Turunan
Introduced| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | gradien garis singgung |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | diferensiasi dari prinsip pertama |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | aturan pangkat |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | aturan hasil kali |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | aturan hasil bagi |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | aturan rantai |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | titik stasioner |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | turunan kedua |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | maksimum |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | minimum |
Rata-rata terbatas menyembunyikan perubahan lokal
- Untuk $y=x^2$, garis secant dari x sama dengan 1 hingga 2 memiliki kemiringan 3, tetapi garis tangen di x sama dengan 1 memiliki kemiringan 2.
- Turunan adalah laju limit sesaat, jika ada. Secara geometris ia memberikan gradien garis tangen pada titik yang terdiferensiasi.
Geser titik kedua menuju titik pertama
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Tali busur menjadi garis singgung, dan kemiringannya menjadi turunan.
Apa yang diukur oleh turunan suatu fungsi pada sebuah titik?
Di mana ia ada, turunan adalah laju perubahan batas seketika dan kemiringan garis singgung. Integral tentu mengukur akumulasi bertanda, yang tidak perlu sama dengan luas geometris.
Ambil limit tanpa membagi nol
- Diferensiasi dari prinsip pertama menggunakan $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. Kuotien selisih menggunakan h tak nol sebelum limitnya diambil.
- Limit satu sisi harus setuju untuk turunan dua sisi. Sudut tajam dapat mencegah diferensiasi meskipun fungsinya kontinu.
Pangkat dari definisinya. Untuk $f(x)=x^2$, kuotien adalah $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ untuk h tak nol. Limitnya adalah $2x$. Untuk $|x|$ di nol, kuotien $|h|/h$ sebaliknya memiliki limit kanan 1 dan limit kiri -1, sehingga tidak ada turunan di sana.
Pilih aturan untuk bentuk fungsi
- Aturan pangkat menghasilkan $(x^n)'=nx^{n-1}$ pada domain yang valid. Aturan hasil kali menghasilkan $(uv)'=u'v+uv'$.
- Aturan hasil bagi memberikan $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ di mana v tak nol. Aturan rantai memberikan $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, termasuk turunan bagian dalam.
Turunkan y = x⁵. Berikan turunannya.
Turunkan pangkatnya dan kurangi satu: 5x⁴.
Aturan manakah yang menurunkan y = (3x + 1)⁴?
Fungsi di dalam fungsi. Turunannya adalah 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
Titik stasioner memerlukan klasifikasi
- Titik stasioner memiliki $f'(x)=0$. Turunan kedua tak nol di sana memberikan maksimum lokal saat negatif atau minimum lokal saat positif.
- Turunan kedua nol tidak conclusive. Periksa tanda turunan pertama atau bukti lain; $x^3$ memiliki belokan stasioner di nol, bukan maksimum atau minimum.
y = x³ − 3x memiliki titik stasioner pada nilai x positif. Berapakah nilainya?
dy/dx = 3x² − 3 = 0 menghasilkan x = ±1, sehingga yang positif adalah x = 1.
Pada titik stasioner, turunan kedua bernilai negatif. Jenis titik apakah itu?
Turunan kedua negatif berarti kemiringan menurun melewati nol, sehingga kurva berbelok ke bawah.
Susun langkah-langkah soal titik stasioner dalam urutan yang memberikan poin.
Temukan nilai x kandidat dari turunan, substitusikan ke fungsi asli untuk koordinatnya, dan berikan justifikasi klasifikasi. Turunan kedua nol bersifat tak konklusif.
Temukan kedua koordinat dan deskripsikan interval. Di lembar 3.1, faktorkan turunan untuk menemukan nilai x kandidat, substitusikan ke fungsi asli untuk y, lalu uji klasifikasi dan di mana kurva naik atau turun.
$dy/dx$ mendifferensiasikan terhadap x; titik di atas y biasanya mendifferensiasikan terhadap waktu. Nyatakan variabel independen daripada menganggap notasi ini dapat ditukar dalam setiap masalah. Aturan turunan trigonometri di sini menggunakan radian.