terbalik ketika Anda mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif bilangan: dari $-2x > 6$ diperoleh bahwa $x < -3$.

Contoh terpecahkan. balik tanda pertidaksamaan saat membagi dengan bilangan negatif

Diketahui: selesaikan $7-3x>1$. Kurangi 7 dari kedua ruas, lalu bagi dengan bilangan negatif 3. Operasi terakhir membalikkan pertidaksamaan.

Lingkaran terbuka mengecualikan 2. Cek $x=1$: $7-3(1)=4>1$; batas $x=2$ memberikan kesamaan dan dieksklusi.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.2. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa baik metode maupun satuan akhir.

Grafik mengubah persamaan menjadi gambar, dan geometri koordinat mengukur gambar tersebut.

Garis lurus nonvertikal dapat ditulis $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien dan $c$ adalah perpotongan sumbu-y y. Gradien adalah kenaikan dibagi dengan perpindahan horizontal.

• Garis lurus nonvertikal yang berbeda adalah sejajar jika gradiennya sama. Dua garis nonvertikal adalah tegak lurus jika hasil kali gradiennya $-1$. Garis vertikal memiliki gradien tak terdefinisi; garis vertikal dan horizontal saling tegak lurus.
• Untuk menyelesaikan dua persamaan secara grafika, gambar keduanya dan baca koordinat dari antara dua titik berasal dari teorema Pythagoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Kuadrat digambarkan sebagai parabola. Titik puncak-nya adalah titik belok, dan akar-akar adalah nilai-x tempat kurva memotong sumbu $x$, yaitu solusi dari $y=0$. Akar ganda menyentuh sumbu tanpa melintasinya; beberapa persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.
• Untuk menyelesaikan dua persamaan secara grafis, gambar keduanya dan bacalah koordinat titik potong. Jawabannya hanya sedakur akurat gambarnya, sehingga pemeriksaan aljabar penting.

Contoh terpecahkan. garis naik melalui dua titik yang diberikan

Diketahui: $A=(1,2)$ dan $B=(4,8)$. Gunakan gradien karena garis tidak vertikal.

Persamaan garis adalah $y=mx+c$. Substitusikan A untuk mencari intersep.

Sehingga $y=2x$. Perubahan horizontal pada diagram adalah 3 dan perubahan vertikal adalah 6.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.3. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Geometri bidang membahas bangun datar, geometri ruang membahas tiga dimensi, dan geometri Euclid adalah penalaran yang menghubungkannya.

Sudut pada garis lurus berjumlah $180°$, sudut mengelilingi titik berjumlah $360°$, dan sudut dalam segitiga Euclid bidang berjumlah $180°$. Pada poligon sederhana dengan $n$ sisi, jumlah sudut dalamnya adalah $(n - 2) \times 180°$.

• Bangun kongruen identik dalam ukuran dan bentuk; bangun serupa memiliki bentuk sama dengan semua panjang dalam satu rasio.
• Teorema Pythagoras berlaku pada segitiga siku-siku: $a^2 + b^2 = c^2$, di mana $c$ adalah hipotenusa.
• Luas diukur dalam satuan persegi dan volume dalam satuan kubik. Silinder memiliki volume $\pi r^2 h$; bola memiliki volume $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ dan luas permukaan $4\pi r^2$.
• ⚠ Pengskalaan tidak linear. Jika setiap panjang benda ruang digandakan, luasnya dikalikan dengan $2^2 = 4$ dan volumenya dengan $2^3 = 8$.

Contoh terpecahkan. prisma segitiga memiliki penampang melintang konstan

Diketahui: sisi tegak segitiga adalah 3 dan 4 cm; panjang prisma adalah 10 cm. Temukan luas penampang, lalu kalikan dengan panjang prisma.

Sisi miring segitiga bukan tinggi tegaknya. Volume bukanlah luas ujung segitiga.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.4. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Trigonometri menghubungkan sudut-sudut segitiga dengan sisinya.

