Elektromagnetika

Ini adalah kursus ketujuh dalam Teknik Elektro Universitas: elektromagnetisme — fisika di balik setiap rangkaian, antena, dan motor. Rangkaian menyembunyikan medan di dalam kawat; kursus ini membukanya.

• Unit 7.1 meninjau kembali alat kalkulus vektor (operator EE02, kini dengan koordinat dan simetri).
• Unit 7.2–7.4 membangun elektrostatis: elektrostatis, magnetostatis, dan persamaan Maxwell yang dirakit.
• Unit 7.5–7.6 mempropagasikan gelombang dan menghantarkannya melalui saluran transmisi.
• Unit 7.7 membuka panduan gelombang dan antena.

Kisah berkesinambungan ini adalah satu tautan: koneksi radio 3 GHz antara dua papan di atas meja kerja — medan, gelombangnya, kabel, panduan, dan antenanya. Setiap jawaban bidang di bawah ini dihitung dengan dua cara (Gauss vs integrasi langsung; Ampère vs Biot-Savart), dan setiap jawaban gelombang diverifikasi terhadap kasus batas (ruang bebas, konduktor sempurna, DC).

Mengapa hal ini penting. Penerima GPS telepon mendengar −130 dBm; apakah itu dapat berfungsi ditentukan oleh divergensi dan curl. Operator EE02 adalah tata bahasa; di sini mereka mengambil koordinat dan mempelajari jalan pintas simetri yang menjadikan geometri nyata dapat ditangani.

Ideanya, dengan gambar. Sebuah medan memiliki aliran keluar per volume (yang divergensi) dan sirkulasi per luas (yaitu rotasi). Sebelum menyentuh integral, uji simetri sumber: bola penuh silindris → silinder koaksial ($dA = r^{2}\sin θ\,dθ\,dφ$); tidak ada → langsung silinder → silinder koaksial ($dA = r\,dφ\,dl$); tidak ada → langsung integrasi sepanjang rumus medan.

mengatakan bahwa aliran bersih keluar medan melalui permukaan tertutup sama dengan integral volume

sumbernya. Untuk sumber simetris, integral permukaan integral dari sumber-sumbernya. Untuk sumber yang simetris, integral permukaan menyederhanakan menjadi $E \times A$; menyelesaikan medan kemudian hanya satu baris — itu satu baris adalah setiap contoh hukum Gauss dalam kursus ini.

Contoh terpecahkan 1 — divergensi dengan koordinat. Ambil titik $\mathbf{F} = (3x^{2}, 0, 0)$ divergensinya adalah $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial(3x^{2})/\partial x = 6x$ per satuan volume. Periksa pada titik $(2, 0, 0)$ divergensinya adalah 12 per satuan volume. Periksa di titik $(−2, 0, 0)$: medan masih mengarah searah $+x$ ($3x^{2}$ tidak pernah negatif), namun divergensinya −12 — tanda mengikuti bagaimana medan berubah (kepadatan sumber), bukan ke arah mana medan mengarah.

Contoh terpecahkan 2 — teorem pada kubus. Fluks dari $\mathbf{F}$ itu keluar dari kubus satuan $[0,1]^{3}$, melalui jalur volume: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 6x\,dx\,dy\,dz = 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$. Melalui jalur permukaan: hanya muka $x = 1$ yang membawa fluks ($3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$; muka $x = 0$ memiliki $3x^{2} = 0$, empat lainnya sejajar dengan $\mathbf{F}$) — total 3 ✓. Kedua jalur, satu angka: teorema adalah identitas akuntansi yang selalu dapat Anda periksa.

Kesalahan umum. Mengintegrasikan $r^{2}$ tetapi mendiferensiasikan $1/r^{2}$ (sebagian besar contoh Gauss menyembunyikan satu langkah seperti itu—tuliskan keduanya secara eksplisit). Melupakan bola $dA = r^{2}\sinθ\,dθ\,dφ$ memiliki $r^{2}$ yang membatalkan medan $1/r^{2}$—pembatalan INI adalah metodenya. Dan menerapkan hukum Gauss pada sumber asimetris: tidak ada simetri, tidak ada $E \times A$, tidak ada jalan pintas.

