Invers dan Determinan Matriks
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | matriks invers |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinan |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriks identitas |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | tidak dapat diinverskan |
Membalikkan matriks
- Mengalikan dengan matriks mengubah ruang — tetapi bisakah Anda membalikkannya?
- Untuk bilangan biasa, membagi dengan $5$ membalikkan perkalian dengan $5$.
- Matriks memiliki "kebalikan" sendiri — yaitu matriks invers.
- Pertama-tama kita memerlukan satu angka yang menentukan apakah kebalikan itu ada: determinan.
Determinan
- Determinan dari $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ adalah angka tunggal $ad - bc$.
- Secara geometris, ukurannya adalah luas jajar genjang yang dibentuk oleh kolom-kolomnya.
- Determinan besar berarti matriks meregangkan area banyak; yang kecil, sangat sedikit.
- Determinan nol berarti kolom-kolom sejajar — jajargen menjadi datar.
Untuk $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, determinannya adalah $3\cdot2 - 1\cdot1$. Berapakah nilainya?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Determinan dari $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ adalah $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$.
Secara geometris, ukuran determinan 2 × 2 memberi tahu Anda…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nilai mutlak determinan adalah luas yang diskalakan oleh matriks — area nol berarti kolom-kolomnya sejajar.
Invers
- Matriks invers $A^{-1}$ adalah matriks yang membatalkan $A$.
- Mengalikan keduanya menghasilkan matriks identitas $I$ — versi matriks dari $1$: $A A^{-1} = I$.
- Untuk matriks $2\times2$, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$.
- Perhatikan determinan $ad - bc$ yang berada di penyebut.
Mengalikan matriks dengan invers-nya menghasilkan matriks identitas.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menurut definisi $A A^{-1} = I$, matriks identitas — versi matriks dari angka $1$.
Ketika invers ada
- Anda tidak dapat membagi dengan $ad - bc$ jika nilainya nol — jadi determinan nol berarti tidak ada invers.
- Matriks seperti itu tidak invertible: ia memipihkan bidang menjadi garis dan kehilangan informasi.
- Determinan non-nol menjamin invers yang unik.
- Jadi determinan adalah tes cepat: non-nol $\Rightarrow$ maka invertible.
Determinan adalah faktor area
Determinan memberi tahu Anda berapa banyak matriks memperbesar/mengecilkan area; di sini ia memperbesar area empat kali.
Matriks 2 × 2 memiliki invers tepat ketika determinannya…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jika $\det = 0$ kolom-kolomnya sejajar dan tidak ada invers — matriks tersebut tidak dapat dibalik.
Pilih semua pernyataan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hanya matriks dengan determinan tak nol yang dapat diinverskan, jadi tidak semua matriks memiliki invers.
Pentingnya Hal Ini
- Invers menyelesaikan persamaan matriks $A\vec{x} = \vec{b}$ dalam satu langkah: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- Itulah cara sistem persamaan linear diselesaikan menggunakan matriks.
- Determinan juga memberi tahu kapan sebuah sistem tidak memiliki solusi unik (det $= 0$).
- Konsep ini menjadi dasar komputer grafis, kriptografi, dan sains data.
Sebuah matriks memiliki invers hanya jika determinannya non-nol. Jika $ad - bc = 0$, rumus dibagi nol — tidak ada invers, dan sistem $A\vec{x} = \vec{b}$ memiliki либо tidak ada solusi atau tak terhingga banyaknya. Selalu periksa determinan terlebih dahulu.
Invers $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Determinan: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (non-nol, sehingga invers ada).
- Tukar diagonal, negasikan off-diagonal, bagi dengan $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Periksa: $A A^{-1} = I$. ✓
Determinan $ad - bc$ adalah satu angka yang mengukur skala luas yang dihasilkan matriks. Invers $A^{-1}$ membatalkan efek matriks tersebut, dengan $A A^{-1} = I$ (matriks identitas). Invers hanya ada jika determinan non-nol; determinan nol berarti matriks tidak invertible.