Metode Matematika untuk EE

Ini adalah mata kuliah kedua di Teknik Elektro Universitas: metode matematis** — alat bantu yang menjadi dasar seluruh program gelar. Sirkuit DC 1 hanya memerlukan aljabar; mulai dari sirkuit AC ke atas, setiap metode bergantung pada sesuatu yang diajarkan di sini.

• Unit 2.1–2.3 menyegarkan dan memperluas aljabar: kalkulus untuk sinyal, bilangan kompleks, aljabar linear.
• Unit 2.4–2.6 adalah alat dinamika: persamaan diferensial, transformasi Laplace, deret Fourier.
• Unit 2.7–2.8 menangani keacakan dan medan: probabilitas untuk kebisingan, vektor kalkulus untuk elektromagnetik.

Setiap unit dibuka dengan cerita, menampilkan gambar sebelum ide formal, mendefinisikan istilah secara tepat, menurunkan apa yang dikutip kuliah selanjutnya, mengerjakan dua contoh meningkat yang angkanya diverifikasi mesin, menyebutkan kesalahan klasik, dan ditutup dengan ringkasan tiga baris. Kebiasaan ini sama dengan yang digunakan seluruh gelar: periksa setiap jawaban simbolis secara numerik pada nilai konkret — integral sebagai jumlah, atau penyelesaian sistem melalui substitusi, pasangan transformasi dengan menghitung kedua sisinya.

Jejaring skop naik mulus dari 0 hingga 5 V dan menjadi datar. Arus yang masuk ke kapasitor pada setiap saat bergantung pada seberapa cepat jejaring bergerak — kemiringan — dan muatan yang dikirimkan dalam suatu interval adalah luas di bawah jejaring arus. Sinyal-sinyal merupakan fungsi waktu, dan kalkulus membacanya: turunan $dv/dt$ adalah kemiringan — laju perubahan instan; integral $\int i\,dt$ adalah akumulasi luas.

Untuk pekerjaan EE ke depan, tiga fakta melakukan sebagian besar tugas:

• Turunan dari $e^{at}$ adalah $a\cdot e^{at}$ — laju eksponensial adalah dirinya sendiri slope.
• Integral dari pulsa persegi panjang (tinggi $A$, lebar $τ$) adalah luas $Aτ$.
• Luas segitiga adalah setengah persegi panjang pembatasnya — dan $\int_0^\infty A e^{-t/τ}\,dt = Aτ$ (eksponensial meluruh selama waktu konstan, sehingga "lebar efektif" adalah $τ$).

Menurunkan kemiringan sendiri $e^{at}$. Definisi limit: $\frac{d}{dt}e^{at} = \lim_{h\to 0}\frac{e^{a(t+h)} - e^{at}}{h} = e^{at}\lim_{h\to 0}\frac{e^{ah} - 1}{h} = e^{at}\cdot a$ — faktor eksponensial keluar dari hasil bagi selisihnya sendiri, yang merupakan alasan utama mengapa rangkaian yang berubah sesuai $e^{at}$ tetap begitu di bawah diferensiasi.

Contoh terlatih 1 (ramp linear, diverifikasi). Kapasitor mengisi secara linear dari 0 ke 5 V dalam 2 s ($v = 2.5t$): dengan $C = 100\ \mu F$, $i = C\,dv/dt = 100\mu \times 2.5 = 250\ \mu A$ — konstan, karena kemiringan ramp konstan. Muatan yang disalurkan adalah $\int i\,dt = 250\mu \times 2 = 500\ \mu C$, yang juga sama dengan $C \times \Delta V = 100\mu \times 5$. Dua metode, satu jawaban — itulah kebiasaan pengecekan.