Ringkasan. Divergensi = densitas aliran keluar, curl = densitas sirkulasi; simetri memilih permukaan; teorema divergensi adalah pemeriksaan dua-jalur yang membuat setiap jawaban di sini dapat diverifikasi sendiri.

Mengapa ini penting. Setiap kapasitor, setiap kegagalan isolasi, setiap sentuhan sensor adalah masalah elektrostatika yang mengenakan label komponen.

Gagasan, dengan gambar. Medan Coulomb dari muatan titik, $E = q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\,\hat{r}$, terkumpul dalam hukum Gauss:

dan simetri mengubah integral menjadi aritmatika: untuk sumber yang simetris secara sferis, $E \cdot 4\pi r^{2} = Q_{enc}/\varepsilon_{0}$.

Turunan. Di dalam bola bermuatan seragam berjari-jari $a$ dan kerapatan $\rho$, muatan yang terkurung meningkat sebagai $r^{3}$ sementara luas permukaan bola Gaussian meningkat sebagai $r^{2}$:

Potensial listrik merupakan integrasi dari medan tersebut: $V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$; kapasitansi dari sebuah bola terisolasi diikuti, $C = Q/V = 4\pi\varepsilon_{0}a$ — sekitar 1.1 pF per cm jari-jari, mengapa objek bebas ruang hampir tidak berpasangan. Pada antarmuka dielektrik, syarat batas adalah: komponen tangensial $E$ kontinu, normal $D = \varepsilon E$ melompat sebesar muatan permukaan bebas apa pun.

Contoh terarah 1 — bola, kedua daerah. Dengan $\rho = 1\ \mu\text{C/m}^{3}$ dan $a = 2$ cm: pada permukaan $r = a$, kedua rumus menghasilkan $E = \rho a/3\varepsilon_{0} = (10^{-6} \cdot 0.02)/(3 \times 8.854 \times 10^{-12}) = 753$ V/m ✓ satu nilai, dua jalur. Pada $r = 4$ cm (dua kali jari-jari), bentuk luar menghasilkan $753/4 = 188$ V/m — penurunan $1/r^{2}$, satu oktaf menjauh.

Contoh terpecahkan 2 — tingkatkan ke dielektrik. Pertahankan kepadatan muatan bebas yang sama dan biarkan dielektrik homogen, linear mengisi seluruh ruang, di dalam dan di luar daerah bermuatan. Dengan $\varepsilon_{r} = 4$, medan di setiap tempat turun sebesar 4× dan nilai permukaan menjadi 188 V/m. Yang polarisasi berubah $E$, sementara $D = \varepsilon E$ tetap tidak berubah untuk muatan bebas yang sama. Muatan terikat di dalam bola adalah $Q_{bound} = -(1 - 1/\varepsilon_{r})Q_{free} = -0.75Q_{free}$. Tersebar melalui volume bermuatan. Tidak ada muatan terikat tambahan muatan permukaan di $r = a$, karena dielektrik sama di kedua sisi dan polarisasinya kontinu di sana. Sebuah bola dielektrik yang dikelilingi oleh vakum merupakan masalah nilai batas yang berbeda.

Kesalahan umum. Menggunakan $4\pi r^{2}$ ketika geometrinya adalah silinder ($2\pi r l$). Mencampur $\varepsilon_{0}$ dan $\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ di tengah soal — pilih satu konvensi per soal. Dan menerapkan rumus luar (muatan titik) bentuk di dalam bola: muatan yang terkurung, bukan total muatan, adalah apa yang dilihat Gauss.

Ringkasan. Hukum Gauss ditambah simetri: $E \times A = Q_{enc}/\varepsilon$; yang bola tumbuh secara linear di dalam, menurun sebagai $1/r^{2}$ di luar, konsisten di permukaan. Dielektrik membagi medan oleh $\varepsilon_{r}$ dan menyimpan selisihnya sebagai muatan terikat.

Mengapa ini penting. Motor, relay, magnet MRI, dan setiap induktor dimulai dari pasangan hukum yang sama: Biot-Savart untuk kasus umum, Ampère ketika simetri mendukung.

