Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | periode |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | Fungsi invers |
| sine/saɪn/ | sinus |
Kapan gelombang mengenai target?
- "Pada waktu kapan air laut tepat $3$ m?" berubah menjadi persamaan trigonometri.
- Karena gelombang berulang, jawabannya bukan satu waktu melainkan seluruh ritme waktu.
- Menyelesaikan berarti menemukan setiap sudut di mana fungsi bernilai sama dengan target.
- Lingkaran satuan dan periode bersama-sama menyediakannya semua.
Menemukan solusi pertama
- Untuk menyelesaikan $\sin x = 0.5$, temukan dulu satu sudut dengan menggunakan invers: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- Hal itu memberikan satu solusi "pemula" tunggal di dalam rentang yang dibatasi.
- Untuk kosinus atau tangens, gunakan $\arccos$ atau $\arctan$ dengan cara yang sama.
- Sudut pertama ini adalah benih dari mana semua solusi lainnya tumbuh.
Untuk menemukan solusi pertama dari $\sin x = 0.5$, Anda menggunakan…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Invers memberikan satu sudut: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Kemudian gunakan simetri untuk sisanya.
Kemudian temukan semuanya
- Gelombang sinus meets garis target horizontal sekali setiap siklus, selamanya.
- Jadi persamaan trigonometri biasanya memiliki tak terhingga banyaknya solusi.
- Gunakan simetri grafik untuk menemukan solusi kedua dalam satu periode.
- Kemudian tambahkan kelipatan bulat dari periode untuk menghasilkan sisa yang tak terbatas.
Setiap persilangan adalah solusi
y = sin x
Gelombang sinus bertemu garis target horizontal lagi dan lagi, sehingga persamaan trig memiliki tak terhingga banyak solusi.
Over semua bilangan real, $\sin x = 0.5$ memiliki…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Gelombang bertemu garis $y = 0.5$ sekali setiap siklus, selamanya — tak terhingga banyak solusi.
Untuk mendaftar setiap solusi, tambahkan kelipatan bulat dari ____ ke sebuah solusi pertama.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Karena sinus berulang, menambahkan kelipatan apa pun dari periode ($2\pi$) menghasilkan solusi lain.
Pilih semua pernyataan benar tentang persamaan trigonometri.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sinus dibatasi pada $1$, jadi $\sin x = 5$ tidak memiliki solusi. Tiga lainnya benar.
Pertidaksamaan
- Pertidaksamaan trigonometri seperti $\sin x > 0.5$ meminta interval di mana gelombang berada di atas garis.
- Selesaikan persamaan yang sesuai terlebih dahulu untuk menemukan sudut batas.
- Kemudian baca bagian busur gelombang mana yang memenuhi pertidaksamaan.
- Jawabannya adalah himpunan interval yang berulang, satu per periode.
Persamaan $\sin x = 2$ tidak memiliki solusi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sinus tidak pernah melebihi $1$, sehingga $\sin x = 2$ tidak akan pernah terjadi — tidak ada solusi yang ada.
Ketika tidak ada solusi
- Sinus dan kosinus tidak pernah meninggalkan $[-1, 1]$, sehingga $\sin x = 2$ sama sekali tidak punya solusi.
- Selalu periksa apakah nilai target dapat dicapai sebelum menyelesaikan.
- Target tangens, sebaliknya, selalu dapat dicapai, karena tangens tak terbatas.
- Mengetahui rentang setiap fungsi menghemat Anda dari mengejar jawaban yang mustahil.
Jangan laporkan hanya satu jawaban kalkulator. $\arcsin(0.5)$ memberikan $\tfrac{\pi}{6}$, tetapi $\sin x = 0.5$ juga berlaku di $\tfrac{5\pi}{6}$ dan pada setiap $+2\pi$ di luar keduanya. Persamaan trigonometri hampir selalu memiliki lebih banyak solusi daripada yang ditunjukkan oleh invers saja.
Selesaikan $\cos x = 0$ untuk semua $x$.
- Satu solusi: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Kosinus juga $0$ di $\tfrac{3\pi}{2}$ — itu adalah $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- Jadi solusi lengkapnya adalah $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ untuk setiap bilangan bulat $k$.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, gunakan invers untuk mendapatkan sudut pertama, lalu gunakan simetri grafik dan periode untuk mendaftar setiap solusi — sering kali tak terhingga banyaknya. Periksa apakah target berada dalam rentang fungsi terlebih dahulu (sinus dan kosinus tidak boleh melebihi $1$). Pertidaksamaan memberikan interval yang berulang.