Contoh terpecahkan 2 (denyut eksponensial, ditingkatkan). Denyut sensor meluruh sebagai $i(t) = 5 e^{-t/0.2}$ mA (puncak 5 mA, waktu konstan $τ = 0.2$ s). Total muatan adalah luas $\int_0^\infty 5e^{-t/0.2} dt = 5 \times 0.2 = 1.0$ mC — aturan " lebar efektif" sedang bekerja. Kemiringan puncak berada di $t = 0$: $\frac{di}{dt} = -\frac{5}{0.2} = -25$ mA/s. Periksa dengan penjumlahan kasar: satu persegi panjang dengan tinggi 5 mA sepanjang lebar 0.2 s memberikan 1.0 mC yang sama persis — yang bukan kebetulan tetapi merupakan makna dari $τ$.

Kesalahan umum. Mendiferensiasikan nilai ramp alih-alih kemiringannya (tegangan konstan 5 V tidak berarti arus konstan — hanya kemiringan konstan yang demikian). Melupakan bahwa integrasi memiliki tanda: area di bawah sumbu dikurangkan. Melepas satuan di dalam integral ($\mu A \times s = \mu C$, selalu).

Ringkasan: turunan = kemiringan, integral = area bertanda; eksponensial adalah kemiringannya sendiri; kemiringan; luas denyut adalah tinggi × lebar efektif ($τ$ untuk peluruhan eksponensial) — dan setiap jawaban memiliki satuan.

Tegangan AC adalah 230 V dan beberapa fase — satu angka tidak dapat memuat keduanya, tetapi sebuah titik pada bidang dapat. Angka kompleks $z = a + jb$ (dengan $j^{2} = -1$) memiliki bagian real bagian, bagian imajiner, modulus $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dan sebuah argumen $θ = \text{atan2}(b, a)$. Kedua bentuk ini dapat saling ditukar:

— Identitas Euler, jembatan yang digunakan EE di mana saja. Perkalian menambahkan argumen: $r_{1}e^{jθ_{1}} \cdot r_{2}e^{jθ_{2}} = r_{1}r_{2} e^{j(θ_{1}+θ_{2})}$ — sebuah rotasi dan perbesaran, yang persis seperti pergeseran fase dan perubahan amplitudo pada gelombang sinus.

Contoh terpecahkan 1 (membagi dua fasor, diverifikasi dengan invers). Bagi $6\angle 30^{\circ}$ oleh $2\angle 80^{\circ}$: dalam bentuk polar jawabannya adalah $3\angle -50^{\circ}$ langsung — modulus dibagi, argumen dikurangkan. Melakukan hal yang sama dalam bentuk rektangular berarti merasionalkan $(5.196 + j3)/(0.347 + j1.970)$ — mungkin, tetapi jalur polar adalah alasan mengapa EE bekerja pada fasor. Pengecekan ketiga: $3\angle -50^{\circ} \times 2\angle 80^{\circ} = 6\angle 30^{\circ}$ — operasi invers harus mengembalikan nilai awal.

Contoh terpecahkan 2 (kuadratik dengan akar kompleks, ditingkatkan). Peredaman $s^{2} + 2s + 5 = 0$. Dalam bentuk polar, setiap akar adalah $s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm j2$. Dalam bentuk polar, akar-akarnya adalah pasangan konjugat $2.236\angle \pm 116.6^{\circ}$ (modulus $\sqrt{1+4} = 2.236$). Periksa dengan substitusi: $(-1+j2)^{2} + 2(-1+j2) + 5 = (-3 - j4) + (-2 + j4) + 5 = 0$ tepat. Akar-akarnya' bagian real $-1$ adalah laju peluruhan dan bagian imajiner $2$ rad/s adalah frekuensi getaran frekuensi — satu bilangan kompleks yang membawa kedua perilaku ini, sehingga alasan mengapa sisa dari derajat tetap menyatukannya.

Kesalahan umum. Menjumlahkan modulus alih-alih menjumlahkan bilangan kompleks (modulus tidak tidak ditambahkan; bagian persegi panjang tidak). Menggunakan derajat di dalam $e^{jθ}$ rumus yang mengasumsikan radian. Membingungkan arah rotasi $j$: mengalikan dengan $j$ memutar $+90°$, dengan $-j$ memutar $-90°$.