Pada segitiga siku-siku, dengan $\theta$ salah satu sudut lancip, ketiga rasionya adalah $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ dan $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Untuk segitiga Euclid bidang non-degenerate, berlaku aturan sinus dan aturan kosinus:

• Sudut dapat diukur dalam derajat atau dalam radian, di mana $\pi$ radian setara dengan $180°$. Periksa mode kalkulator Anda sebelum setiap soal.
• Lingkaran unit memperluas rasio melebihi $90°$ dan menjelaskan mengapa $\sin$ dan $\cos$ berulang setiap $360°$: mereka bersifat periodik.
• Azimut diukur searah jarum jam dari utara dan selalu ditulis dengan tiga angka, seperti $075°$.
• Sudut elevasi dan depresi diukur dari horizontal, ke atas dan ke bawah masing-masing. Tambahkan tinggi pengamat atau instrumen jika jawaban memerlukan ketinggian di atas tanah. Dengan data sisi-sisi-sudut, aturan sinus mungkin mengizinkan dua segitiga: periksa kedua sudut pelengkapnya terhadap jumlah sudut yang tersisa.

Contoh terpecahkan. ketinggian dari jarak horizontal dan sudut

Diketahui: jarak horizontal $d=12$ m dan elevasi $\theta=30^\circ$. Ketinggian h berhadapan dan d bersebelahan, jadi gunakan tangen dalam mode derajat.

Ini adalah ketinggian di atas garis pandang horizontal pengamat, bukan otomatis ketinggian di atas tanah.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.5. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Kedua fungsi ini menggambarkan pertumbuhan dan peluruhan, serta saling membatalkan.

Sebuah fungsi eksponensial memiliki bentuk $y=a^x$ dengan $a>0$ dan $a\ne1$: variabelnya berada dalam eksponen. Setiap langkah satuan mengalikan nilainya dengan a. Fungsi ini tumbuh ketika $a>1$ dan meluruh ketika $0. Titik potong sumbu-y-nya adalah 1 dan nilainya tetap positif; sumbu-x merupakan asimtot horizontal.

Logaritma menjawab pertanyaan sebaliknya. $\log_a y = x$ berarti tepat $a^x = y$, sehingga $\log_{10}1000=3$. Untuk logaritma riil, argumen harus positif, dan basis harus positif serta berbeda dari 1. Grafik $y=\log_a x$ melewati $(1,0)$ dan memiliki asimtot vertikal $x=0$.

• Untuk argumen positif dan basis yang valid sama, hukum-hukumnya mengubah perkalian menjadi penjumlahan, yang membuat logaritma berguna untuk menyelesaikan persamaan dengan variabel tak diketahui di pangkat.
• Logaritma natural menggunakan basis $e \approx 2.718$ dan ditulis $\ln$.
• Bunga majemuk bersifat eksponensial: $A = P(1 + r)^n$ setelah $n$ periode.
• Peluruhan eksponensial memiliki basis antara 0 dan 1, dan dapat menggambarkan proporsi yang tersisa setiap periode berdasarkan asumsi yang ditetapkan. Hal ini tidak menjamin bahwa proses riil mengikuti model tersebut secara tak terbatas.

Contoh terpecahkan. reduksi berulang mengalihkan daripada mengurangi jumlah tetap

Diketahui: besaran ciptaan dimulai dari 100 unit dan berkurang 20% per periode penuh. Proporsi yang tersisa adalah 0,8, jadi gunakan model perkalian.

Pengurangan pertama adalah 20 unit dan kedua adalah 16. Pengurangan tetap 20 setiap periode akan menjadi model yang berbeda.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.6. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Tingkat nominal yang lebih murah belum tentu menghasilkan total yang lebih murah, dan survei yang lebih besar belum tentu menghasilkan hasil yang lebih representatif. Matematika II menggunakan aturan eksplisit, perhitungan, dan batasan bukti untuk meneliti pertanyaan-pertanyaan semacam itu.

GAC010 mencakup barisan, keuangan, probabilitas dan statistika. Brief pusat Anda saat ini menentukan tugas penilaian, bobot, alat, dan tenggat waktu. Ujian, proyek, ujian akhir dan tugas kursus mungkin menggunakan instruksi yang berbeda; lembar latihan asli ini tidak menetapkan pola resmi atau kredit universitas mereka.

Tampilkan data yang diketahui, mengapa rumus berlaku, persamaan simbolik, dan substitusi. Nyatakan satuan dan interpretasikan hasilnya. Ringkasan statistik menggambarkan himpunan observasi yang didefinisikan atau model yang dinyatakan; hal itu tidak secara otomatis menetapkan sebab atau temuan seluruh populasi.

