Sinyal dan Sistem

Ini adalah kursus keenam dalam Teknik Elektro Universitas: sinyal dan sistem**. EE04 bertanya "apa yang DILAKUKAN SIKAT INI pada FREKUENSI INI"; kursus ini mengajukan pertanyaan yang lebih mendalam: apa yang dilakukan sistem terhadap INPUT APA PUN — dijawab melalui tiga transformasi (konvolusi, Fourier, z) yang seluruh gelar (komunikasi, DSP, kontrol) dibangun di atasnya.

• Unit 6.1 mengklasifikasikan sinyal dan sistem.
• Unit 6.2 menjadikan konvolusi sebagai jawaban universal domain waktu.
• Unit 6.3–6.4 berpindah ke frekuensi: deret/fourier transform dan sampling.
• Unit 6.5 menggunakan mesin Laplace dari EE02 sebagai fungsi sistem.
• Unit 6.6–6.7 masuk diskrit: persamaan beda dan transformasi z.

Alur cerita adalah satu saluran audio: sinyal mikrofon, filter, sampler, equalizer digital. Setiap transformasi di bawah ini memajukan saluran tersebut, dan setiap jawaban diverifikasi seperti cara seorang insinyur sinyal memverifikasinya— dengan menurunkan pasangan transformasi setidaknya sekali, memverifikasi setiap konvolusi secara dua cara (grafis dan melalui hasil perkalian Fourier jika tersedia), dan menguji setiap hasil diskrit secara iterasi langsung.

Mengapa hal ini penting. "Apakah ini linear? Apakah invarian waktu?" adalah dua pertanyaan pertama dari setiap analisis dalam kursus ini—jawaban menentukan mana dari seluruh mekanisme yang bahkan diperbolehkan digunakan.

Ide tersebut, dengan gambar. Sinyal adalah fungsi waktu: waktu-berkelanjutan $x(t)$ atau waktu-diskrit $x[n]$. Sistem memetakan sinyal masuk ke sinyal keluar. Empat sifat membawa kursus ini, dan masing-masing adalah tes yang Anda jalankan pada SATU input yang dipilih dengan cermat, bukan perasaan:

• Linearitas: $ax_{1} + bx_{2} \to ay_{1} + by_{2}$ — masukkan jumlah, periksa jumlah dari output.
• Invarian waktu: geserkan input sebesar $T$; output harus bergeser tepat $T$ dan tidak lebih.
• Kausalitas: output pada waktu $t$ hanya bergantung pada $x$ hingga $t$.
• Stabilitas BIBO BIBO: setiap input terbatas menghasilkan output terbatas; untuk sistem LTI hal ini menyederhanakan menjadi $\int |h(t)|\,dt < \infty$ — respons impuls harus mutlak dapat diintegralkan.

Penurunan. Invariansi waktu gagal ketika skala waktu sistem berubah: untuk $y(t) = x(2t)$, menggeser input sebesar $T$ menghasilkan $y_{shift}(t) = x(2t - T) = x(2(t - T/2))$ — keluaran adalah output asli sistem yang tertunda hanya $T/2$. Membandingkan "geser lalu sistem" ($x(t-T) \to y(t)$ pada argumen $2t$, yaitu $x(2t - T)$) terhadap "sistem lalu geser" ($y(t - T) = x(2t - 2T)$) mengungkap ketidakcocokan setiap kali ada — perbandingan ITU ADALAH ujiannya.

Contoh terkerjakan 1 — jebakan penskalaan waktu. Apakah $y(t) = x(2t)$ $x(t) = u(t)$; sistem-lalu-geser menghasilkan $x(t-1) = u(t-1) \to u(2t-1) = u(t - \tfrac{1}{2})$. Geser setengah versus penuh — bergantung waktu ✓. Kompander dalam saluran audio berjalan (sebuah $y(t-1) = u(2(t-1)) = u(t-1)$× berubah terhadap waktu ✓. Tahap pemutaran cepat 2× dalam saluran audio berjalan gagal dengan cara ini persis.

