Matriks sebagai Fungsi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | input |
| output/ˈaʊtpʊt/ | output |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | Komposisi |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | fungsi invers |
Matriks adalah fungsi
- Anda telah menggunakan fungsi yang mengambil sebuah angka dan mengembalikan angka.
- Matriks mengambil vektor dan mengembalikan vektor — ia juga merupakan fungsi.
- "Aturan"-nya adalah: kalikan vektor input dengan matriks.
- Melihat matriks dengan cara ini menghubungkannya dengan segala hal yang Anda ketahui tentang fungsi.
Masukan masuk, keluaran keluar
- Masukan adalah vektor; matriks memprosesnya; keluaran adalah vektor baru.
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ mengubah $\langle 4, 5\rangle$ menjadi $\langle 8, 15\rangle$ — ia meregangkan setiap arah.
- Bayangkan matriks sebagai mesin: vektor masuk dari atas, vektor tertransformasi keluar dari bawah.
- Seluruh wilayah masukan dipetakan ke seluruh wilayah keluaran.
Memandang matriks 2 × 2 sebagai fungsi, input dan output-nya keduanya…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi matriks mengambil vektor input dan mengembalikan vektor output — sebuah fungsi dari bidang ke bidang.
Matriks $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ (input $\to$ output) mengirim $\langle 4, 5\rangle$ ke $\langle 8, ?\rangle$. Berapakah output $y$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Baris 2 adalah $\langle0, 3\rangle$, sehingga outputnya $y = 3\cdot5 = 15$; seluruh outputnya adalah $\langle8, 15\rangle$.
Fungsi dari bidang ke bidang
- Semua input adalah vektor dalam bidang; outputnya juga merupakan vektor dalam bidang.
- Jadi matriks $2\times2$ adalah fungsi yang membentuk ulang seluruh bidang sekaligus.
- Menggabungkan dua di antaranya — output dari satu menjadi input dari berikutnya — adalah komposisi.
- Matriks komposisinya hanyalah perkalian dari kedua matriks tersebut.
Menautkan dua fungsi matriks (satu setelah yang lain) adalah komposisi, dan matriksnya adalah hasil kalinya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sama seperti composing fungsi biasa, menautkan fungsi matriks mengalikan matriks-matriks mereka.
Membalikkan fungsi
- Jika suatu fungsi dapat dibalik, kebalikannya disebut fungsi invers.
- Untuk fungsi matriks, fungsi inversnya persis sama dengan matriks invers.
- Fungsi ini hanya ada ketika determinannya tidak nol — syarat yang sama seperti sebelumnya.
- Menerapkan matriks lalu inversnya mengembalikan setiap vektor ke posisi awalnya.
Sebuah matriks sebagai fungsi
Sebuah matriks mengambil vektor input dan mengembalikan vektor output - sebuah fungsi pada vektor.
Fungsi invers dari fungsi matriks diberikan oleh…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Matriks invers membatalkan fungsi — ia hanya ada ketika determinan tak nol.
Pilih semua pernyataan benar tentang matriks sebagai fungsi.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Outputnya adalah vektor, bukan angka. Tiga lainnya benar.
Mengapa pandangan fungsi membantu
- Ini memungkinkan Anda menggunakan kembali ide-ide fungsi: domain, kodomain, komposisi, dan invers.
- Komposisi sebagai perkalian menjelaskan mengapa urutan transformasi itu penting.
- Uji determinan berubah menjadi "apakah fungsi ini memiliki invers?"
- Ini adalah jembatan dari fungsi pra-kalkulus ke aljabar linear.
Tidak semua fungsi matriks dapat dibalik. Jika determinannya nol, matriks meratakan bidang menjadi garis — banyak input berbagi satu output, sehingga tidak ada fungsi invers. Keterbalikan memerlukan determinan yang tidak nol.
Misalkan $f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$.
- Input $\langle1,1\rangle$ → output $\langle2,3\rangle$.
- Input $\langle4,5\rangle$ → output $\langle8,15\rangle$.
- Determinant $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$, sehingga $f$ memiliki fungsi invers yang mengecil sebesar $\tfrac12$ dan $\tfrac13$.
Matriks adalah sebuah fungsi yang input dan output-nya keduanya vektor — pemetaan dari bidang ke bidang. Penggabungan fungsi matriks adalah komposisi, dan matriksnya adalah hasil perkalian. Fungsi invers adalah matriks invers, yang hanya ada ketika determinannya tidak nol.