Semua jumlah keuangan, tingkat, biaya, dan aturan pembayaran dalam contoh adalah kondisi pengajaran yang dibuat-buat. Gunakan asumsi penjadwalan dan pembulatan yang dinyatakan daripada mengasumsikan aturan pajak atau pinjaman yang sebenarnya.

Barisan adalah daftar terurut dari angka-angka; deret adalah jumlah dari angka-angka tersebut.

Barisan aritmatika menambahkan selisih umum tetap $d$ setiap langkahnya. A barisan geometri mengalikan dengan rasio umum tetap $r$.

• Jumlah-jumlahnya adalah $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ dan $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ untuk $r \neq 1$.
• Deret geometri dengan $|r| < 1$ memiliki jumlah tak hingga $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
• Pisahkan suku dari total. Beberapa model keuangan memajemukan secara geometris, sementara yang lain menggunakan bunga tunggal atau arus kas. Sesuaikan model dengan aturan yang ditentukan.

Contoh dikerjakan. jumlah baris berbeda dengan jumlah konstan

Diketahui: jumlah baris adalah 4, 7, dan 10, berlanjut dengan perbedaan yang sama. Jadi $a=4$ dan $d=3$. Untuk baris kelima:

Untuk lima baris pertama bersama-sama, gunakan jumlah aritmatika, bukan suku kelima.

Lembar latihan 2.1 memberikan serangkaian yang semakin sulit dengan solusi dikerjakan.

Unit ini adalah aritmatika kehidupan biasa, dalam bahasa Inggris.

• Pajak bruto adalah apa yang Anda dapatkan; pajak bersih adalah apa yang diterima setelah potongan seperti pajak dan asuransi.
• Bunga tunggal adalah $I = Prt$ — bunga hanya pada jumlah awal.
• Bunga majemuk adalah $A = P(1+r)^n$ — bunga atas bunga, sehingga ia menjadi geometris.
• Penyusutan adalah penurunan nilai tercatat. Model persentase tetap menggunakan $V_n=V_0(1-r)^n$; konvensi penyusutan lainnya dapat menggunakan aturan yang berbeda.
• Diskon sebesar 20% mengalikan dengan 0.8. Dua diskon berturut-turut sebesar 20% dan 10% mengalikan dengan $0.8 \times 0.9 = 0.72$, yang merupakan pengurangan 28%, bukan 30%.

Contoh dikerjakan. hitung jam reguler dan lembur secara terpisah

Diketahui: 8 jam kerja pada 20 unit per jam dan 2 jam lembur pada 1.5 kali tarif tersebut. Pisahkan kedua kategori sebelum menjumlahkan pembayaran.

Jika potongan tetap yang dibuat-buku adalah 15 unit, kurangkan dari gaji bruto sekali saja.

Lembar latihan 2.2 memberikan serangkaian yang semakin sulit dengan solusi dikerjakan.

• Di bawah asumsi tingkat diskonto tetap dan penjadwalan yang dinyatakan, nilai sekarang dari jumlah di masa depan adalah: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• Anuitas memiliki pembayaran yang ditentukan pada interval teratur. Jadwal cicilan pinjaman mungkin sebaliknya memiliki jumlah yang berubah atau pembayaran terakhir yang disesuaikan; tentukan apakah bunga datang sebelum atau sesudah pembayaran.
• Label APR adalah ukuran tingkat tahunan yang perhitungannya dan biaya yang disertakan bergantung pada konvensi yang dinyatakan. Lembar ini menggunakan tingkat periode yang didefinisikan secara eksplisit, bukan konvensi APR yang tidak dinyatakan.
• ⚠ Tingkat pengajaran nominal 12% dengan tingkat bulanan 1% memiliki pertumbuhan efektif tahunan $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. Frekuensi pemajemukan atau jadwal biaya yang berbeda memerlukan perhitungan yang berbeda.

Contoh dikerjakan. bunga kemudian pembayaran, dalam urutan tersebut

Diketahui: saldo pembukaan 1000 unit, tingkat periode 2%, pembayaran akhir periode 300 unit. Bunga datang sebelum pembayaran di bawah konvensi yang dinyatakan ini.