Contoh terpecahkan 2 — stabilitas melalui integral. Gema ruangan saluran model $h(t) = e^{-t}u(t)$: $\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 < \infty$ ✓ stabil. Filter yang sama dengan $h(t) = u(t)$ (sebuah pengintegrasi) menghasilkan $\int_{0}^{\infty} 1\,dt = \infty$ — input anak panak terbatas menghasilkan output ramp tak terbatas, sehingga integrator tidak BIBO-stabil bagaimanapun aman pun ia Satu integral, satu putusan.

Kesalahan umum. Menguji linearitas dengan satu input (Anda memerlukan dua, plus skala). Menyatakan invariansi waktu dari sebuah diagram (jalankan uji geser). Dan mengacaukan kausalitas dengan stabilitas: $h(t) = e^{-t}u(t)$ keduanya, tetapi $h(t) = -e^{t}u(-t)$ (antikausal, meluruh) stabil dan TIDAK causal — kedua sifat tersebut saling bebas.

Ringkasan. Linearitas + invariansi waktu membuka convolution; kausalitas mengurutkan sebab dan akibat; stabilitas BIBO adalah $\int|h| < \infty$. Setiap sifat merupakan eksperimen satu probe.

Mengapa hal itu penting. Convolution adalah SATU rumus yang memberikan output dari sistem linear invarian waktu apa pun ke INPUT apa pun — tanpa transform, tanpa fungsi transfer, hanya respons impuls dan sebuah integral.

Gagasan, dengan gambar. Untuk sistem linear invarian waktu respons impuls $h(t)$ menentukan semuanya: dekomposisi input menjadi impuls tertunda dan diskalakan; setiap impuls $\delta(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau$ menghasilkan $h(t-\tau)$ yang diskalakan; superposisi mengintegrasikan semuanya:

Konvolusi adalah geser–kali–integralkan: balikkan $h$, geserkan melewati $x$, dan setiap nilai output adalah area tumpang tindih.

Penurunan rumus. Sifting (penyaringan): $x(t) = \int x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau$. Linearitas memindahkan integral ke luar; invariansi waktu mengubah $\delta(t-\tau) \to h(t-\tau)$; hasilnya adalah integral konvolusi — tiga sifat, satu rumus.

Contoh terpecahkan 1 — respons langkah klasik. Filter saluran $x(t) = u(t)$ menjadi $h(t) = e^{-t}u(t)$: untuk $t \ge 0$ tumpang tindihnya adalah $\tau \in [0, t]$, jadi

Periksa ujung-ujungnya: $y(0) = 0$ ✓ (tidak ada output sebelum input tiba); $y(\infty) = 1$ ✓ (penguatan DC 1 — dan memang benar $H(0) = 1$). Pada $t = 1.5$, $y = 1 - e^{-1.5} = 0.777$ — area tumpang tindih yang diarsir pada gambar.

Contoh terpecahkan 2 — tingkatkan ke pulsa. Sekarang sebuah persegi panjang selama 2 detik input dengan tinggi 1 (nada yang ditahan) ke filter yang sama. Dua titik pengecekan oleh superposisi: langkah ON pada $t=0$ ditambah langkah OFF pada $t=2$, sehingga $y(t) = (1 - e^{-t})u(t) - (1 - e^{-(t-2)})u(t-2)$. Pada $t = 1$: $1 - e^{-1} = 0.632$. Pada $t = 3$: $(1 - e^{-3}) - (1 - e^{-1}) = e^{-1} - e^{-3} = 0.318$ — ekor pelepasan. Periksa puncaknya pada $t = 2^-$: $1 - e^{-2} = 0.865$, dan pada $t = 2^+$ suku kedua mengurangi tepat awal mulanya, sehingga kurva kontinu dengan kemiringan diskontinuitas $-1$ — patahan yang didengar telinga sebagai akhir nada.

Kesalahan umum. Melupakan pembalikan (konvolusi TIDAK $\int x(\tau)h(\tau)\,d\tau$). Melepaskan batas ketika sinyal dimulai pada 0 (jendela tumpang tindih, bukan $(-\infty,\infty)$, yang melakukan tugasnya). Dan menganggap $x * h = x \cdot h$ — perkalian adalah apa yang terjadi di domain FREKUENSI, tidak pernah di domain waktu.

Ringkasan. $y = x * h$; balik, geser, integralkan; lebar bertambah ($W_{1} + W_{2}$); komutatif; kaskade mengonvolusikan. Setiap transformasi selanjutnya ada untuk menghindari integral ini.

