Lingkaran dan Garis Parametrik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parameter |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | persamaan parametrik |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | lingkaran satuan |
Menggambar lingkaran dengan mudah
- Lingkaran mustahil ditulis sebagai satu $y = f(x)$ tunggal — gagal uji garis vertikal.
- Namun dengan parameter, hal itu menjadi sangat sederhana: sudut yang menyapu mengelilingi.
- Garis, juga, mendapat bentuk parametrik yang bersih yang dibangun dari titik awal dan arah.
- Dua bentuk ini adalah mesin utama geometri parametrik.
Garis, secara parametrik
- Mulai dari titik $(x_0, y_0)$ dan bergerak satu langkah tetap setiap satuan $t$.
- Persamaan parametriknya adalah $x = x_0 + at$ dan $y = y_0 + bt$.
- Di sini $(a, b)$ adalah arahnya, dan $t$ adalah parameter yang membawa Anda sepanjang jalur.
- Saat $t$ berjalan melintasi semua bilangan real, titik tersebut melacak seluruh garis lurus.
Garis melalui suatu titik dalam arah tetap dapat ditulis secara parametrik sebagai…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dimulai dari $(x_0, y_0)$ dan bergerak sebesar $(a, b)$ setiap unit $t$ melacak garis lurus.
Lingkaran, secara parametrik
- Titik pada lingkaran satuan pada sudut $t$ adalah $(\cos t, \sin t)$.
- Skala dengan jari-jari $r$: $x = r\cos t$ dan $y = r\sin t$ melacak lingkaran berjari-jari $r$.
- Saat $t$ menyapu dari $0$ hingga $2\pi$, titik tersebut bergerak sekali mengelilingi, berlawanan arah jarum jam.
- Geser oleh $(h, k)$ untuk memusatkan lingkaran di mana pun.
Sikat sudut untuk melacak lingkaran
Saat parameter (sudut) disikat dari 0 hingga 2 pi, titik (cos t, sin t) bergerak satu kali mengelilingi lingkaran.
Persamaan parametrik mana yang melacak lingkaran berjari-jari $r$ berpusat di titik asal?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dari lingkaran satuan yang diskalakan oleh $r$: $x = r\cos t$ dan $y = r\sin t$ melacak lingkaran saat $t$ pergi dari $0$ ke $2\pi$.
Parametrisasi $x = \cos t,\ y = \sin t$ berasal langsung dari ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sebuah titik pada lingkaran satuan pada sudut $t$ adalah $(\cos t, \sin t)$ — parametrisasi alami sebuah lingkaran.
Pilih semua pernyataan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Lingkaran dapat diparametrisasi (itulah seluruh tujuannya). Tiga lainnya benar.
Arah dan kecepatan
- Parametrisasi menetapkan tidak hanya bentuk tetapi juga cara gambar itu dibuat.
- $x = \cos t, y = \sin t$ bergerak berlawanan arah jarum jam; $x = \cos t, y = -\sin t$ bergerak searah jarum jam.
- Mengganti $t$ dengan $2t$ melacak lingkaran yang sama dua kali lebih cepat.
- Jadi lingkaran yang sama memiliki banyak parametrisasi, masing-masing dengan geraknya sendiri.
Membatasi $t$ ke $0 \le t \le \pi$ dalam $x = \cos t,\ y = \sin t$ hanya melacak separuh atas lingkaran.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dari $t = 0$ ke $\pi$, $y = \sin t \ge 0$, sehingga hanya setengah lingkaran atas yang digambar.
Menggambar hanya sebagian
- Membatasi interval parameter hanya menggambar sebuah busur.
- $0 \le t \le \pi$ dalam $(\cos t, \sin t)$ hanya memberikan setengah bagian atas lingkaran.
- Untuk sebuah garis, membatasi $t$ menghasilkan sebuah segmen atau sinar.
- Pilih interval untuk menggambar tepat bagian yang Anda inginkan.
Bentuk parametrik lingkaran tidak unik. $(\cos t, \sin t)$ dan $(\sin t, \cos t)$ keduanya melacak lingkaran satuan, tetapi dimulai dari titik berbeda dan bergerak dalam arah berbeda. Selalu periksa titik awal dan arah, bukan hanya bentuknya.
Parametrisasikan lingkaran berjari-jari $3$ dengan pusat di $(1, -2)$.
- Mulai dari bentuk lingkaran satuan dan kalikan dengan $3$: $3\cos t$, $3\sin t$.
- Geser pusat ke $(1, -2)$: $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 3\sin t$.
- Saat $t$ bergerak dari $0$ ke $2\pi$, ini melacak seluruh lingkaran sekali.
Sebuah garis didefinisikan oleh $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (titik plus arah). Lingkaran berjari-jari $r$ didefinisikan oleh $x = r\cos t,\ y = r\sin t$, langsung dari lingkaran satuan. Persamaan parametrik ini memungkinkan parameter $t$ menentukan bentuk, arah, dan kecepatan — batasi $t$ untuk menggambar hanya busur atau segmen.