Ringkasan: dua bentuk, satu angka — persegi panjang untuk penjumlahan, polar untuk perkalian dan pembagian; identitas Euler adalah jembatan; akar kuadrat membawa peluruhan pada bagian real dan frekuensi pada bagian imajiner.

Three mesh currents in a coupled circuit mean three equations in three unknowns — dan struktur solusinya bukan "substitusi cerdas" melainkan matriks. Sebuah sistem linear $Ax = b$ diselesaikan dengan eliminasi; invers matriks $A^{-1}$ hanya ada jika determinan tidak nol. Untuk kasus 2×2:

Determinan $ad - bc = 0$ berarti persamaan tersebut singular — tidak ada solusi unik dan dalam rangkaian, ini menunjukkan loop sumber tergantung atau node terapung.

Menurunkan invers 2×2. Kalikan $A$ dengan kandidat: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = I$ — pola tukar-negasi ada persis karena suku silang itu saling menghilangkan. suku silang saling meniadakan.

Contoh terpecahkan 1 (eliminasi dan inversi setuju). Selesaikan $x + 2y = 8$, $3x + y = 9$. Eliminasi: kurangi 3×baris1 dari baris2 → $-5y = -15$, sehingga $y = 3$, $x = 2$. Periksa dengan invers: det $= 1\cdot1 - 2\cdot3 = -5$; $A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$; $x = (1\cdot8 - 2\cdot9)/{-5} = 2$ ✓, $y = (-3\cdot8 + 1\cdot9)/{-5} = 3$ ✓. Keduanya rute saling sesuai; masing-masing merupakan pengecekan dari yang lain.

Contoh terpecahkan 2 (sistem jaring, diselesaikan mesin, ditingkatkan). Rangkaian dua-jaring EE01 menutup sebagai satu persamaan matriks $\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i_A \\ i_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix}$. Eliminasi (atau invers; det $= 60 - 16 = 44$) menghasilkan $i_A = 2.455$ A, $i_B = 0.682$ A — diverifikasi dengan substitusi ke dalam kedua persamaan asli hingga presisi mesin. Nilai negatif entri off-diagonal $-4$ adalah resistor bersama yang berbicara: coupling muncul sebagai istilah off-diagonal, dan semakin besar coupling, semakin jauh determinan berada dari hasil kali diagonal. Sekarang kasus singular: $x + 2y = 8$, $2x + 4y = 16$ memiliki determinan $1\cdot4 - 2\cdot2 = 0$ — persamaan kedua adalah tepat dua kali persamaan pertama (seluruh garis solusi, bukan satu titik).

Kesalahan umum. Mencampur urutan baris antara $A$ dan $b$. Menganggap bahwa kemudahan. Melupakan bahwa sistem singular dapat memiliki tidak ada solusi (bidang sejajar) atau tak terhingga banyak (bidang bergantung): determinan tidak dapat memberi tahu yang mana. yang.

Ringkasan: $Ax = b$ dengan det ≠ 0 memiliki tepat satu solusi; eliminasi menghitungnya, kebalikannya menurunkan kembali, dan substitusi memverifikasinya; kopling hidup di dalam off-diagonal; det = 0 berarti geometri runtuh.

Sakelar menutup pada $t = 0$ dan tegangan kapasitor meluncur menuju nilai barunya — gelombang 1's RC responsi adalah satu contoh dari pola yang membuat unit ini umum. The persamaan rangkaian adalah persamaan diferensial biasa. Orde pertama ODE linear dengan koefisien konstan,

memiliki solusi = bagian homogen $Ce^{-at}$ + bagian partikular dipaksa oleh $f$. Suku homogen membawa kondisi awal.