Gagasan, dengan gambar. Arus menghasilkan medan. Hukum Biot-Savart mengintegralkan kontribusi setiap elemen arus; Hukum Ampère hukum $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{enc}$ membungkus medan sekitar arus. Tes simetri dari Unit 7.1 menentukan mana yang digunakan.

Penurunan rumus. Untuk solenoida tak hingga dengan $n$ lilitan per meter, buat loop Amperian persegi panjang dengan salah satu sisi panjang di dalam (panjang $l$), satu di luar, dan sisi pendek yang melintasi kumparan. Volume yang terkurung Fluks magnet $n l I$ menghasilkan pembatalan, dan sisi pendek tidak menyumbang apa-apa (medan tegak lurus terhadap menuju lintasan lingkaran berjari-jari $B \cdot l = \mu_{0} n l I$ — orbit siklotron.

Fluks magnetik $\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$ menghasilkan induktansi $L = N\Phi/I$; untuk solenoida, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$. Yang Gaya Lorentz $\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ membengkokkan muatan bergerak menuju lintasan melingkar dengan jari-jari $r = mv/qB$ — orbit siklotron.

Contoh terpecahkan 1 — solenoid yang dihitung. Dengan $n = 1000$ lilitan/m dan $I = 2$ A: $B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 2 = 2.51$ mT di dalamnya, seragam sepanjang sumbu. Pengecekan Biot–Savart akan mengintegralkan seribu loop — itulah sebabnya uji simetri dilakukan lebih dulu: satu baris alih-alih satu halaman.

Contoh terpecahkan 2 — lintasan dan gaya. Muatan $1\ \mu$C pada $10^{6}$ m/s bergerak tegak lurus terhadap medan magnet $1$ T merasakan $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{6} \times 1 = 1$ N — dan berputar dalam lingkaran dengan jari-jari $r = mv/qB$: untuk elektron ($m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg), $r = (9.11 \times 10^{-31} \times 10^{6})/(1.6 \times 10^{-19} \times 1) = 5.7\ \mu$m — yaitu jari-jari siklotron yang menentukan geometri magnetron dan spektrometer. Periksa kecepatannya: elektron pada $10^{6}$ m/s membawa energi 2.85 eV — cukup non-relativistik, sehingga rumus tersebut valid.

Kesalahan umum. Melupakan bahwa hukum Ampère memerlukan TOTAL arus yang terbungkus arus (loop dengan $N$ lilitan → $NI$). Menganggap $\mathbf{B}$ kontinu melintasi lembaran arus (komponen tangensialnya melompat sebesar $\mu_{0}K$). Dan menggunakan rumus solenoida untuk kumparan pendek: "tak hingga" berarti panjang ≫ diameter, atau medan lebih lemah dan tidak seragam.

Ringkasan. Ampère plus simetri: $B \cdot l = \mu_{0}I_{enc}$; solenoida tak hingga memusatkan fluks, $B = \mu_{0}nI$, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$; muatan bergerak melingkar di $r = mv/qB$.

Mengapa ini penting. Setiap radio, setiap foton, setiap pengisian nirkabel bergantung pada satu suku yang ditambahkan Maxwell untuk menutup loop.

Ide, dengan gambar. Statika + arus perpindahan melengkapi himpunan:

Keempat kotak adalah loop: perputaran $\mathbf{E}$ membuat perubahan $\mathbf{B}$, perputaran $\mathbf{B}$ membuat perubahan $\mathbf{E}$ — gelombang mandiri.

Turunan. Kekekalan muatan $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ memaksa koreksi: ambil divergensi dari hukum Ampère asli ($\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}$) dan ruas kiri secara identik nol sedangkan ruas kanan adalah $-\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ — tak nol setiap kali muatan terkumpul. Menambahkan $\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t$ memperbaikinya, karena hukum Gauss mengubah divergensi suku tersebut menjadi tepat $+\mu_{0}\partial\rho/\partial t$. Rantai tertutup.

