Fungsi Terdefinisi Implisit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | terdefinisi implisit |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | kerucut irisan (konik) |
Ketika y menolak berdiri sendiri
- Kebanyakan fungsi yang kita temui bersifat eksplisit: $y$ berdiri sendiri, sama dengan suatu rumus dalam $x$.
- Namun persamaan seperti $x^2 + y^2 = 25$ mengikat $x$ dan $y$ bersama-sama.
- Anda tidak dapat menulis "$y = \dots$" dengan jelas — namun persamaan tersebut tetap menggambarkan kurva sempurna.
- Hubungan semacam itu didefinisikan secara implisit, dan membuka keluarga bentuk yang utuh.
Eksplisit versus implisit
- Fungsi eksplisit mengisolasi output: $y = x^2 - 3$.
- Relasi yang didefinisikan implisit menyisakan $x$ dan $y$ bercampur: $x^2 + y^2 = 25$.
- Bentuk implisit menyatakan syarat yang harus dipenuhi titik-titik pada kurva.
- Ini sering menjadi cara paling alami untuk mendeskripsikan sebuah bentuk.
Hubungan yang terdefinisi implisit adalah salah satu di mana…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurva yang terdefinisi implisit, seperti $x^2 + y^2 = 25$, mencampur $x$ dan $y$ tanpa mengisolasi $y$.
Sebuah lingkaran, secara implisit
- Persamaan $x^2 + y^2 = 25$ berarti "jarak dari titik asal adalah $5$".
- Setiap titik yang mematuhi hal tersebut terletak pada lingkaran berjari-jari $5$ — sebuah kerucut konik klasik.
- Tidak perlu penyusunan ulang untuk melihat bentuknya; persamaan tersebut sudah menangkapnya.
- Elips, parabola, dan hiperbola semuanya didefinisikan dengan cara implisit yang sama.
Persamaan $x^2 + y^2 = 25$ menggambarkan…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Semua titik pada jarak $5$ dari titik asal memenuhi $x^2 + y^2 = 25$ — lingkaran berjari-jari $5$.
Relasi implisit seperti $x^2 + y^2 = 25$ tidak harus merupakan fungsi dari $x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sebagian besar nilai $x$ memberikan dua nilai $y$ (atas dan bawah lingkaran), sehingga gagal uji garis vertikal.
Pilih semua pernyataan benar tentang relasi terdefinisi implisit.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Banyak relasi implisit tidak dapat diselesaikan dengan rapi untuk $y$ sama sekali. Tiga lainnya benar.
Bukan fungsi dari x
- Untuk sebagian besar nilai $x$, kurva implisit memberikan dua nilai $y$ (atas dan bawah).
- Jadi biasanya gagal uji garis vertikal — ini adalah relasi, bukan fungsi.
- $x^2 + y^2 = 25$ diselesaikan untuk $y$ adalah $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$: dua cabang setengah lingkaran.
- Setiap cabang secara sendirian adalah fungsi; bersama-sama mereka membentuk kurva utuh.
Explicit atau implicit?
Persamaan implisit menghubungkan x dan y tanpa menyelesaikan y. Urutkan masing-masing.
Menyelesaikan $x^2 + y^2 = 25$ untuk $y$ menghasilkan $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ — itu adalah ____ cabang terpisah.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pm$ memecah lingkaran menjadi separuh atas dan separuh bawah — dua fungsi eksplisit.
Bekerja dengan kurva implisit
- Untuk menemukan titik, substitusikan satu koordinat dan selesaikan yang lain.
- Untuk menggambar sketsa, kenali bentuknya (lingkaran, elips, ...) dari bentuk persamaannya.
- Beberapa relasi implisit tidak dapat diselesaikan untuk $y$ sama sekali — Anda bekerja dengannya apa adanya.
- Dalam kalkulus, diferensiasi implisit mencari kemiringan tanpa pernah mengisolasi $y$.
Persamaan implisit adalah relasi, bukan otomatis fungsi. Jangan berasumsi Anda bisa menulis $y = f(x)$ — untuk lingkaran Anda mendapatkan $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$, dan melupakan $\pm$ akan secara diam-diam menghilangkan setengah kurva.
Temukan titik-titik pada $x^2 + y^2 = 25$ di mana $x = 3$.
- Substitusikan: $9 + y^2 = 25$, sehingga $y^2 = 16$.
- Kemudian $y = \pm 4$ — dua titik, $(3, 4)$ dan $(3, -4)$.
- Satu nilai $x$, dua nilai $y$: ciri khas relasi non-fungsi.
Relasi yang didefinisikan implisit mencampur $x$ dan $y$ dalam satu persamaan, seperti $x^2 + y^2 = 25$, alih-alih mengisolasi $y$. Ini dapat menggambarkan lingkaran dan konika lainnya, biasanya bukan fungsi dari $x$ (penyelesaian memberikan $\pm$ cabang), dan sering menjadi cara paling alami untuk menyatakan sebuah kurva.