Memparametrisasi Kurva Implisit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parameter |
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | terdefinisi implisit |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | persamaan parametrik |
Membuat kurva statis bergerak
- Persamaan implisit seperti $x^2 + y^2 = 4$ menentukan bentuk tetapi tidak memberikan informasi apa pun tentang pergerakan.
- Untuk menganimasikannya, atau untuk memplotnya titik demi titik, kita memerlukan aturan yang melintasi sepanjang kurva.
- Aturan tersebut adalah parametrisasi: nyatakan $x$ dan $y$ dalam istilah satu parameter.
- Ini mengubah kondisi membeku menjadi titik bergerak yang melacak kurva.
Dari implisit ke parametrik
- Mulai dengan kurva yang didefinisikan implisit — persamaan yang mencampur $x$ dan $y$.
- Temukan persamaan parametrik $x(t)$, $y(t)$ yang titiknya semuanya memenuhi persamaan tersebut.
- Saat parameter berjalan, titik akan menyapu tepat kurva tersebut.
- Kurva yang sama, deskripsi baru — sekarang dengan arah dan kecepatan tertanam di dalamnya.
Memparametrisasi kurva implisit berguna karena ia…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Parametrisasi memberikan aturan untuk berjalan sepanjang kurva, satu nilai $t$ pada satu waktu — sangat baik untuk plotting dan gerakan.
Lingkaran, kedua cara
- Implisit: $x^2 + y^2 = 4$ berarti "jarak $2$ dari titik asal".
- Parametrik: $x = 2\cos t$, $y = 2\sin t$ berjalan mengelilinginya saat $t$ menyapu $0$ hingga $2\pi$.
- Periksa kesesuaiannya: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓
- Identitas Pythagoraslah yang membuat parametrisasi memenuhi persamaan.
Ubah persamaan lingkaran menjadi gerakan
Lingkaran implisit x kuadrat ditambah y kuadrat sama dengan 4 menjadi parametrik x = 2 cos t, y = 2 sin t saat sudut disikat.
Parametrisasi dari lingkaran implisit $x^2 + y^2 = 4$ adalah…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Periksa: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓ Memenuhi persamaan implisit untuk setiap $t$.
Pilih semua pernyataan benar tentang memparametrisasi kurva implisit.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Memparametrisasi tidak mengubah bentuk — ia mendeskripsikan kurva yang sama. Tiga lainnya benar.
Memverifikasi parametrisasi
- Untuk mengonfirmasi bahwa $x(t), y(t)$ memparametrisasi kurva implisit, substitusikan ke dalam persamaan.
- Jika persamaan berlaku untuk setiap $t$, parametrisasi tersebut valid.
- Inilah cara Anda menemukan tebakan yang salah: masukkan dan lihat apakah itu disederhanakan menjadi pernyataan benar.
- Identitas trigonometri $\cos^2 + \sin^2 = 1$ melakukan tugas berat untuk lingkaran dan elips.
Untuk memverifikasi parametrisasi, substitusikan $x(t)$ dan $y(t)$ ke dalam persamaan ____ dan periksa apakah berlaku.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Parametrisasi yang valid harus memenuhi persamaan implisit untuk setiap nilai parameter.
Sebuah kurva implisit tunggal dapat diparametrisasi dengan lebih dari satu cara.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Arah, kecepatan, atau titik awal yang berbeda menghasilkan parametrisasi yang valid berbeda untuk kurva yang sama.
Banyak parametrisasi yang valid
- Sebuah kurva tidak memiliki parametrisasi "benar" tunggal.
- Membalik arah, mengubah kecepatan, atau menggeser titik awal semuanya menghasilkan parametrisasi yang valid.
- $x = 2\cos t, y = -2\sin t$ melacak lingkaran yang sama berlawanan arah jarum jam.
- Pilih parametrisasi yang gerakannya sesuai dengan masalah Anda.
Parametrisasi harus memenuhi persamaan implisit untuk semua nilai parameter, bukan hanya satu. Verifikasi dengan mensubstitusikan dan menyederhanakan — rumus yang bekerja pada satu $t$ saja tetapi gagal di tempat lain adalah bukan parametrisasi dari kurva tersebut.
Parametrisasi elips $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Coba $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$.
- Periksa: $\dfrac{9\cos^2 t}{9} + \dfrac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$. ✓
- Jadi $(3\cos t, 2\sin t)$ melacak seluruh elips saat $t$ berjalan dari $0$ sampai $2\pi$.
Memparametrisasi mengubah kurva yang didefinisikan implisit menjadi persamaan parametrik $x(t), y(t)$ yang melacaknya saat parameter berjalan. Verifikasi dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan implisit dan periksa bahwa hal itu berlaku untuk setiap $t$. Sebuah kurva memiliki banyak pemparametrisan yang valid, berbeda dalam arah dan kecepatan.