Fungsi Rasional dan Perilaku Akhir
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi rasional |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | pembilang |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | penyebut |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot horizontal |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot miring |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | pembagian panjang polinomial |
Tarik-menarik antara atas dan bawah
- Pecahan seperti $\frac{2x^2}{x^2+1}$ memiliki polinomial yang menarik dari atas dan satu dari bawah.
- Jauh dari titik asal, mana pun yang tumbuh lebih cepat akan menentukan di mana nilainya menetap.
- Hasilnya sering kali berupa garis datar yang didekati grafik tetapi hampir tidak pernah disentuh.
- Membaca garis itu adalah cara Anda mendeskripsikan ujung fungsi rasional.
Apa itu fungsi rasional
- Fungsi rasional adalah satu polinomial dibagi polinomial lain: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Pembilang adalah bagian atas; penyebut adalah bagian bawah.
- Perilaku ujungnya adalah kontes antara dua derajat.
- Bandingkan pangkat tertinggi atas dan bawah — itu sendiri yang menetapkan ujung-ujungnya.
Bandingkan derajatnya
- Bawah lebih besar: pecahan mengecil menuju $0$, sehingga $y = 0$ adalah asimtot horizontal.
- Derajat sama: ujung-ujungnya mendekati rasio koefisien utamanya.
- Atas lebih besar satu tingkat: ujung-ujungnya mengikuti asimtot miring (garis miring).
- Atas lebih besar lebih banyak: tidak ada asimtot — ia tumbuh seperti polinomial.
Geser asimtot horizontal naik dan turun
y = a/(x − b) + c
Ubah c dan seluruh kurva mendatar pada ketinggian baru y = c jauh di luar — garis horizontal itulah perilaku akhirnya.
Jika penyebut memiliki derajat lebih tinggi daripada pembilang, perilaku akhirnya mendekati…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bawah yang lebih besar mengalahkan atas, sehingga pecahan mengecil menuju $0$: sumbu-x adalah asimtot horizontal.
Jika pembilang dan penyebut memiliki derajat sama, asimtot horizontal adalah…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Untuk $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ ujung-ujungnya mendekati $y = 3/1 = 3$ — rasio koefisien utama.
Garis horizontal atau miring
- Asimtot adalah garis yang didekati grafik tetapi tidak pernah dilintasinya jauh di luar.
- Derajat sama → asimtot horizontal pada ketinggian non-nol; bawah menang → asimtot horizontal di $y = 0$.
- Derajat atas satu tingkat lebih tinggi dari bawah → asimtot miring alih-alih asimtot horizontal.
- Bagaimanapun juga, ujung-ujung grafik akan menetap pada garis tersebut.
Ketika derajat pembilang tepat satu lebih banyak daripada penyebut, grafik memiliki asimtot ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perilaku akhir mengikuti garis miring — asimtot miring — yang mengungkapkan pembagian panjang polinomial.
Hasil perilaku akhir mana yang mungkin untuk fungsi rasional?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi rasional dapat memiliki asimtot horizontal, asimtot miring, atau tidak keduanya — tetapi tidak pernah dua sekaligus di ujung yang sama.
Pembagian panjang membuatnya jelas
- Pembagian panjang polinomial menulis ulang $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ sebagai hasil bagi $+$ sisa/bawah.
- Jauh di luar, suku sisa menghilang, menyisakan hanya hasil bagi.
- Jika hasil baginya adalah bilangan, itu adalah asimtot horizontal; jika itu adalah garis, itu adalah asimtot miring.
- Limit mengatakan hal yang sama: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ sama dengan hasil bagi itu.
Pembagian panjang polinomial dapat menulis ulang fungsi rasional untuk mengungkap perilakunya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pembagian menghasilkan "hasil bagi + sisa/penyebut"; hasil bagi adalah garis atau kurva yang diikuti oleh ujung-ujungnya.
Hanya suku utama dari pembilang dan penyebut yang mengontrol perilaku ujung — suku-suku yang lebih kecil akan memudar menjauh dari titik asal. Jadi bandingkan derajatnya terlebih dahulu; jangan terdistraksi oleh konstanta atau suku tengah.
Temukan perilaku ujung dari $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- Pembilang dan penyebut keduanya berderajat $2$ — ini adalah seri sama derajat.
- Asimtot horizontal adalah rasio koefisien utama: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- Jadi $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: grafiknya mendatar menuju garis $y = 3$.
Untuk fungsi rasional, bandingkan derajat pembilang dan penyebut: bawah lebih besar → asimtot horizontal $y = 0$; sama → asimtot horizontal pada rasio koefisien utama; atas lebih besar satu tingkat → asimtot miring. Pembagian polinomial panjang mengungkapkan garis yang dituju oleh ujung-ujungnya.