Mengapa solusinya memiliki bentuk ini. Untuk $\frac{dy}{dt} = -a(y - y_\infty)$, tuliskan ulang sebagai $\frac{dy}{y - y_\infty} = -a\,dt$: setiap sisi kini dapat diintegralkan, menghasilkan $\ln(y - y_\infty) = -at + C$, yaitu $y - y_\infty = \tilde C e^{-at}$. Jarak ke nilai akhir meluruh secara eksponensial — setiap sistem orde pertama meluncur turun sepanjang kurva persentasenya masing-masing.

Contoh terkerjakan 1 (RC bertahap-diselesaikan, periksa titik akhir). $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. Homogen: $Ce^{-2t}$. Partikular (input konstan → output konstan): $y_{p} = 10/2 = 5$. Jadi $y = 5 + Ce^{-2t}$; $y(0) = 5 + C = 1$ memberikan $C = -4$: $y = 5 - 4e^{-2t}$. Pengecekan: pada $t = 0$, $y = 1$ ✓; saat $t \to \infty$, $y \to 5$ dan $dy/dt \to 0$, sehingga persamaan berbunyi $0 + 2(5) = 10$ ✓. Ini adalah Persamaan RC dari unit 1.7 dalam bentuk umum — metode, bukan sirkuitnya, yang menjadi fokus dipelajari dalam kursus ini.

Contoh terpecahkan 2 (input meluruh, diverifikasi mesin, ditingkatkan). Pecahkan $\frac{dy}{dt} + 3y = 6e^{-t}$, $y(0) = 2$. Coba $y_p = ke^{-t}$ tertentu: $-ke^{-t} + 3ke^{-t} = 2ke^{-t} = 6e^{-t}$ menghasilkan $k = 3$. Maka $y = 3e^{-t} + Ce^{-3t}$; $y(0) = 3 + C = 2$ gives $C = -1$: $y = 3e^{-t} - e^{-3t}$. Periksa pada $t = 0.5$: $y = 3(0.6065) - 0.2231 = 1.596$. Substitusikan ke sisi kiri: $dy/dt + 3y = -1.150 + 3(1.596) = 3.639$, dan sisi kanan adalah $6e^{-0.5} = 3.639$ — setara dengan presisi mesin. Respons mengikuti dua eksponensial, yaitu $(-1)$ input dan $(-3)$ sistem.

Kesalahan umum. Memecahkan persamaan homogen dan melupakan bagian partikular sepenuhnya. Membiarkan kondisi awal memilih $k$ dalam tebakan partikular (hanya konstanta homogen yang bebas). Memeriksa hanya $t = 0$: juga periksa batas besar-$t$, di mana persamaan harus seimbang dengan $dy/dt \approx 0$.

Ringkasan: homogen + partikular; kondisi awal memilih dari keluarga; pemisahan variabel menjelaskan bentuk eksponensial; pengecekan titik akhir di kedua ujung bersifat opsional.

Memecahkan ODE secara manual cukup untuk satu persamaan; sebuah sirkuit dengan tiga elemen penyimpanan memerlukan tiga. Transformasi Laplace mengubah diferensiasi menjadi perkalian dengan $s$, mengonversi seluruh sistem menjadi aljabar:

Mengekstrak pasangan kunci. $\int_0^\infty e^{at}e^{-st}dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{{s-a}$ (for $}\text{Re}\,s > a$) — eksponensial menelan meninggalkan kutub sederhana. Satu perhitungan tunggal ini menghasilkan sebagian besar tabel. tabel tersebut.

Tiga aturan kerja: $\mathcal{L}\{dy/dt\} = sY - y(0)$ (kondisi awal masuk secara aljabar); $\mathcal{L}\{1\} = 1/s$; dan pecahan parsial memecah rasional $F(s)$ menjadi bagian-bagian yang dapat ditransformasikan balik.