Bunga periode berikutnya menggunakan 720, bukan pokok asli.

Lembar latihan 2.3 memberikan serangkaian yang semakin sulit dengan solusi dikerjakan.

Probabilitas mengukur seberapa kemungkinan suatu peristiwa terjadi, pada skala dari 0 hingga 1.

• Untuk hasil yang sama kemungkinannya, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Peristiwa saling lepas ketika keduanya tidak bisa terjadi bersamaan: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Peristiwa independen ketika satu tidak mempengaruhi yang lain: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• Aturan komplementer, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, sering kali merupakan jalur tercepat menuju jawaban yang mengandung "setidaknya satu".
• Teknik penghitungan menyediakan penyebut: permutasi menghitung pemilihan terurut , kombinasi menghitung yang tidak terurut.

Probabilitas bersyarat adalah $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ untuk $P(B)>0$. Satu gabungan menguranginya tumpang tindih: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Asosiasi dalam tabel yang disediakan tidak secara langsung menetapkan sebab.

Contoh dikerjakan. pengambilan kedua bergantung pada yang pertama

Diketahui: dua koin merah dan satu koin biru, dua pengambilan acak tanpa pengembalian. Untuk mendapatkan dua merah, ikuti jalur merah-merah dan kalikan probabilitas bersyaratnya.

Pertama biru meninggalkan hanya koin merah; jalur biru-biru memiliki probabilitas nol. Pengambilan-pengambilan tersebut tidak independen.

Lembar latihan 2.4 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

• Populasi adalah semua individu yang ingin anda terangkan; sampel adalah siapa yang sebenarnya diukur.
• Mengamalkan kepada populasi memerlukan sampel yang representatif yang sesuai serta laporan jujur mengenai pemilihan dan tindak balas tidak. Suruhan kelas boleh menggambarkan kelas tersebut tanpa menetapkan peratusan seluruh sekolah.
• Data berkualiti adalah kategori; data kuantitatif mengukur jumlah, sama ada diskret (dihitung) atau berterusan (diukur).
• Bias masuk melalui siapa yang ditanya, siapa yang menjawab, dan bagaimana soalan disusun, dan aritmetik semata-mata tidak membaiki pemerhatian yang hilang atau dipilih secara sistematik.

Contoh kerja. tinggi bar yang sama boleh menyembunyikan frekuensi yang berbeza

Diketahui: kelas 0 hingga 10 mempunyai frekuensi 20; kelas 10 hingga 30 mempunyai frekuensi 20. Lebar berbeza, jadi hitung ketumpatan frekuensi.

Bar kedua separuh tingginya tetapi dua kali lebarnya. Kedua-dua kawasan mewakili 20 pemerhatian.

Lembar latihan 2.5 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Untuk kelas histogram lebar tidak sama, tinggi ialah frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas supaya kawasan bar mewakili frekuensi. Simpan kategori dalam bar terpisah dan selang numerik berterusan dalam histogram.

• Min ialah jumlah dibahagikan dengan bilangan. Ia menggunakan setiap nilai, dan setiap pencilan.
• Median ialah nilai tengah dalam susunan. Memindahkan nilai ekstrem tanpa mengubah tengah tersusun mungkin meninggalkan ia tidak berubah.
• Mod ialah nilai paling kerap, dan ia boleh mengenal pasti kategori paling kerap tanpa memaksakan skala numerik. Taburan mungkin mempunyai lebih daripada satu mod atau tiada mod unik.
• ⚠ Pilih ringkasan untuk soalan. Pencilan tinggi boleh menarik min ke atas median. Min masih mengukur jumlah per pemerhatian; median menentukan tengah tersusun. Tiada satu pun menyatakan bahawa kebanyakan pemerhatian bersamaan dengannya.

Contoh kerja. saiz kumpulan menentukan min gabungan

Diketahui: kumpulan A mempunyai 10 skor dengan min 60; kumpulan B mempunyai 20 dengan min 75. Pulihkan jumlah bagi setiap kumpulan sebelum digabungkan.

Min tanpa pemberat bagi 60 dan 75 akan menjadi 67.5, yang mengabaikan bilangan tidak sama.