Contoh terpecahkan 1 — ampere yang hilang pada kapasitor. Kapasitor pelat-parallel mengisi dengan arus $dQ/dt = 1$ A. Antara kedua pelat tidak ada arus konduksi yang ada, namun loop Ampèrian di sekitar kawat harus menunjukkan angka yang sama 1 A berapapun permukaan yang Anda gunakan untuk melingkupinya. Antara kedua pelat $E = Q/(\varepsilon_{0}A)$, sehingga $\varepsilon_{0}A \cdot \partial E/\partial t = dQ/dt = 1$ A ✓ — arus pergeseran SEBENARNYA arus konduksi, secara numeris.

Contoh terpecahkan 2 — tingkatkan ke kecepatan gelombang. Di ruang bebas sumber ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), ambil curl dari persamaan curl $\mathbf{E}$ dan substitusikan persamaan $\mathbf{B}$:

persamaan gelombang dengan kecepatan $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$. Masukkan angka: $1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} = 3.0 \times 10^{8}$ m/s — kecepatan cahaya, dari dua konstanta yang diukur di meja praktikum. Hubungan antara berjalan dimulai dari sini.

Kesalahan umum. Memperlakukan arus pergeseran sebagai pembukuan opsional (itulah yang membuat persamaan konsisten dan itulah yang membawa gelombang). Melupakan persamaan mana yang memiliki tanda minus (Faraday: itu adalah hukum Lenz, medan induksi yang berlawanan dengan perubahan). Dan menerapkan pendekatan statis kepada antena: radiasi ADALAH suku koreksi yang melakukan kerjanya.

Ringkasan. Empat persamaan, satu loop; arus perpindahan menutup konservasi muatan dan, dalam ruang hampa, menghasilkan persamaan gelombang pada $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$.

Mengapa ini penting. Wi-Fi, radar, sinar matahari dan pembawa 3 GHz link bangku semuanya adalah solusi yang sama: gelombang bidang. semua pembawa sama sebagai solusi: gelombang bidang.

arah propagasi saling tegak lurus, sefasa, dengan solusi paling sederhana adalah gelombang bidang: $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ dan arah perambatan saling tegak lurus, sefasa, dengan $B = E/c$. Impedansi intrinsik menunjuk sepanjang propagasi dengan $\eta_{0} = \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} = 377\ \Omega$. $E$ ke $H$; vektor Poynting $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ titik sepanjang propagasi dengan $S = E^{2}/\eta_{0}$ (instan; dengan nilai RMS dari $E$ ini adalah densitas daya rata-rata, sementara sinus dengan amplitudo $E_{0}$ memiliki rata-rata $E_{0}^{2}/2\eta_{0}$).

Penurunan rumus. Untuk $\mathbf{E} = E_{0}\cos(\omega t - kz)\,\hat{x}$, Hukum Faraday memberikan $\partial B/\partial t = -\partial E/\partial z$, diintegrasikan menjadi $B = (k/\omega)E = E/c$. Kepadatan daya mengikuti dari impedansi: $H = E/\eta_{0}$, sehingga $S = E \times H = E^{2}/\eta_{0}$ — satu angka untuk setiap gelombang.

Contoh terpecahkan 1 — membaca angka-angkanya. Gelombang 100 V/m (rms) pada 1 MHz: $B = 100/(3 \times 10^{8}) = 0.333\ \mu$T; panjang gelombang $\lambda = c/f = 300$ m; densitas daya $S = 100^{2}/377 = 26.5$ W/m². Periksa jalur impedansi: $H = 100/377 = 0.265$ A/m, dan $E \times H = 26.5$ ✓ — kedua jalur sesuai karena merupakan rasio yang sama.

Contoh terarah 2 — ekstrapolasi ke kedalaman kulit konduktor. Dalam konduktor baik gelombang meluruh sebagai $e^{-\alpha z}$ dengan kedalaman kulit $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. Tembaga ($\sigma = 5.8 \times 10^{7}$): pada frekuensi 50 Hz, $\delta = \sqrt{2/(2\pi \cdot 50 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.8 \times 10^{7})} = 9.3$ mm; pada frekuensi 1 GHz, ketebalannya menjadi $\delta = 2.1\ \mu$ m — sekitar 4500 kali lebih tipis untuk peningkatan Kesalahan umum. Menggunakan $\delta \propto 1/\sqrt{f}$ dalam medium dielektrik — kecepatan di sana adalah ini menjelaskan mengapa pelindung berfungsi, mengapa arus RF mengalir di permukaan, dan mengapa lintasan PCB pada frekuensi 3 GHz memerlukan tembaga yang lebar dan halus: pada frekuensi 3 GHz arus hanya berada di lapisan atas 1.2 µm, sehingga kekasaran permukaan dan pelapisan di sana menentukan rugi-rugi (pelapisan emas melindungi dari korosi; namun konduktivitasnya lebih buruk daripada tembaga).