Contoh terpecahkan 1 (ODE unit-2.4, melalui transformasi). Selesaikan $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. Ditransformasi: $sY - 1 + 2Y = 10/s$, sehingga $Y = (10/s + 1)/(s + 2) = 10/[s(s+2)] + 1/(s+2)$. Partial fractions: $10/[s(s+2)] = 5/s - 5/(s+2)$. Jadi $Y = 5/s - 4/(s+2)$, dan mengonversinya suku demi suku: $y = 5 - 4e^{-2t}$ — identik ke jalur klasik, dengan kondisi awal ditangani melalui pembukuan alih-alih aljabar di akhir. Kutub dari $Y$ (di sini $s = 0, -2$) memprediksi perilaku: sebuah konstanta dan eksponensial yang meluruh.

Contoh dikerjakan 2 (orde kedua, diverifikasi mesin, ditingkatkan). $\frac{d^2y} {dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$. Transform: $(s^{2} + 3s + 2)Y = s + 3$ (aturan turunan diterapkan dua kali), sehingga $Y = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}$. Invert: $y = 2e^{-t} - e^{-2t}$. Checks: $y(0) = 2 - 1 = 1$ ✓; $y'(0) = -2 + 2 = 0$ ✓; $y(1) = 0.736 - 0.135 = 0.600$ (machine-verified). The two poles $-1, -2$ adalah dua peluruhan, dengan kutub lambat $-1$ yang mendominasi ekor — pengamatan bahwa kursus yang lebih lanjut berubah menjadi pendekatan kutub dominan. kursus berubah menjadi pendekatan kutub dominan.

Kesalahan umum. Melupakan $-y(0)$ dalam aturan turunan (dan sepupu orde keduanya $-y'(0) - s\,y(0)$). Membalik $Y$ yang pecahannya tidak terpisah sepenuhnya: $\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ harus menjadi dua bagian sederhana sebelum setiap menurun). peluruhan).

Ringkasan: diferensiasi → perkalian dengan $s$, nilai awal termasuk; pecahan parsial memecah $Y$; kutub memprediksi perilaku waktu; transformasi dan rute klasik harus sepakat — kesepahaman itulah pengujianya.

Gelombang listrik utama yang terdistorsi memanaskan resistor sama persis seperti kombinasi sinusoid murni tertentu — dan kombinasi mana itu bukan tebakan melainkan perhitungan. Setiap sinusoid akan — dan kombinasi mana yang bukan tebakan melainkan komputasi. Any sinyal periodik adalah jumlah sinusoid. Untuk periode $T$, fundamental $ω_{0} = 2π/T$, deret Fourier adalah

dengan setiap $a_{n}$, $b_{n}$ rata-rata dari $f$ terhadap sinusoid yang sesuai sehingga setiap koefisien dapat dipilih secara independen, seperti bank filter yang disetel). sehingga setiap koefisien dapat dipilih secara independen, seperti bank filter penyetel).

Contoh terarah 1 (gelombang persegi, diverifikasi pada titik ajaib). Gelombang persegi, ±1, periode $T$, simetri ganjil: semua $a_{n} = 0$, dan $b_{n} = 4/(nπ)$ untuk ganjil $n$ — seri $\frac{4}{\pi}(\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \dots)$. The check that convinces: at $t = T/4$ jumlah harus menghasilkan 1, dan $\frac{4}{\pi}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots)$ adalah deret Gregory untuk $π/4$ yang diskalakan — ia konvergen ke 1, sama persis dengan gelombang persegi menuntut. Setiap amplitudo harmonik menurun sebanding dengan $1/n$: tepi yang lebih tajam memerlukan lebih banyak harmonik, yang merupakan inti dari penyaringan.