Lembar latihan 2.6 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

• Jangkauan ialah nilai terbesar tolak nilai terkecil — jangkauan penuh, jadi pencilan boleh mengubahnya dengan ketara.
• Jangkauan interkuartil (IQR) ialah perbezaan $Q_3-Q_1$ merentasi separuh tengah oleh konvensi kuartil yang dinyatakan. Graf kotak menunjukkan kuartil dan median, dengan peraturan janggut yang mesti ditentukan.
• Sisihan piawai meringkas sebaran menggunakan sisihan kuasa dua. Untuk populasi lengkap, gunakan: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. Anggaran sampel menggunakan $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ di bawah konvensi yang dinyatakan itu. Varians mempunyai unit kuasa dua; sisihan piawai mempunyai unit asal.
• Sisihan piawai yang lebih besar bermaksud sebaran yang lebih luas. Dua set data boleh berkongsi min dan menerangkan situasi yang sangat berbeza.

Contoh kerja. baca ringkasan lima nombor bukannya setiap pemerhatian

Ringkasan lima nombor diketahui: minimum 2, $Q_1=4$, median 6, $Q_3=8$, maksimum 12. Jangkauan keseluruhan dan jangkauan separuh tengah adalah berbeza.

Kotak tidak mengenal pasti setiap nilai asal, saiz sampel atau mengapa sebaran berlaku.

Lembar latihan 2.7 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Untuk lembaran 2.7, kuartil adalah median bagi senarai separuh tersusun, mengecualikan median keseluruhan untuk bilangan ganjil. Janggut berjalan ke minimum dan maksimum. Jangan campur konvensi ini dengan kuartil software yang diinterpolasikan atau janggut pagar pencilan.

• Taburan normal adalah model berbentuk loceng simetri berterusan yang ditentukan oleh min dan sisihan piawai positifnya. Dua ringkasan ini sahaja tidak menetapkan bahawa data diperhatikan mengikuti model ini.
• Di bawah model normal,规则 empirikal anggaran ialah: kira-kira 68% nilai terletak dalam satu sisihan piawai dari min, 95% dalam dua, dan 99.7% dalam tiga.
• Skor z mengatakan berapa banyak sisihan piawai sebuah nilai berada dari min: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, yang inilah yang menjadikan dua skala berbeza boleh dibandingkan.

Untuk model normal, gunakan kawasan kumulatif $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ dan simetri $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. Selang menolak dua had kumulatifnya. Bilangan yang diharapkan ialah saiz sampel kali kebarangkalian dan tidak perlu merupakan integer; bilangan yang diperhatikan ialah integer.

Contoh kerja. ambang ialah kawasan melebihi nilai yang dinormalkan

Diketahui: model pengukuran ciptaan mempunyai $\mu=50$ dan $\sigma=10$. Untuk nilai di atas 60, normalkan ambangnya.

Gunakan komplemen bagi kawasan kumulatif yang dibekalkan.

Ini adalah kebarangkalian model, bukan jaminan bahawa tepat 15.87% daripada sampel terhingga melebihi 60.

Lembar latihan 2.8 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Kelajuan purata tidak memberitahu anda setiap kelajuan serta-merta, dan sesaran bertanda tidak sentiasa bersamaan dengan jarak total. Kalkulus menjadikan perbezaan itu tepat.

GAC016 mengembangkan diferensiasi, integrasi dan penerapannya. Brief pusat Anda saat ini menentukan tugas penilaian dan persyaratan grading; lembar latihan asli ini tidak menetapkan keputusan kredit universitas atau pola ujian resmi.

Nyatakan variabel bebas, domain, dan satuan. Notasi $dy/dx$ adalah turunan terhadap x; titik di atas y biasanya menandakan turunan terhadap waktu. Notasi tersebut menggambarkan operasi yang sama hanya jika variabel bebasnya sesuai.

Untuk aplikasi, jelaskan apa yang dimaksud dengan laju atau nilai terakumulasi dalam model yang dinyatakan. Laju perubahan volume negatif sebesar 3 sentimeter kubik per detik berarti volume sedang turun pada laju tersebut, bukan bahwa volumenya itu sendiri bernilai negatif.

Turunan adalah laju perubahan: seberapa cepat $y$ berubah ketika $x$ berubah. Secara geometris, ia merupakan gradien garis singgung pada suatu titik.

