Fungsi Polinomial dan Laju Perubahan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | derajat |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | suku utama |
| polynomial function/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi polinomial |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | maksimum lokal |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | minimum lokal |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | titik belok |
| concavity/kənˈkævɪti/ | kecembungan |
Berapa banyak belokan yang bisa dimiliki kurva?
- Garis itu lurus; parabola memiliki satu belokan; tetapi beberapa kurva naik dan turun beberapa kali.
- Apa yang menentukan berapa banyak bukit dan lembah yang diperbolehkan oleh grafik?
- Jawabannya tersembunyi dalam satu angka dalam aturan fungsi.
- Kenalkan polinomial — fungsi yang dibangun dari pangkat $x$.
Derajat dan suku utama
- Fungsi polinomial adalah jumlah dari suku-suku seperti $3x^4$, $-2x$, dan $7$.
- Derajatnya adalah pangkat tertinggi dari $x$ yang muncul.
- Suku utama adalah suku dengan pangkat tertinggi tersebut — ia mendominasi grafik untuk nilai $x$ yang besar.
- Derajat adalah angka paling penting: ia membatasi seberapa banyak belokan yang bisa dimiliki kurva.
Derajat polinomial adalah…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Derajat adalah pangkat tertinggi pada variabel — mis. $2x^4 - x + 7$ memiliki derajat $4$. Ini mengontrol bentuk keseluruhan grafik dan perilaku ujung.
Maksimum dan minimum lokal
- Ikuti polinomial dari kiri ke kanan dan tandai di mana ia mengubah arah.
- Maksimum lokal adalah puncak: peningkatan berubah menjadi penurunan.
- Minimum lokal adalah lembah: penurunan berubah menjadi peningkatan.
- Di antara titik-titik belok ini, fungsi terus-menerus meningkat atau menurun.
Ubah bentuk kubik dan hitung titik beloknya
y = ax³ + bx² + cx + d
Sesuaikan slider. Kurva derajat-3 dapat bergetar paling banyak dua kali — cobalah membuatnya berbelok tiga kali (Anda tidak bisa).
Titik di mana grafik beralih dari menurun ke meningkat adalah ____ lokal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Minimum lokal adalah lembah — kurva berhenti turun dan mulai naik.
Titik belok
- Bahkan di antara titik belok, kurva dapat mengubah cara ia membengkok.
- Titik belok adalah tempat kecembungan berbalik: cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya.
- Pada titik belok, laju perubahan berhenti mempercepat dan mulai melambat (atau sebaliknya).
- Jadi, itu adalah titik tercuram atau paling landai pada bagian yang naik atau turun.
Titik belok adalah titik di mana…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pada titik belok, kurva berhenti membengkok ke satu arah dan mulai membengkok ke arah lain — cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya.
Der蝠 membatasi belokan
- Polinomial derajat $n$ memiliki paling banyak $n - 1$ titik belok.
- Ia juga memiliki paling banyak $n - 2$ titik belok.
- Kubik (derajat $3$) dapat berbelok paling banyak dua kali; kuartik (derajat $4$) paling最多 tiga kali — seperti gambar di atas.
- "Paling banyak" itu penting: kurva mungkin memiliki lebih sedikit belokan, tetapi tidak pernah lebih banyak daripada yang diizinkan derajatnya.
Paling banyak berapa banyak titik belok yang dapat dimiliki polinomial dengan derajat 5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Polinomial derajat-$n$ memiliki paling banyak $n - 1$ titik belok, jadi derajat $5$ memungkinkan paling banyak $4$.
Polinomial derajat-3 dapat memiliki 3 titik belok.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Derajat $3$ memungkinkan paling banyak $3 - 1 = 2$ titik belok. Dapat memiliki $2$ atau tidak ada, tetapi tidak pernah $3$.
Pilih semua pernyataan benar tentang grafik polinomial.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kubik dapat memiliki $2$ titik belok atau tidak ada (mis. $y = x^3$), sehingga "harus memiliki 2" adalah salah. Tiga lainnya benar.
"Paling banyak" bukan "tepat". Kubik bisa memiliki dua titik belok, tetapi $y = x^3$ tidak punya — ia terus naik sepanjang jalan, dengan satu titik belok di titik asal. Derajat menetapkan batas atas, bukan jumlahnya.
Pertimbangkan $f(x) = x^3 - 3x$.
- Derajat $3$, jadi paling banyak $2$ titik belok — dan ia memiliki tepat $2$: maksimum lokal dekat $x = -1$ dan minimum lokal dekat $x = 1$.
- Di antaranya, pada $x = 0$, kecembungan berbalik: itulah titik beloknya.
- Suku utamanya $x^3$ membuat grafik turun di sebelah kiri jauh dan naik di sebelah kanan jauh.
Fungsi polinomial derajatnya (pangkat tertinggi) membatasi bentuknya: paling banyak $n - 1$ titik belok — maksimum lokal dan minimum lokal — dan paling banyak $n - 2$ titik belok, di mana kecembungan berbalik. Suku utama mengontrol apa yang terjadi menjauh di masing-masing sisi.