Fungsi Polinomial dan Perilaku Akhir
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | perilaku ujung |
| degree/dɪˈɡriː/ | derajat |
| leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | koefisien utama |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | suku utama |
Apa yang terjadi jauh di tepi?
- Di dekat tengah, sebuah polinomial dapat bergelombang naik-turun dengan cara yang rumit.
- Namun, zoom jauh ke kiri dan jauh ke kanan, ceritanya menjadi sederhana.
- Setiap polinomial akhirnya akan menjauh ke $+\infty$ atau $-\infty$ di setiap ujungnya.
- Hanya dua fakta tentang aturan ini yang menentukan ke arah mana setiap ujung bergerak.
Perilaku ujung, dalam kata-kata
- Perilaku ujung adalah apa yang dilakukan output saat input menjauh ke kedua sisi.
- Ujung kiri: apa yang terjadi saat $x \to -\infty$. Ujung kanan: apa yang terjadi saat $x \to +\infty$.
- Setiap ujung hanya bisa melakukan salah satu dari dua hal: naik menuju $+\infty$ atau turun menuju $-\infty$.
- Jadi, hanya ada empat kemungkinan "bentuk ujung" untuk sembarang polinomial.
Perilaku akhir menggambarkan apa yang terjadi pada $f(x)$ saat $x \to +\infty$ dan $x \to -\infty$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tepat sekali — itu adalah perilaku jauh di dua ujung ekstrem sumbu-x.
Derajat dan koefisien utama menentukannya
- Derajat (genap atau ganjil) menentukan apakah kedua ujung sejalan atau berlawanan.
- Derajat genap → kedua ujung mengarah ke arah yang sama. Derajat ganjil → ujung-ujungnya mengarah ke arah yang berlawanan.
- Koefisien utama (tandanya) kemudian menentukan naik atau turun.
- Koefisien positif → ujung kanan naik; koefisien negatif → ujung kanan turun.
Balik koefisien utama dan perhatikan ujungnya berbalik arah
y = ax³ + bx² + cx + d
Ini adalah kurva derajat ganjil, sehingga ujungnya mengarah ke arah yang berlawanan. Buat negatif dan kedua ujung akan menukar arah.
Polinomial derajat ganjil dengan koefisien positif…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Derajat ganjil membuat ujung-ujung mengarah ke arah yang berlawanan; koefisien positif sends right end up (and so the left end down).
Polinomial derajat genap dengan koefisien negatif…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Derajat genap membuat ujung-ujung mengarah ke arah yang sama; koefisien negatif sends both ends down.
Fitur mana yang menentukan perilaku akhir suatu polinomial?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hanya derajat dan tanda koefisien utama yang penting untuk ujung; konstanta dan jumlah suku tidak.
Cocokkan setiap jenis polinomial dengan perilakunya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Derajat ganjil → ujung berlawanan; derajat genap → ujung seragam. Tanda koefisien kemudian memilih naik-turun.
Menulisnya dengan notasi limit
- Para matematikawan mencatat perilaku ujung dengan notasi limit.
- "Ujung kanan naik" ditulis sebagai $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.
- "Ujung kiri turun" ditulis sebagai $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
- Ini adalah cara ringkas untuk mengatakan tepat ke mana setiap ujung pergi.
Mengapa suku utama menang
- Jauh dari titik asal, suku berpangkat tertinggi tumbuh jauh lebih cepat daripada semua suku lainnya.
- Dalam $x^3 - 100x$, pada $x = 1000$ suku $x^3$ bernilai miliaran sementara $100x$ hanya seratus ribu.
- Jadi suku utama saja yang mengontrol perilaku ujung — sisanya menjadi kebisingan.
- Itulah sebabnya Anda tidak pernah perlu suku-suku kecil untuk menggambar ujung-ujungnya.
Untuk input dengan magnitudo besar, suku ____ mendominasi nilai polinomial.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku tertinggi-kuasa (utama) tumbuh paling cepat, sehingga meluputkan semua suku lainnya jauh dari titik asal.
Perilaku ujung bergantung hanya pada derajat dan tanda koefisien utama — tidak pernah pada suku konstan atau berapa banyak suku yang ada. Polinomial derajat-5 dan $x^5$ memiliki perilaku ujung yang identik, bagaimanapun juga tampilan tengahnya yang berantakan.
Deskripsikan ujung dari $f(x) = -2x^4 + x^3 + 5$.
- Derajat $4$ adalah genap → kedua ujung mengarah ke arah yang sama.
- Koefisien utama $-2$ adalah negatif → kedua ujung mengarah ke bawah.
- Jadi $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$: grafiknya turun di kedua sisi.
Perilaku ujung ditentukan oleh dua hal: derajat (genap → ujung sejajar, ganjil → ujung berlawanan) dan tanda koefisien utama (naik atau turun). Jauh di luar, suku utama mendominasi setiap suku lain, jadi hanya dua fakta ini yang penting.