Kesalahan umum. Menggunakan $c$ dalam dielektrik — kecepatan di dalamnya adalah $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ (≈ 0.67c pada koaksial di bawah ini). Mencampur $E/H$ (377 Ω dalam Ringkasan. Gelombang bidang: $E/B$, $c$, wave's fields are in phase in a LOSSLESS medium only.

Ringkasan. Gelombang datar: $E \perp B \perp \hat{k}$, $B = E/c$, $S = E^{2}/\eta_{0}$; konduktor menyerap gelombang sebagai $e^{-z/\delta}$ dengan $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$.

Mengapa ini penting. Dua papan pada tautan bangku disambungkan oleh 40 cm dari koaksial; pada 3 GHz itu adalah enam panjang gelombang — bukan lagi sebuah rangkaian, melainkan garis transmisi

Gagasan, dengan gambar. Persamaan telegrafer memperlakukan jalur sebagai induktansi terdistribusi $L'$ dan kapasitansi $C'$ per meter: $\partial v/\partial x = -L'\partial i/\partial t$ dan $\partial i/\partial x = -C'\partial v/\partial t$. Solusinya adalah gelombang tegangan/arus dengan $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$ dan impedansi karakteristik jalur $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$.

Turunan. Turunkan persamaan pertama di $x$ dan persamaan kedua di $t$ lalu hilangkan $\partial^{2}i/\partial x \partial t$: persamaan gelombang untuk $v$ dengan kecepatan $1/\sqrt{L'C'}$. Pada beban $Z_{L}$, pencocokan menghasilkan koefisien pantul $\Gamma = (Z_{L} - Z_{0})/(Z_{L} + Z_{0})$: hubung pendek ($\Gamma = -1$) membalik, terbuka ($\Gamma = +1$) menggandakan tegangan dan membatalkan arus — diagram pantulan melacak setiap pantulan.

1 nH/m dan 316 pF/m: $L' = 250$ nH/m dan $C' = 100$ pF/m: $Z_{0} = \sqrt{250 \times 10^{-9}/100 \times 10^{-12}} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ ✓ (kabel standar — angka-angka ini dipilih agar sesuai); $v_{p} = 1/\sqrt{250 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{8}$ m/s = 0.67c. Tautan meja kerja sepanjang 40 cm dari kabel ini adalah ENAM panjang gelombang pada frekuensi 3 GHz ($\lambda = v_{p}/f = 6.7$ cm) — membuktikan poin "garis, bukan sirkuit" dengan komponen di meja kerja.

Contoh terpecahkan 2 — langkah terbuka. Dorong garis 50 Ω dengan 12 V langkah, terbuka. Gelombang insiden membawa 12 V dan $12/50 = 0.24$ A. Di bagian terbuka, $\Gamma = +1$: refleksi +12 V menggandakan tegangan beban menjadi 24 V dan arus refleksi $-0.24$ A meniadakan arus maju menjadi nol — rangkaian terbuka tidak menarik arus tetap ✓, dan VSWR cenderung tak hingga, tanda rangkaian terbuka adalah gelombang berdiri yang meter baca.

Kesalahan umum. Menggunakan $Z_{0}$ sebagai resistansi fisik (ini adalah rasio; garis 50 Ω tanpa rugi-rugi tidak mendissipasi apa pun). Menghitung $\lambda$ dengan $c$ alih-alih $v_{p}$ (kesalahan 30% pada PTFE). Dan melupakan pantulan sisi sumber: penggerak yang tidak cocok memantulkan kembali, dan diagram pantul harus memasukkannya. memasukkannya.