Limit inilah definisinya. Diferensiasi dari prinsip pertama menggunakan hasil bagi selisih untuk h yang tak nol, lalu mengambil limitnya. Limit satu sisi yang tidak sama, seperti untuk $|x|$ di nol, mencegah adanya turunan bahkan ketika fungsi tersebut kontinu.

• Aturan pangkat, pada domain di mana pangkatnya terdiferensiasi: jika $y = x^n$ maka $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• Aturan perkalian: $(uv)' = u'v + uv'$.
• Aturan pembagian, di mana $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Aturan rantai: jika $y = f(g(x))$ maka $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Titik stasioner terjadi ketika $f'(x) = 0$. Turunan kedua kemudian mengklasifikasikan titik stasioner ketika nilainya tak nol: negatif memberikan maksimum lokal dan positif memberikan minimum lokal. Turunan kedua bernilai nol tidak konklusif; gunakan tanda turunan atau bukti lainnya. Titik belok stasioner bisa saja bukan merupakan ekstrema.

Contoh terpecahkan. kemiringan garis singgung berbeda dari kemiringan garis potong

Diketahui: $f(x)=x^2$. Garis potong antara x sama dengan 1 dan 2 memiliki kemiringan 3, tetapi turunan di x sama dengan 1 adalah 2.

Kemiringan rata-rata pada interval terbatas tidak harus sama dengan kemiringan instan di salah satu ujungnya.

Gunakan lembar latihan asli 3.1 untuk menguji metode, domain, dan interpretasinya terhadap solusinya.

Integrasi tak tentu menemukan antiturunan. Integrasi tentu mengukur akumulasi bertanda, yang dapat berbeda dari area geometris. Untuk fungsi integran yang kontinu, teorema dasar kalkulus menghubungkan integral tentu dengan selisih nilai antiturunan pada batas-batasnya.

• Integral tak tentu tidak memiliki batas dan memerlukan konstanta integrasi : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ untuk $n \neq -1$.
• Integral tentu memiliki batas dan menghasilkan sebuah angka: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Integrasi dengan substitusi membalikkan aturan rantai.
• ⚠ Melupakan $+c$ pada integral tak tentu adalah satu-satunya kesalahan poin yang paling sering terjadi dalam modul ini, dan hal itu terjadi pada pertanyaan yang sebenarnya sudah Anda jawab dengan benar.

Contoh terpecahkan. area negatif dan positif dapat saling menghilangkan

Diketahui: $f(x)=x$ dari minus 1 hingga 1. Integral tentunya adalah nol karena kontribusi negatif dan positif saling meniadakan.

Area geometris sebaliknya menjumlahkan besaran dari kedua daerah segitiga tersebut.

Gunakan lembar latihan asli 3.2 untuk menguji metode, domain, dan interpretasinya terhadap solusinya.

• Optimisasi mencari nilai terbesar atau terkecil dari suatu kuantitas: tulis kuantitas sebagai fungsi dari satu variabel pada domain layak yang dinyatakan, diferensiasikan, temukan kandidat, dan justifikasikan optimum yang diinginkan. Periksa batas yang termasuk dan batasan bilangan bulat jika relevan.
• Laju perubahan tersambung secara berantai: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Area antara dua kurva adalah $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ di mana $f$ adalah kurva atas pada seluruh interval tersebut. Pisahkan pada titik persilangan jika urutan mereka berubah.
• Biaya marjinal dan pendapatan marjinal adalah turunan dari model biaya dan pendapatan kontinu yang dinyatakan. Mereka merupakan laju instan, bukan perubahan diskrit satuan yang otomatis tepat.

Contoh terpecahkan. perimeter tetap menyisakan satu variabel area

Diketahui: persegi panjang memiliki perimeter 20, sehingga panjang ditambah lebar adalah 10. Misalkan lebar adalah x; panjangnya adalah $10-x$ dan $0.

Kandidat stasionernya adalah $x=5$. Karena $A''(x)=-2<0$ mendekati nol di kedua ujung domain, kandidat ini adalah maksimum global. Ini adalah persegi 5 by 5 dengan area 25.

Gunakan lembar latihan asli 3.3 untuk menguji metode, domain, dan interpretasinya terhadap solusinya.

