Fungsi Rasional dan Lubang
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| hole/həʊl/ | lubang |
| factor/ˈfæktə/ | faktor |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | pembilang |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | penyebut |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | ketidaklanjutan yang dapat dihilangkan |
| domain/dəˈmeɪn/ | domain |
Satu titik yang hilang
- Sebagian besar grafik rasional terputus secara drastis pada asimtot vertikal.
- Namun terkadang grafiknya berupa garis atau kurva biasa yang sempurna — hanya dengan satu titik yang dibuang.
- Celah kecil itu disebut lubang, dan mudah terlewatkan.
- Hal ini muncul karena alasan aljabar yang sangat spesifik.
Asal-usul lubang
- Sebuah lubang muncul ketika sebuah faktor dicoret dari keduanya pembilang dan penyebut.
- Ambil $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: $(x-1)$ dicoret, menyisakan $x+2$.
- Grafik yang disederhanakan adalah garis halus $y = x + 2$.
- Namun pada $x = 1$ pecahan asal bernilai $\frac{0}{0}$ — tidak terdefinisi — sehingga satu titik hilang.
Lubang pada grafik rasional muncul di mana…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Faktor persekutuan atas dan bawah saling menghilangkan, sehingga grafik yang disederhanakan menjadi halus — tetapi nilai asli tetap dikecualikan, meninggalkan sebuah lubang.
Lubang versus asimtot vertikal
- Keduanya berasal dari nol penyebut, namun perilakunya berlawanan.
- Dicoret dengan pembilang → ketidakkontinuan yang dapat dihilangkan: sebuah lubang.
- Tidak dicoret → asimtot vertikal di mana grafik meluncur menjauh.
- Jadi selalu faktorkan dan sederhanakan terlebih dahulu, lalu lihat nol mana yang dicoret.
Fungsi yang disederhanakan hanyalah sebuah garis — dengan satu titik yang dihilangkan
y = ax + b
Ini adalah bentuk sederhana dari (x²−1)/(x−1). Grafiknya adalah garis y = x + 1, tetapi fungsi aslinya memiliki lubang di x = 1 di mana fungsi awal tidak terdefinisi.
Apa yang membedakan lubang dari asimtot vertikal?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Faktor yang dibatalkan → lubang yang dapat dihapuskan; pembuat nol penyebut yang tersisa → asimtot vertikal di mana nilai meledak.
Untuk menemukan koordinat lubang, batalkan faktor persekutuan, lalu evaluasi fungsi ____ pada nilai yang dikecualikan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi yang disederhanakan memberikan nilai y yang akan dimiliki grafik di sana — itulah ketinggian lubangnya.
Menentukan koordinat lubang
- Coret faktor persekutuan untuk mendapatkan fungsi yang disederhanakan.
- Substitusikan nilai x yang dieksklusi ke dalam fungsi yang disederhanakan tersebut untuk mendapatkan nilai y.
- Untuk $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ pada $x = 1$: bentuk sederhana adalah $x+2$, menghasilkan $y = 3$.
- Jadi lubang berada di $(1, 3)$ — titik yang seharusnya dilalui oleh grafik.
Meskipun faktor telah dibatalkan, nilai x lubang tetap dikecualikan dari domain.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi asli tidak pernah terdefinisi di sana, jadi pembatalan dalam aljabar tidak menambahkan titik itu kembali — domain masih memiliki celah.
Pilih semua pernyataan benar tentang sebuah lubang.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Lubang tidak mengirim fungsi menuju tak hingga — itu adalah asimtot. Tiga lainnya benar.
Tetap dieksklusi dari domain
- Mencoret adalah operasi aljabar; hal itu tidak mengembalikan input yang hilang.
- Fungsi asal tidak terdefinisi pada x tersebut, sehingga tetap keluar dari domain.
- Rumus yang disederhanakan sesuai dengan fungsi asal di semua tempat kecuali titik tersebut.
- Itu persis makna "dapat dilepas": Anda dapat menutupi satu kesenjangan tunggal, tetapi kesenjangan itu tetap ada.
Menyederhanakan $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ menjadi $x+2$ hanya valid untuk $x \neq 1$. Jangan pernah menghilangkan batasan — dua ekspresi tersebut sama di semua tempat kecuali pada lubang, dan melupakan hal itu akan kehilangan satu titik dari domain.
Temukan lubang apa pun dari $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- Faktorkan bagian atas: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, dan coret $(x-2)$ → bentuk sederhana $x + 2$.
- Nilai yang dieksklusi $x = 2$; nilai sederhana di sana adalah $2 + 2 = 4$.
- Jadi terdapat lubang di $(2, 4)$, dan tidak ada asimtot vertikal.
Sebuah lubang adalah ketidakkontinuan yang dapat dihilangkan: sebuah faktor yang dicoret dari pembilang dan penyebut. Temukan dengan menyederhanakan dan mengevaluasi pada nilai x yang dieksklusi. Nilai x tetap keluar dari domain — mencoret memperbaiki grafik tetapi tidak pernah menambahkan titik kembali.