Contoh terpecahkan 2 (daya pada harmonik, diverifikasi mesin, ditingkatkan). Gelombang persegi ±1 V melintasi 1 Ω menghasilkan daya rata-rata 1 W (rata-rata dari konstanta besar). Teorema Parseval menyatakan bahwa daya harmonik harus berjumlah menjadi 1 W yang sama: $\sum_{n\ \text{odd}} \frac{1}{2}\big(\frac{4}{n\pi}\big)^{2} = \frac{8}{\pi^{2}} \big(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots\big)$. Menjumlahkan 20 harmonik ganjil pertama menghasilkan 0.990 W; deret penuh konvergen tepat ke 1 W (jumlah dari kebalikan kuadrat ganjil adalah $π^{2}/8$, menjadikan totalnya $\frac{8}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8} = 1$). Implikasi praktisnya: hanya harmonik fundamental saja yang membawa $\frac{8}{\pi^{2}} \approx 81\%$ dari daya — sebuah filter low-pass yang hanya mempertahankan harmonik pertama tetap menghantarkan sebagian besar energi, dan harmonik ketiga dengan amplitudo 1/3 hanya menambahkan 9%.

Kesalahan umum. Menggunakan $1/T$ (hertz) alih-alih $ω_0 = 2π/T$ (rad/s) sebagai fundamental fundamental. Melupakan $\frac{1}{2}$ dalam daya setiap harmonik (kuadrat rata-rata dari sinusoid adalah setengah dari kuadrat puncaknya). Mengasumsikan simetri genap di mana-mana: geser titik asal dan koefisiennya berubah — spektrum milik fungsi sesuai dengan penempatannya.

Ringkasan: sinyal periodik terurai menjadi harmonik; ortogonalitas memilih setiap koefisien secara independen; amplitudo turun sebagai $1/n$ di tepi; Parseval memeriksa daya; overshoot Gibbs tidak pernah hilang.

Setiap pengukuran bising; bising itu sendiri adalah sinyal yang tidak bisa diprediksi — tetapi Luas sama, sebaran berbeda: σ menentukan lebar variabel acak memiliki distribusi probabilitas; Gaussian (normal) $N(\mu, \sigma^{2})$ memodelkan kebisingan termal:

Ekspektasi $E[X]$ adalah rata-rata jangka panjang; variansi $Var(X) = E[X^{2}] - \mu^{2}$ adalah sebaran, dan $\sigma$ — simpangan baku — adalah amplitudo kebisingan yang ditunjukkan osiloskop. Dua aturan melakukan deviasi** — adalah amplitudo kebisingan yang ditampilkan oleh osiloskop. Dua aturan melakukan sebagian besar pekerjaan: varians independen ditambahkan ($\sigma_{total} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$), and the average of $n$ sampel independen memiliki simpangan baku $\sigma/\sqrt{n}$.

Contoh terpecahkan 1 (aturan 2σ dan rata-rata). Untuk $X \sim N(0, \sigma^{2})$ dengan $\sigma = 2$ mV: $E[X] = 0$, $Var = 4$ (mV)², $\sigma = 2$ mV. Peluang melebihi $\pm 2\sigma$ adalah 4.55% (pita dua-arah 95% adalah $\pm 1.96\sigma \approx \pm 3.9$ mV). Averaging 16 independent samples yields $2/\sqrt{16} = 0.5$ mV noise — seluruh rasionalisasi averaging instrumen.

Contoh terpecahkan 2 (dua sumber noise, perhitungan dB, meningkat). Penguat tahap menambahkan 2 mV noise ke sinyal yang sudah membawa 3 mV dari tahap sebelumnya tahap. Gabungan kebisingan bukan $3 + 2 = 5$ mV tetapi $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} = 3.61$ mV — varians yang dijumlahkan, bukan simpangan baku, sehingga sumber yang lebih kecil berkontribusi proporsional lebih sedikit daripada nilainya yang tampak. Peningkatan rasio sinyal-terhadap-noise dari averaging tersebut 16 pembacaan: $20\log_{10}(4) = 12.0$ dB. Pembacaan desain: enam belas pembacaan membeli 12 dB, dan setiap 6 dB tambahan membutuhkan empat kali lebih banyak pembacaan (dan empat kali waktu pengukuran); memperbaiki sumber kebisingan dominan di sumbernya tidak memerlukan waktu pengukuran — mengurangi setengah dari 3 mV menjadi 1.5 mV akan menghasilkan $\sqrt{1.5^{2} + 2^{2}} = 2.5$ mV, peningkatan 3.2 dB pada setiap pembacaan tunggal.

