Fungsi Polinomial dan Akar Kompleks
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | derajat |
| real zeros/rɪəl ˈzɪərəʊz/ | nol real |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | multipisitas |
| factored form/ˈfæktəd fɔːm/ | bentuk terfaktorisasi |
| complex zeros/ˈkɒmpleks ˈzɪərəʊz/ | nol kompleks |
| conjugate pairs/ˈkɒndʒuːɡeɪt peəz/ | pasangan konjugat |
Ke mana akar lainnya pergi?
- Grafik $y = x^2 + 1$ adalah parabola yang melayang sepenuhnya di atas sumbu-x.
- Tidak pernah memotongnya, sehingga tampaknya memiliki tidak ada solusi untuk $x^2 + 1 = 0$.
- Namun aljabar menegaskan bahwa persamaan derajat-2 seharusnya memiliki dua akar.
- Akar yang hilang bersembunyi di bilangan kompleks.
Nol riil dan multiplicitas
- Nol riil dari polinomial adalah nilai-nilai x di mana grafiknya memotong atau menyentuh sumbu-x.
- Bacalah langsung dari bentuk faktorisasi: $(x-2)(x+3)$ memiliki nol pada $2$ dan $-3$.
- Faktor berulang seperti $(x-2)^2$ memberikan nol dengan multiplicitas dua.
- Multiplicitas genap → grafik menyentuh dan memantul; multiplicitas ganjil → ia memotong.
Akar di mana grafik hanya menyentuh sumbu x (daripada memotong) memiliki ____ genap.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiplisitas genap (seperti $(x-3)^2$) membuat kurva memantul dari sumbu; multiplisitas ganjil membuatnya memotong.
Ketika grafik melewatkan sumbu
- Beberapa polinomial tidak pernah mencapai sumbu-x, sehingga mereka memiliki nol riil lebih sedikit daripada derajatnya.
- Nol yang "hilang" adalah nol kompleks — nilai yang dibangun menggunakan $i = \sqrt{-1}$.
- Mereka sama nyatanya sebagai solusi; hanya saja tidak muncul sebagai perpotongan-x.
Parabola yang tidak pernah bertemu sumbu x memiliki berapa banyak akar real?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tidak ada potong-x berarti tidak ada akar real. Namun masih memiliki dua akar — mereka kompleks.
Nol kompleks berjalan berpasangan
- Jika polinomial memiliki koefisien riil dan $a + bi$ adalah nol, maka $a - bi$ juga merupakan nol.
- Partner cermin ini disebut pasangan konjugat.
- Itulah mengapa nol kompleks selalu datang dua-dua — tidak pernah sendirian.
- Jadi, polinomial riil dapat memiliki $0, 2, 4, \dots$ nol kompleks, tetapi tidak pernah jumlah ganjil.
Akar kompleks dan pasangannya cermin
Plotkan akar a + bi. Untuk polinomial real, konjugatnya a − bi (cerminan melintasi sumbu real) juga harus merupakan akar.
Untuk polinomial dengan koefisien real, akar kompleks selalu muncul dalam pasangan konjugat.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jika $a + bi$ adalah akar, maka $a - bi$ harus menjadi akar juga. Itulah mengapa akar kompleks datang dua-dua.
Menghitung setiap nol
- Polinomial derajat $n$ memiliki tepat $n$ nol, sekali Anda menghitung nol riil dan kompleks dengan multiplicitas.
- Ini adalah Teorema Fundamental Aljabar, dan itu tidak pernah gagal.
- Jadi, polinomial kubik selalu memiliki $3$ nol; polinomial kuartik selalu memiliki $4$.
- Jika Anda dapat melihat lebih sedikit titik potong x daripada derajat, sisanya adalah kompleks.
Dihitung dengan multiplisitas, berapa banyak akar yang dimiliki polinomial derajat 4 secara total?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Polinomial derajat-$n$ memiliki tepat $n$ akar secara total, dihitung real dan kompleks dengan multiplisitas.
Kubik (derajat 3) memiliki tepat 1 akar real. Berapa banyak akar kompleks (non-real) yang harus dimilikinya?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Total akar $= 3$. Dengan $1$ real, sisanya $2$ adalah pasangan konjugat kompleks.
Pilih semua pernyataan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Perpotongan-x yang hilang tidak mengurangi jumlah nol — nol yang hilang bersifat kompleks. Yang lain semuanya benar.
Titik potong x yang "hilang" tidak berarti polinomial memiliki jumlah nol yang lebih sedikit. Jumlah nol selalu sama dengan derajat — nol yang tidak terlihat hanyalah nilai kompleks. Jangan melaporkan bahwa sebuah polinomial kuartik memiliki "dua nol" hanya karena Anda melihat dua titik potong x.
Selesaikan $x^2 + 1 = 0$.
- Diatur ulang: $x^2 = -1$, sehingga $x = \pm\sqrt{-1} = \pm i$.
- Kedua nol tersebut adalah $i$ dan $-i$ — pasangan konjugat, persis seperti yang dijanjikan.
- Parabola $y = x^2 + 1$ melayang di atas sumbu karena tidak ada nol yang bersifat real.
Nol real adalah titik potong x, dengan multipisitas genap/ganjil yang menentukan sentuh atau silang. Setiap nol yang tersisa adalah nol kompleks, yang selalu muncul dalam pasangan konjugat. Dihitung dengan multipisitasnya, total jumlah nol selalu sama dengan derajat.