Laju Perubahan pada Fungsi Linear dan Kuadratik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | fungsi kuadrat |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | fungsi linear |
| constant/ˈkɒnstənt/ | konstan |
| slope/sləʊp/ | kemiringan |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan rata-rata |
Dua jenis pendakian
- Eskalator mengangkat Anda dengan kecepatan stabil: setiap detik mendapat ketinggian yang sama.
- Jet di landasan pacu berbeda: setiap detik ia mendapatkan lebih banyak kecepatan daripada sebelumnya.
- Keduanya "naik", tetapi cara mereka berubah sepenuhnya berbeda.
- Fungsi linear dan kuadrat adalah dua anggota pertama dari cerita ini.
Fungsi linear: laju konstan
- Fungsi linear digambarkan sebagai garis lurus.
- Kemiringan-nya sama di mana saja, sehingga laju perubahan rata-rata-nya sama selama segala interval.
- Selama $[0, 2]$ atau $[10, 12]$ atau rentang lain apa pun — Anda selalu mendapatkan angka yang identik.
- Satu laju tak berubah inilah yang benar-benar dimaksud dengan "linear".
Laju perubahan rata-rata dari fungsi linear pada interval apa pun adalah…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis lurus memiliki satu kemiringan tetap, sehingga laju perubahan rata-rata sama pada setiap interval — itulah yang membuatnya linear.
Fungsi kuadrat: laju yang berubah
- Fungsi kuadrat digambarkan sebagai parabola melengkung.
- Karena membengkok, kemiringannya berbeda di tempat yang berbeda — laju perubahan terus berubah.
- Dekat dengan vertex hampir datar; jauh dari vertex sangat curam.
- Jadi laju perubahan rata-ratanya bergantung pada interval mana yang Anda pilih.
Satu slider mengubah parabola menjadi garis lurus
y = ax² + bx + c
Atur a = 0 untuk mendapatkan garis lurus — kemiringannya konstan. Buat a ≠ 0 dan kurva membengkok, sehingga sekarang laju perubahan terus berubah.
Untuk fungsi kuadratik, laju perubahan rata-rata sama pada setiap interval.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Parabola membengkok, sehingga kemiringannya terus berubah — interval berbeda memberikan laju perubahan rata-rata yang berbeda.
Langkah sama mengungkap pola
- Ambil langkah sama pada input dan daftar output dari $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- Loncatan di antaranya — selisih pertama — adalah $1, 3, 5, 7$.
- Loncatan-loncatan tersebut tidak konstan, tetapi bertambah dengan jumlah yang sama ($2$) setiap kali.
- Jadi laju perubahan kuadrat tidak tetap, namun berubah dengan cara yang sangat stabil, linear.
Untuk $y = x^2$, selisih pertama pada $x = 1, 2, 3$ adalah $3, 5, 7$. Dengan jumlah konstan berapa mereka tumbuh setiap langkah?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5 - 3 = 2$ dan $7 - 5 = 2$. Selisih kedua konstan ini adalah sidik jari dari fungsi kuadratik.
Untuk fungsi kuadratik, langkah yang sama pada $x$ menghasilkan selisih pertama yang…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Selisih pertama itu sendiri membentuk pola linear — mereka tumbuh dengan jumlah yang sama setiap langkah. (Berlipat ganda setiap kali akan bersifat eksponensial.)
Setiap laju rata-rata adalah kemiringan secan
- Fungsinya apa pun, laju perubahan rata-rata selama $[a, b]$ adalah kemiringan garis secan melalui titik-titik ujungnya.
- Untuk garis lurus, setiap secan berada tepat di atas grafik — kemiringan sama setiap kali.
- Untuk parabola, setiap secan miring berbeda — itulah tanda terlihat dari laju yang berubah.
- Membaca kemiringan secan adalah cara Anda membandingkan bagaimana dua fungsi berubah.
Urutkan langkah-langkah untuk menemukan laju perubahan rata-rata atas $[a, b]$.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Output terlebih dahulu, lalu selisihnya, kemudian bagi dengan perbedaan input — itulah kemiringan garis sekat.
Pilih semua pernyataan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Laju perubahan fungsi kuadratik tidak konstan — ia berubah secara stabil (selisih keduanya konstan). Tiga pernyataan lainnya benar.
Jangan sebut laju kuadratik sebagai "konstan" hanya karena polanya dapat diprediksi. Lajunya sendiri berubah dari interval ke interval; yang konstan adalah perubahan lajunya. Untuk garis lurus, perubahan laju ini bernilai nol.
Bola yang dijatuhkan jatuh sejauh $d = 5t^2$ meter setelah $t$ detik.
- Jarak pada $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ meter.
- Selisih pertama (jarak setiap detik): $5, 15, 25$ — bertambah dengan jumlah tetap $10$.
- Kecepatan bola meningkat secara linear meskipun jarak bersifat kuadratik.
Fungsi linear berubah pada satu laju yang konstan — setiap sekan memiliki kemiringan yang sama. Laju perubahan fungsi kuadratik tidak konstan: pada langkah-langkah yang sama, selisih pertamanya bertambah sebesar jumlah tetap, sehingga laju berubah secara konsisten. Laju perubahan rata-rata selama $[a, b]$ selalu merupakan kemiringan sekan.