Perubahan Berantai
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | input |
| output/ˈaʊtpʊt/ | output |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | meningkat |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | menurun |
| constant/ˈkɒnstənt/ | konstan |
| interval/ˈɪntəvl/ | interval |
| concavity/kənˈkævɪti/ | kecembungan |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | cekung ke atas |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | cekung ke bawah |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | titik balik |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | maksimum lokal |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | minimum lokal |
Perhatikan air merambat naik
- Tuangkan air ke dalam gelas dengan laju stabil dan lihat levelnya naik.
- Dalam gelas lurus, levelnya naik secara stabil; dalam vas berkelok, ia percepat dan perlambat.
- Dua besaran -- air yang dituangkan dan ketinggian -- berubah bersama, secara serentak.
- Pra-kalkulus dimulai dengan menjelaskan secara tepat bagaimana satu besaran berubah saat yang lain melakukannya.
Fungsi menghubungkan input ke output
- Fungsi mengambil input (nilai $x$) dan mengembalikan tepat satu output (ditulis $f(x)$).
- Saat input berubah, output berubah bersamanya -- itu berarti perubahan serentak.
- Kita menulis $f(2)$ untuk bermakna "output ketika input adalah $2$".
- Jadi seluruh cerita fungsi adalah satu pertanyaan: saat $x$ bergerak, ke mana $f(x)$ pergi?
Meningkat, menurun, atau konstan
- Pilih interval -- rentang dari sumbu input -- dan ikuti output dari kiri ke kanan.
- Fungsi meningkat di mana output naik saat input bergerak ke kanan.
- Ia menurun di mana output turun saat input bergerak ke kanan.
- Ia konstan di mana output tetap datar.
- Anda dapat membacanya langsung dari grafik: menanjak berarti meningkat, menurun berarti menurun.
Sebuah fungsi meningkat pada suatu interval ketika…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Peningkatan berkaitan dengan arah, bukan ukuran: bergerak ke kanan sepanjang input dan output memanjat. Fungsi bisa meningkat meskipun nilainya masih negatif.
Jika grafik benar-benar datar (horizontal) sepanjang interval, fungsi tersebut konstan di sana.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Grafik datar berarti output tidak berubah seiring perubahan input — itulah tepat makna konstan.
Kekurungan: apakah perubahan mempercepat atau memperlambat?
- Bahkan sementara kurva terus meningkat, laju perubahannya (seberapa cepat output bergerak) bisa sendiri berubah.
- Kekurungan menggambarkan ke arah mana kurva membengkok.
- Cembung ke atas -- kurva membengkok ke atas seperti cangkir, sehingga laju perubahan meningkat.
- Cembung ke bawah -- kurva membengkok ke bawah seperti kubah, sehingga laju perubahan menurun.
- Vas berkelok lagi: di mana menyempit, ketinggian naik semakin cepat (cembung ke atas).
Mengatakan kurva cekung ke atas memberi tahu Anda bahwa…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cekung ke atas melengkung seperti cangkir: laju perubahan itu sendiri sedang naik. Kurva bisa cekung ke atas sambil turun — bayangkan slide yang mereda di bagian bawah.
Titik belok: maksimum dan minimum lokal
- Di mana kurva berhenti meningkat dan mulai menurun, ia mencapai maksimum lokal -- sebuah puncak.
- Di mana ia berhenti menurun dan mulai meningkat, ia mencapai minimum lokal -- sebuah lembah.
- Setiap puncak atau lembah semacam itu adalah titik belok.
- "Lokal" berarti tertinggi atau terendah di dekatnya -- belum tentu di seluruh grafik.
Kemiringan garis singgung ADALAH laju perubahan
f(x) = x³ − 3x
Seret titik dan bacalah kemiringan garis singgungnya — positif di mana kurva naik, negatif di mana turun, dan nol di titik belok.
Titik di mana grafik berhenti meningkat dan mulai menurun adalah lokal ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Di maksimum lokal, kurva berbelok dari naik ke turun — puncak tertinggi dibandingkan titik-titik terdekat.
Lihat kurva pada gambar. Pilih semua pernyataan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kurva naik, berbelok di puncak, turun ke lembah, lalu naik lagi. Kurva ini bukan cekung ke atas di setiap tempat — melengkung ke bawah dekat puncak dan ke atas dekat lembah.
"Meningkat" dan "cembung ke atas" adalah ide berbeda. Meningkat berkaitan dengan output naik; cembung ke atas berkaitan dengan laju perubahan naik. Kurva bisa menurun dan cembung ke atas sekaligus -- turun, namun melandai saat turun.
Membandingkan dua output
- Untuk membandingkan fungsi pada dua input $a$ dan $b$, bandingkan output mereka $f(a)$ dan $f(b)$.
- Jika $b > a$ dan $f(b) > f(a)$, output tumbuh seiring input tumbuh.
- Perubahan bersih pada output dari $a$ ke $b$ hanyalah $f(b) - f(a)$.
- Jika fungsi kembali ke nilai yang sama, perubahan bersihnya nol -- bahkan jika ia naik dan turun di sepanjang jalan.
Sebuah fungsi memiliki $f(2) = 5$ dan $f(6) = 5$. Apa perubahan bersih pada output dari $x = 2$ ke $x = 6$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Perubahan bersih $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. Output berakhir di posisi awal — meskipun mungkin naik dan turun di antaranya.
Pasangkan setiap istilah dengan deskripsinya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Meningkat/menurun mendeskripsikan arah output; kecerungan mendeskripsikan bagaimana laju perubahan itu sendiri berubah; maksimum lokal adalah tempat arahnya berbalik.
Secangkir teh mendingin dari 90°C ke suhu ruang.
- Suhu (output) menurun sepanjang waktu — tidak pernah naik kembali.
- Namun, ia turun cepat di awal, lalu perlahan: kurvanya cekung ke atas.
- Tidak ada maksimum atau minimum lokal di antaranya — arah tidak pernah berbalik.
Perilaku suatu fungsi dibaca dari grafiknya: fungsi tersebut naik atau turun pada interval tertentu, kelengkungan-nya memberi tahu apakah laju perubahan percepat atau melambat, dan titik belok-nya adalah maksimum dan minimum lokal di mana arah berbalik.