Laju Perubahan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan rata-rata |
| interval/ˈɪntəvl/ | interval |
| slope/sləʊp/ | kemiringan |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | garis sekant |
| constant/ˈkɒnstənt/ | konstan |
Seberapa cepat, tepatnya?
- Speedometer mobil menjawab pertanyaan yang tidak dapat dijawab oleh odometer: bukan seberapa jauh, tetapi seberapa cepat saat ini.
- "Seberapa cepat output berubah?" adalah pertanyaan utama dalam seluruh kursus ini.
- Jawabannya adalah sebuah angka yang disebut laju perubahan.
- Pelajaran ini mengukurnya dengan dua cara: selama rentang waktu, dan pada satu momen tunggal.
Laju perubahan rata-rata
- Selama interval dari $x = a$ hingga $x = b$, bandingkan seberapa banyak output berubah dibandingkan dengan seberapa banyak input berubah.
- Laju perubahan rata-rata adalah $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — perubahan output dibagi perubahan input.
- Ini adalah rasio, sehingga selalu memiliki satuan: meter per detik, dolar per tahun, °C per menit.
- Contoh dalam kata-kata: jika suhu naik 12°C selama 4 jam, laju rata-ratanya adalah 3°C per jam.
Rata-rata laju perubahan dari $f$ sepanjang interval $[a, b]$ sama dengan…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah perubahan output dibagi perubahan input — sebuah rasio, sehingga membawa satuan output per satuan input.
Ini adalah kemiringan garis secan
- Gambarlah garis lurus yang menghubungkan kedua titik ujung $(a, f(a))$ dan $(b, f(b))$: itu adalah garis secan.
- Kemiringan-nya — rise over run — adalah tepat laju perubahan rata-rata.
- Secan yang lebih curam → perubahan rata-rata lebih cepat; secan menurun → laju negatif.
Jarak pelari adalah $f(t)$ meter. Jika $f(2) = 10$ dan $f(5) = 40$, berapa kecepatan rata-rata selama $[2, 5]$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kecepatan rata-rata $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s — kemiringan garis sekant selama interval tersebut.
Pada grafik, rata-rata laju perubahan sepanjang $[a, b]$ adalah kemiringan dari…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis sekant menghubungkan $(a, f(a))$ dan $(b, f(b))$; kemiringannya tepat sama dengan rata-rata laju perubahan.
Laju pada satu titik
- Secan membutuhkan dua titik. Untuk mendapatkan laju pada hanya satu titik, perkecil interval.
- Ambil laju rata-rata pada interval yang semakin kecil di sekitar titik tersebut.
- Saat interval menyempit menuju nol, secan miring menjadi garis singgung — kemiringannya adalah laju pada titik yang tepat tersebut.
- "Laju pada momen" ini adalah konsep yang akan berkembang menjadi kalkulus tahun depan.
Perkecil interval hingga garis sekant menjadi garis singgung
f(x) = 0.5x²
Seret titik untuk membaca kemiringan di satu titik tertentu — ini adalah limit dari rata-rata laju perubahan saat interval mengecil menuju nol.
Untuk memperkirakan laju perubahan di satu titik, rata-rata laju diambil dari interval yang sangat ____ di sekitarnya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Saat interval mengecil menuju nol, kemiringan garis sekant mendekati kemiringan di titik yang tepat tersebut.
Tanda, besaran, dan satuan
- Positif laju berarti output meningkat; negatif laju berarti menurun; nol berarti tidak ada perubahan.
- Angka yang lebih besar (mengabaikan tanda) berarti perubahan lebih cepat.
- Untuk garis lurus, lajunya sama di mana saja — ia konstan.
- Selalu nyatakan satuannya: laju perubahan tanpa satuan hanyalah setengah jawaban.
Negatif rata-rata laju perubahan berarti output menurun selama interval tersebut.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rasio negatif berarti output berakhir lebih rendah daripada saat dimulai — fungsi turun, rata-rata, di seluruh interval.
Pilih semua pernyataan benar tentang laju perubahan rata-rata.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Dapat positif, negatif, atau nol. Semua hal lain benar: ia adalah kemiringan, memiliki satuan, dan mengaproksimasi laju titik pada interval kecil.
Laju perubahan rata-rata hanya tentang dua titik ujung — mengabaikan segala sesuatu di antaranya. Pendaki yang memanjat lalu turun kembali ke ketinggian yang sama memiliki laju rata-rata nol, meskipun mereka bergerak sepanjang waktu.
Mobil menempuh jarak 150 km antara pukul 1:00 dan 3:00.
- Kecepatan rata-rata $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/j.
- Itu adalah kemiringan secan dari grafik jarak-waktu selama dua jam tersebut.
- Kecepatan sebenarnya mobil berubah terus-menerus — 75 km/h hanyalah rata-rata-nya.
Laju perubahan rata-rata selama $[a, b]$ adalah $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, kemiringan dari garis secan melalui titik-titik ujung. Perkecil interval menuju nol dan itu menjadi laju pada satu titik. Selalu laporkan satuannya.