GAC016 Mathematics III: Calculus & Advanced Applications · ⁨GAC016 Matematika III: Kalkulus & Aplikasi Lanjutan⁩

Kelajuan purata tidak memberitahu anda setiap kelajuan serta-merta, dan sesaran bertanda tidak sentiasa bersamaan dengan jarak total. Kalkulus menjadikan perbezaan itu tepat.

GAC016 mengembangkan diferensiasi, integrasi dan penerapannya. Brief pusat Anda saat ini menentukan tugas penilaian dan persyaratan grading; lembar latihan asli ini tidak menetapkan keputusan kredit universitas atau pola ujian resmi.

Nyatakan variabel bebas, domain, dan satuan. Notasi $dy/dx$ adalah turunan terhadap x; titik di atas y biasanya menandakan turunan terhadap waktu. Notasi tersebut menggambarkan operasi yang sama hanya jika variabel bebasnya sesuai.

Untuk aplikasi, jelaskan apa yang dimaksud dengan laju atau nilai terakumulasi dalam model yang dinyatakan. Laju perubahan volume negatif sebesar 3 sentimeter kubik per detik berarti volume sedang turun pada laju tersebut, bukan bahwa volumenya itu sendiri bernilai negatif.

Turunan adalah laju perubahan: seberapa cepat $y$ berubah ketika $x$ berubah. Secara geometris, ia merupakan gradien garis singgung pada suatu titik.

Limit inilah definisinya. Diferensiasi dari prinsip pertama menggunakan hasil bagi selisih untuk h yang tak nol, lalu mengambil limitnya. Limit satu sisi yang tidak sama, seperti untuk $|x|$ di nol, mencegah adanya turunan bahkan ketika fungsi tersebut kontinu.

• Aturan pangkat, pada domain di mana pangkatnya terdiferensiasi: jika $y = x^n$ maka $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• Aturan perkalian: $(uv)' = u'v + uv'$.
• Aturan pembagian, di mana $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Aturan rantai: jika $y = f(g(x))$ maka $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Titik stasioner terjadi ketika $f'(x) = 0$. Turunan kedua kemudian mengklasifikasikan titik stasioner ketika nilainya tak nol: negatif memberikan maksimum lokal dan positif memberikan minimum lokal. Turunan kedua bernilai nol tidak konklusif; gunakan tanda turunan atau bukti lainnya. Titik belok stasioner bisa saja bukan merupakan ekstrema.

Contoh terpecahkan. kemiringan garis singgung berbeda dari kemiringan garis potong

Diketahui: $f(x)=x^2$. Garis potong antara x sama dengan 1 dan 2 memiliki kemiringan 3, tetapi turunan di x sama dengan 1 adalah 2.

Kemiringan rata-rata pada interval terbatas tidak harus sama dengan kemiringan instan di salah satu ujungnya.

Gunakan lembar latihan asli 3.1 untuk menguji metode, domain, dan interpretasinya terhadap solusinya.

Integrasi tak tentu menemukan antiturunan. Integrasi tentu mengukur akumulasi bertanda, yang dapat berbeda dari area geometris. Untuk fungsi integran yang kontinu, teorema dasar kalkulus menghubungkan integral tentu dengan selisih nilai antiturunan pada batas-batasnya.

• Integral tak tentu tidak memiliki batas dan memerlukan konstanta integrasi : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ untuk $n \neq -1$.
• Integral tentu memiliki batas dan menghasilkan sebuah angka: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Integrasi dengan substitusi membalikkan aturan rantai.
• ⚠ Melupakan $+c$ pada integral tak tentu adalah satu-satunya kesalahan poin yang paling sering terjadi dalam modul ini, dan hal itu terjadi pada pertanyaan yang sebenarnya sudah Anda jawab dengan benar.

Contoh terpecahkan. area negatif dan positif dapat saling menghilangkan

Diketahui: $f(x)=x$ dari minus 1 hingga 1. Integral tentunya adalah nol karena kontribusi negatif dan positif saling meniadakan.

Area geometris sebaliknya menjumlahkan besaran dari kedua daerah segitiga tersebut.

Gunakan lembar latihan asli 3.2 untuk menguji metode, domain, dan interpretasinya terhadap solusinya.

• Optimisasi mencari nilai terbesar atau terkecil dari suatu kuantitas: tulis kuantitas sebagai fungsi dari satu variabel pada domain layak yang dinyatakan, diferensiasikan, temukan kandidat, dan justifikasikan optimum yang diinginkan. Periksa batas yang termasuk dan batasan bilangan bulat jika relevan.
• Laju perubahan tersambung secara berantai: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Area antara dua kurva adalah $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ di mana $f$ adalah kurva atas pada seluruh interval tersebut. Pisahkan pada titik persilangan jika urutan mereka berubah.
• Biaya marjinal dan pendapatan marjinal adalah turunan dari model biaya dan pendapatan kontinu yang dinyatakan. Mereka merupakan laju instan, bukan perubahan diskrit satuan yang otomatis tepat.

Contoh terpecahkan. perimeter tetap menyisakan satu variabel area

Diketahui: persegi panjang memiliki perimeter 20, sehingga panjang ditambah lebar adalah 10. Misalkan lebar adalah x; panjangnya adalah $10-x$ dan $0.

Kandidat stasionernya adalah $x=5$. Karena $A''(x)=-2<0$ mendekati nol di kedua ujung domain, kandidat ini adalah maksimum global. Ini adalah persegi 5 by 5 dengan area 25.

Gunakan lembar latihan asli 3.3 untuk menguji metode, domain, dan interpretasinya terhadap solusinya.