Kesalahan umum. Menambahkan simpangan baku alih-alih varians. Membingungkan $\sigma$ dan $\sigma^{2}$ dalam tabel dan rumus (osiloskop menunjukkan σ; rumus umumnya menggunakan σ²). Melupakan bahwa peningkatan $\sigma/\sqrt{n}$ mengasumsikan ketergantungan—kebisingan berkorelasi (dengungan listrik) tidak hilang dengan perataan.

Ringkasan: distribusi Gaussian adalah model kebisingan; σ adalah kebisingan osiloskop; varians independen ditambahkan, perataan membagi σ dengan √n; hadapi sumber dominan, lalu ratakan.

Probe tegangan melaporkan satu angka di setiap titik ruang—sebuah lanskap lengkap dari nilai, dan persamaan Maxwell EE07 merupakan pernyataan tentang geometri lanskap tersebut. Medan adalah fungsi bernilai vektor berdasarkan posisi. Tiga operator pada sebuah geometri. Medan adalah fungsi bernilai vektor terhadap posisi. Tiga operator pada medan $\mathbf{F}$:

• Gradien $\nabla V$: mengarah ke lereng paling curam dari skalar; nilai medan listrik merupakan $E = -\nabla V$.
• Divergensi $\nabla \cdot \mathbf{F}$: aliran bersih keluar per satuan volume — rapat muatan untuk medan listrik.
• Curl (Pusingan) $\nabla \times \mathbf{F}$: sirkulasi per satuan area — nol untuk elektrostatika, mekanisme induksi di mana hal itu tidak terjadi.

Contoh terpecahkan 1 (gradien memprediksi penurunan, diverifikasi secara numerik). $V(x, y) = 3x^{2}y$ volt. $\nabla V = (6xy, 3x^{2})$; pada titik $(1, 2)$: $\nabla V = (12, 3)$, sehingga $E = -(12, 3)$ V/m. Pengecekan: gerakkan langkah kecil $\delta = (0.01, 0)$ dari $(1, 2)$ — $V$ berubah sebesar $\approx 6xy\cdot\delta x = 12 \times 0.01 = 0.12$ V, and $-E\cdot\delta = 12 \times 0.01 = 0.12$ V: tubuh sekaligus langkah memprediksi penurunan potensial, yang merupakan arti gradien.

Contoh terpecahkan 2 (divergensi dan curl secara manual, peningkatan tingkat). Untuk $\mathbf{F} = (x^{2},\ xy,\ 3x^{2}z)$: $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + x + 3x^{2}$, yang pada $(1,1,1)$ bernilai $2 + 1 + 3 = 6$ — sumber bersih. Untuk medan berputar $\mathbf{G} = (-y,\ x,\ 0)$: komponen $z$-dari curl adalah $\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ — benda berputar pada 2 rad/s, yang curl-nya dua kali kecepatan sudutnya. Kedua perhitungan ini adalah versi titik-titik dari berputar pada 1 rad/s, yang curl-nya dua kali kecepatan sudutnya. Kedua perhitungan ini merupakan versi titik-titik dari hukum Gauss dan Stokes EE07.

Kesalahan umum. Mengambil gradien dari vektor atau divergensi dari membalik rotasi. Medan seragam memiliki nol divergensi DAN nol curl. komponen $z$ adalah $\partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y$; membaliknya membalikkan rotasi. Medan seragam memiliki divergensi DAN curl nol.

Ringkasan: gradien paling curam (skalar→vektor), divergensi adalah aliran bersih keluar (vektor→skalar), curl adalah sirkulasi (vektor→vektor); satu langkah harus menyelaraskan $E \cdot \delta$ dengan $\delta V$.