Ringkasan. $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$, $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$; $\Gamma = (Z_{L}-Z_{0})/(Z_{L}+Z_{0})$; membuka tegangan ganda, hubung singkat membatalkan itu; garis panjang adalah gelombang, dan diagram pantulan adalah pembukuan.

Mengapa hal ini penting. Di atas ~10 GHz koaksial kehilangan terlalu banyak; tautan meja kerja's setiap tautan radio selalu merupakan antena. Ide, dengan gambar. Pipa konduktor berongga membimbing gelombang hanya

di atas frekuensi pemotongan: panduan persegi panjang dominan di atas frekuensi cut-off: panduan persegi panjang yang dominan mode terpotong pada $f_{c} = c/(2a)$ ($a$ = dimensi lebar). Di atas frekuensi pemotongan, panjang gelombang pandu meregang: $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1 - (f_{c}/f)^{2}}$ — gelombang berzigzag, sehingga siklus aksial lebih sedikit muat per meter pipa. Antena menutup tautan: setengah-gelombang siklus muat per meter pipa. Antena menutup tautan: gelombang setengah dipole memiliki penguatan 2.15 dBi dan resistansi input ≈ 73 Ω; yang Persamaan Friis menilai seluruh tautan:

Turunan. Antara pelat pandu, medan harus memuat satu

The derivation. Between the plates of the guide, the field must fit a standing half-wave across $a$: $a = \lambda_{c}/2$ at cutoff, so $f_{c} = c/2a$; menyelesaikan untuk panjang gelombang memberikan rumus penguatan × faktor penyebaran $k_{g}^{2} = k^{2} - (\pi/a)^{2}$ — sebuah rasio luas, yaitu apertur antena terhadap luas bola. gains × the spreading factor $(\lambda/4\pi R)^{2}$ — an area ratio, the antenna aperture over the sphere's area.

Worked example 1 — WR-90 at X-band. WR-90 waveguide has $a = 22.86$ mm: $f_{c} = 3 \times 10^{8}/(2 \times 0.02286) = 6.56$ GHz — X-band (8.2–12.4 GHz) berada di atas frekuensi pemotongan. Pada 10 GHz ($\lambda = 30$ mm): Periksa batasnya: saat $\lambda_{g} = 30/\sqrt{1 - 0.656^{2}} = 39.8$, 33 (gelombang berhenti); Check the limit: as $f \to f_{c}$, $\lambda_{g} \to \infty$ (the wave stops); sebagai $f \to \infty$, $\lambda_{g} \to \lambda$ (zigzag menghilang) ✓.

Contoh terpecahkan 2 — anggaran link bangku. Dua 10-dBi (G = 10) antennas, 1 m apart on the bench, at 3 GHz ($\lambda = 0.1$ m): $P_{r}/P_{t} = 10 \times 10 \times (0.1/(4\pi \times 1))^{2} = 100 \times 6.33 \times 10^{-5} = 6.3 \times 10^{-3}$ — 22 dB kehilangan daya, masih mudah di meja kerja. Skala ke papan yang sama 1 km terpisah: $(0.1/(4\pi \times 1000))^{2} = 6.33 \times 10^{-11}$, kali 100 = $6.3 \times 10^{-9}$ (−82 dB) — anggaran tautan yang menentukan ukuran piringan. Satu rumus, dua skala, dan rasio di antaranya adalah geometri murni ($R^{2}$, faktor dari $10^{6}$ ✓).

Kesalahan umum. Menggunakan dimensi SEMPIT panduan untuk $f_{c}$ (pemotongan ditentukan oleh dimensi lebar). Menerapkan $\lambda_{g}$ seolah-olah itu adalah $\lambda$ dalam Friis (gelombang ruang bebas milik di sana). Dan menyebutkan penguat dipol dalam dB tanpa "i": 2.15 dBi relatif terhadap isotropik; relatif terhadap dipol nilainya nol.

Ringkasan. Panduan: $f_{c} = c/2a$, $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}$ (terentang, tak hingga pada pemotongan). Antena: Friis $P_{r}/P_{t} = G_{r}G_{t}(\lambda/4\pi R)^{2}$ — geometri menentukan suku terakhir setiap saat.