Anggota himpunan yang berulang dihitung sekali, carry biner mungkin melebihi lebar tetap, dan rute dengan jumlah tepi terkecil mungkin bukan yang memiliki bobot terkecil. Matematika diskrit membuat aturan-aturan tersebut menjadi eksplisit.

GAC024 mencakup himpunan, sistem penghitungan, logika biner, algoritma, dan jaringan. Brief pusat Anda saat ini menentukan tugas penilaian, alat, bobot, dan tenggat waktu. Lembar latihan asli ini tidak menetapkan aturan penilaian resmi atau keputusan kredit universitas.

Nyatakan semesta, lebar representasi, input yang diperbolehkan, atau asumsi grafik sebelum menyelesaikan. Tunjukkan cukup langkah kerja agar pembaca lain dapat mereproduksi hasilnya dan membedakan model matematika dari implementasi nyatanya.

• Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda. Urutan dan pengulangan tidak penting.
• Gabungan $A \cup B$ adalah semua elemen yang ada di salah satunya; irisan $A \cap B$ adalah apa yang ada di keduanya; komplemen himpunan adalah semua elemen dalam semesta yang dinyatakan tetapi berada di luar himpunan.
• Subset memiliki semua elemennya di dalam himpunan lain.
• Relasi memasangkan elemen dari dua himpunan. Fungsi adalah relasi di mana setiap input dalam domain yang ditentukan memiliki tepat satu output. Input berbeda dapat berbagi output; relasi invers hanya merupakan fungsi jika output secara unik mengidentifikasi inputnya.
• Diagram Venn mengubah masalah himpunan menjadi gambar, dan dapat menunjukkan wilayah yang saling lepas beserta jumlahnya. Pastikan wilayah-wilayah tersebut berjumlah sama dengan total semesta yang diberikan.

Prinsip inklusi-eksklusi mengurangi tumpang tindih yang terhitung ganda sekali: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Contoh terpecahkan. kurangi tumpang tindih hanya sekali

Diketahui: 30 peserta didik, 18 belajar Prancis, 15 Jerman, dan 7 keduanya. Tumpang tindih termasuk dalam total masing-masing mata pelajaran.

Prancis-saja adalah $18-7=11$ dan Jerman-saja $15-7=8$. Keempat wilayah yang saling lepas berjumlah 30.

Lembar latihan 4.1 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

• Basis angka posisi b menggunakan digit dari nol hingga b kurang satu dan bobot tempat $b^i$. Desimal menggunakan sepuluh, biner dua, heksadesimal enam belas.
• Nilai setiap digit adalah nilai tempat: dalam biner, tempat-tempatnya adalah 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya.
• Heksadesimal adalah singkatan untuk biner: satu digit heksadesimal tepat sama dengan empat bit, sehingga konversi dapat mengelompokkan pola biner dengan lebar tertentu ke dalam blok empat bit. Nol depan mempertahankan lebar sambil tetap nilai tak bernilai tetap.

Untuk n bit tak bernilai, nilainya berkisar dari nol hingga $2^n-1$. Bedakan antara penjumlahan tanpa batas dan hasil yang disimpan dengan lebar tetap; aturan pembalikan, jika disebutkan secara eksplisit, akan menjaga n bit terendah.

Contoh terpecahkan. bobot tempat menentukan nilai desimal

Angka yang diketahui $1101_2$. Gunakan bobot dari kanan ke kiri: 1, 2, 4, dan 8.

Nilai yang sama adalah D dalam heksadesimal. Nol depan tidak akan mengubah nilai positif ini tetapi dapat mencatat lebar yang dimaksud.

Lembar latihan 4.2 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

• Aritmatika biner menjumlahkan seperti desimal, dengan membawa pada 2 bukan pada 10.
• Bit adalah satu digit biner; byte adalah delapan.
• Aljabar Boolean bekerja pada benar dan salah dengan AND, OR, dan NOT.
• Tabel kebenaran mencantumkan setiap kombinasi input dan output Boolean. Mencocokkan setiap baris membuktikan ekuivalensi untuk input Boolean terbatas yang sama; hal itu tidak membuktikan waktu rangkaian fisik atau keamanan sistem nyata.
• Gerbang logika mengimplementasikan operasi yang ditentukan, dan sirkuit logika menghubungkannya. Jejakkan logika abstrak sesuai dengan koneksi dan konvensi inputnya.

