Fungsi Tangen
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangens |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot vertikal |
| period/ˈpɪərɪəd/ | periode |
Gelombang yang Putus
- Sinus dan kosinus bergerak mulus selamanya, terbatas antara $-1$ dan $1$.
- Fungsi tangen lebih liar: ia melesat menuju tak hingga, lalu memulai ulang.
- Grafiknya adalah rantai cabang-cabang terpisah, masing-masing terputus oleh dinding tak terlihat.
- Memahami mengapa ia terputus mengungkapkan bagaimana ia dibangun dari sinus dan kosinus.
Tangen sebagai Rasio
- Tangen didefinisikan sebagai $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- Pada lingkaran satuan, itu adalah kemiringan garis dari titik asal ke titik tersebut.
- Di mana sinus bernilai $0$, tangen bernilai $0$ (cabang-cabangnya memotong sumbu).
- Di mana kosinus bernilai $0$, rasio terbagi dengan nol — dan di situlah ia terputus.
Fungsi tangen sama dengan…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Berdasarkan definisi, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — sinus dibagi kosinus.
Berapakah $\tan 0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.
Asimtot di Mana Kosinus Hilang
- Asimtot vertikal muncul di mana pun $\cos x = 0$.
- Hal itu terjadi pada $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — setiap setengah putaran.
- Mendekati asimtot, output meluncur menjauh menuju $+\infty$ atau $-\infty$.
- Grafik tidak pernah menembus dinding-dinding ini; ia hanya menanjak curam di sampingnya.
Tangen sebagai kemiringan yang menjauh
Pada lingkaran satuan, tangen adalah kemiringan garis jari-jari. Saat sudut mendekati 90 derajat, kemiringan itu melonjak menuju tak terhingga.
Fungsi tangen memiliki asimtot vertikal di mana saja…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Di mana $\cos x = 0$, pecahan $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ dibagi nol — sebuah asimtot vertikal.
Pilih semua pernyataan benar tentang $y = \tan x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Berbeda dengan sinus dan kosinus, tangen tidak terbatas — ia melonjak menuju $\pm\infty$. Tiga lainnya benar.
Periode Lebih Pendek
- Sinus dan kosinus berulang setiap $2\pi$, tetapi periode tangen hanya $\pi$.
- Jadi tangen menyelesaikan satu siklus penuh dua kali lebih sering.
- Dalam setiap periode, nilai tersebut naik secara konsisten dari $-\infty$ hingga $+\infty$.
- Satu cabang membentang dari satu asimtot ke asimtot berikutnya.
Berbeda dengan sinus dan kosinus, fungsi tangen memiliki periode ____ (bukan $2\pi$).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tangen berulang setiap $\pi$ — dua kali lebih sering daripada sinus atau kosinus.
Output Tak Terbatas
- Berbeda dengan sinus dan kosinus, tangen tidak memiliki maksimum atau minimum.
- Rentangnya adalah semua bilangan real — ia mencapai setiap ketinggian.
- Dekat asimtot, nilainya tumbuh tanpa batas; di tengah sebuah cabang, nilainya adalah $0$.
- Bentuk tak terbatas dan berulang ini memodelkan kemiringan dan sudut elevasi.
Tangen tidak terdefinisi pada asimtotnya — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ tidak memiliki nilai, karena $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ dan Anda tidak dapat membagi dengan nol. Jangan mencoba memasukkan sudut-sudut tersebut; fungsi tersebut memang tidak ada di sana.
Temukan $\tan\tfrac{\pi}{4}$ dan jelaskan mengapa $\tan\tfrac{\pi}{2}$ tidak terdefinisi.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, yang tidak terdefinisi.
- Jadi $x = \tfrac{\pi}{2}$ adalah asimtot vertikal, bukan titik pada grafik.
Fungsi tangens adalah $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. Fungsi ini memiliki asimtot vertikal di mana-mana $\cos x = 0$, memiliki periode $\pi$ (bukan $2\pi$), dan rentang yang tak terbatas — setiap cabangnya naik dari $-\infty$ hingga $+\infty$ dan berulang.