Transformasi Linear dan Matriks
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformasi linear |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | persegi satuan |
| shear/ʃɪə/ | geser |
Matriks menggerakkan titik
- Matriks lebih dari sekadar menyimpan angka — ia bisa menggeser setiap titik pada bidang.
- Masukkan sebuah vektor, lalu ia mengembalikan vektor baru yang telah ditransformasi.
- Kotak bisa menjadi miring; grid bisa meregang atau berputar.
- Ini mengubah matriks menjadi mesin untuk membentuk ulang ruang.
Apa itu transformasi linear
- Transformasi linear adalah fungsi yang memetakan setiap vektor ke vektor baru.
- Ia menjaga titik asal tetap diam dan menjaga garis-garis grid tetap lurus serta berjarak rata.
- Tidak ada kelengkungan, tidak ada robekan — garis sejajar tetap sejajar.
- Setiap transformasi linear pada bidang dapat ditulis sebagai perkalian dengan matriks.
Sebuah transformasi linear pada bidang selalu…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sebuah transformasi linear menjaga titik asal tetap dan memetakan garis-garis kisi lurus berjarak rata ke garis-garis lurus berjarak rata.
Kolom menunjukkan ke mana sumbu pergi
- Kolom 1 menunjukkan ke mana vektor $\langle 1, 0\rangle$ jatuh; kolom 2, ke mana $\langle 0, 1\rangle$ jatuh.
- Mengetahui dua gambar ini memberi tahu Anda ke mana setiap titik akan pergi.
- Untuk mentransformasikan vektor, kalikan matriks dengan vektor tersebut (baris-ke-kolom).
- Kotak satuan berubah menjadi jajargen — bentuknya mengungkapkan transformasinya.
Kolom-kolom matriks menunjukkan di mana dua basis ____ mendarat.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kolom 1 adalah tempat $\langle1,0\rangle$ mendarat dan kolom 2 adalah tempat $\langle0,1\rangle$ mendarat — itu sepenuhnya mendeskripsikan transformasinya.
Matriks $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ mengirim $\langle1,1\rangle$ ke $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. Berapakah $x$ yang baru?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Baris 1 yang ditaburi $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, sehingga gambarannya adalah $\langle3, 1\rangle$.
Transformasi yang dikenal
- Skalaking: matriks diagonal meregangkan atau mengecilkan sepanjang sumbu.
- Rotasi: matriks khusus memutar bidang mengelilingi titik asal.
- Shear: meluncur ke satu arah sementara menahan yang lain — seperti teks miring.
- Refleksi: membalik bidang melintasi sebuah garis.
Transformasi linear sebagai matriks
Rotasi adalah transformasi linear; matriks ini memutar bidang sebesar seperempat putaran.
Melakukan satu transformasi linear setelah yang lain sesuai dengan mengalikan matriks-matriks mereka.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Komposisi transformasi adalah perkalian matriks — itulah sebabnya urutan hasil kali penting.
Pilih semua pernyataan benar tentang transformasi linear.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Transformasi linear menjaga garis tetap lurus — mereka tidak pernah melengkungkan kisi.
Menggabungkan transformasi
- Lakukan satu transformasi, lalu yang lain: hasilnya adalah satu transformasi baru.
- Matriksnya adalah perkalian dari kedua matriks tersebut.
- Karena perkalian matriks bergantung pada urutan, "rotasi kemudian shear" berbeda dari "shear kemudian rotasi".
- Inilah mengapa komputer grafis menumpuk transformasi dengan mengalikan matriks.
Urutan transformasi gabungan sangat penting. Menerapkan $A$ kemudian $B$ adalah perkalian matriks $BA$ — matriks transformasi kedua diletakkan di kiri. Menukar urutan biasanya menghasilkan hasil yang berbeda, persis seperti $BA \ne AB$ untuk matriks.
Terapkan $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ ke sudut-sudut kotak satuan.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — tepi bawah menggandakan panjangnya.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — tepi atas bergeser ke kanan (sebuah shear).
- Kotak menjadi jajargen miring, tepat seperti yang ditunjukkan gambar.
Sebuah transformasi linear memetakan setiap vektor menjadi vektor baru, menjaga titik asal tetap diam dan garis-garis grid tetap lurus — dan semuanya adalah perkalian dengan matriks. Kolom-kolom matriks menunjukkan ke mana sumbu jatuh, sehingga ia mengubah kotak satuan menjadi jajargen. Menggabungkan transformasi berarti mengalikan matriks, dan urutan itu penting.