Gunakan OR inklusif dan tanda kurung eksplisit. De Morgan memberikan $\neg(A\land B)=(\neg A)\lor(\neg B)$. NOT bitwise membalikkan hanya lebar yang ditentukan, bukan representasi tak terbatas yang tidak spesifik.

Contoh terpecahkan. output OR dibalik oleh NOT

Diketahui: $Y=\neg(A\lor B)$. OR inklusif hanya salah ketika kedua inputnya salah; NOT membalikkan hasil itu. Dalam urutan baris $(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$, kolom output adalah 1, 0, 0, 0. De Morgan memberikan ekspresi ekuivalen $(\neg A)\land(\neg B)$.

Lembar latihan 4.3 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

• Algoritma menggambarkan langkah-langkah tak ambigu untuk suatu tugas. Prosedur yang memecahkan tugas terbatas yang ditentukan harus berakhir dan memberikan hasil yang diperlukan untuk input yang diizinkannya.
• Flowchart menggambarkannya: keputusan berupa belah ketupat, proses berupa persegi panjang.
• Pseudocode merepresentasikan langkah-langkahnya tanpa memerlukan bahasa implementasi tertentu. Nyatakan penugasan, batas perulangan, dan konvensi indeks sebelum melakukan pelacakan.
• Melacak algoritma — tabel dengan satu kolom per variabel dan satu baris per langkah — mencatat pembaruan aktualnya. Pelacakan memeriksa input yang dipilih; klaim untuk semua input yang diizinkan juga memerlukan argumen kebenaran.
• Efisiensi penting: pencarian linear dapat berhenti lebih awal tetapi mungkin memeriksa semua item n. Pencarian biner berulang kali membuang setengah dari rentang pencarian yang terurut; jumlah perbandingan logaritmisnya memerlukan data yang diurutkan dan konvensi batas.

Contoh terpecahkan. ulangi langkah sisa hingga angka kedua menjadi nol

Diketahui: mulai dengan bilangan bulat positif a sama dengan 10 dan b sama dengan 6. Selama b tidak nol, hitung r sebagai a MOD b, lalu tetapkan a menjadi b dan b menjadi r. Pasangan setelah iterasi lengkap adalah (6,4), (4,2), (2,0), memberikan output 2. Sisa sementara r melestarikan sisa sebelum a dan b berubah. Setiap sisa tidak nol lebih kecil dari b positif sebelumnya, mendukung terminasi.

Lembar latihan 4.4 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

• Graf adalah himpunan titik sudut yang terhubung oleh sisi. Ini memodelkan segala sesuatu yang memiliki koneksi: jalan, pertemanan, ketergantungan.
• Untuk graf tak berarah sederhana tanpa loop atau sisi berulang, derajat menghitung sisi insiden. Setiap sisi berkontribusi dua terhadap jumlah derajat total.
• Pohon adalah graf terhubung tanpa siklus, dan pohon terbatas dengan n titik sudut memiliki n kurang 1 sisi. Beberapa model hierarkis menggunakan pohon, tetapi sistem nyata juga dapat berisi tautan silang atau siklus.
• Masalah jalur terpendek meminta rute termurah antara dua titik, berdasarkan total bobot di bawah batasan yang ditetapkan, bukan hanya berdasarkan jumlah sisi. Pohon rentang minimum (minimum spanning tree) sebaliknya menghubungkan setiap titik tanpa siklus dan meminimalkan total bobot sisi yang termasuk.

Contoh terpecahkan. bandingkan total bobot rute, bukan jumlah sisi

Bobot sisi yang diketahui adalah AB = 2, BC = 3, AC = 8, dan CD = 1. Rute A-C-D memiliki bobot 9, sedangkan A-B-C-D memiliki bobot 6. Oleh karena itu, jalur tiga-sisi lebih pendek secara bobot meskipun memiliki lebih banyak sisi. Pohon rentang minimum untuk jaringan kecil ini menggunakan AB, BC, dan CD dengan total 6; kesamaan total di sini tidak membuat kedua tugas tersebut identik.

Lembar latihan 4.5 mencakup soal-soal yang semakin sulit dan solusi yang telah diverifikasi secara independen.