Mengapa hal ini penting. Kebisingan saluran, harmoniknya, equalizer pita — semuanya berada dalam frekuensi. Transformasi Fourier adalah jembatan, dan sifat konvolusi-ke-perkaliannya adalah alasan mengapa filter dirancang di sana.

Gagasan, dengan gambar. Sinyal periodik meluas menjadi harmonis (deret EE02'); Transformasi Fourier memperluas ide ini ke sinyal aperiodik:

Konvolusi dalam waktu menjadi perkalian dalam frekuensi: $Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)$ — sifat yang seluruh mata pelajaran bergantung padanya. on.

Turunan. Untuk pulsa persegi panjang dengan amplitudo $A$ dan lebar $\tau$ terpusat pada 0:

fungsi sinc. Pada $\omega = 0$, transformasi sama dengan LUAS $A\tau$ (dan $\mathrm{sinc}(0) = 1$ mengembalikannya ✓); null pertama terletak pada $\omega\tau/2 = \pi$, yaitu $f = 1/\tau$ — trade-off waktu–bandwidth .

Contoh terpecahkan 1 — anggaran pulsa saluran. Sebuah klik 1 ms ($A = 1$, $\tau = 10^{-3}$ s): $X(f) = 10^{-3}\,\mathrm{sinc}(f \cdot 10^{-3})$, null pertama pada $f = 1$ kHz. Klik sepuluh kali lebih pendek (0.1 ms) mendorong null ke 10 kHz — semakin pendek peristiwa, semakin lebar spektrumnya, yang menjelaskan mengapa sebuah klik mengganggu setiap pita equalizer sekaligus. Periksa area: nilai pada $f = 0$ adalah $A\tau$ — $10^{-3}$ untuk klik 1 ms dan $10^{-4}$ untuk klik 0.1 ms ✓; klik yang lebih pendek memasukkan lebih sedikit ke setiap pita tetapi menyebarkannya ke sepuluh kali lebih banyak pita.

Contoh terpecahkan 2 — tingkatkan harga filter ideal. Saluran menginginkan low-pass tembok bata: gain 1 hingga 4 kHz, 0 di atasnya. Respons impulnya adalah transformasi invers dari persegi panjang pita lulus: respons adalah invers transformasi dari persegi passband: $h(t) = \frac{\sin(\omega_{c}t)}{\pi t}$ kHz — sebuah sinc dalam WAKTU, meregang tak terbatas ke kedua $f_{c} = 4$ kHz — sebuah sinc di WAKTU, meregang tak hingga dalam kedua arah, sehingga filter ideal bersifat non-kausal. Potong menjadi $|t| \le 5$ ms (jendela 10 ms) dan penguatan passband akan berombak (Gibbs), dengan riak sekitar $1/(10\ \text{ms}) = 100$ Hz jaraknya, dan tepinya tidak bisa lebih tajam daripada sekitar 100 Hz itu sendiri. Kompromi ini jujur: kemiringan dalam domain frekuensi dibayar dengan panjang di domain waktu, hukum yang sama dari sisi lain.

Kesalahan umum. Menilai $\mathrm{sinc}$ pada $\omega$ alih-alih $\omega\tau/2$ (argumen tak berdimensi, selalu). Melupakan $1/2\pi$ pada inversnya. Dan membaca $|X(\omega)|$ sebagai "sinyal" — transformasi lengkap hanya dengan fasenya.

Ringkasan. Pasangan transformasi melalui integral; pulsa ↔ sinc dengan nol pada $1/\tau$; konvolusi ↔ perkalian. Kemiringan di satu domain adalah panjang di domain lainnya.

Mengapa ini penting. Saluran menjadi digital di satu titik: sampler. Semua hal di hilir — ekuialisator, penyimpanan, rekonstruksi — mewarisi apa pun yang dilakukan oleh langkah sampling, dan tidak dapat pernah dikembalikan setelah itu.

Ide tersebut, dengan gambar. Sampling mengalikan sinyal dengan rangkaian impuls; dalam domain frekuensi, spektrum direplikasi pada kelipatan $f_{s}$. Kriteria Nyquist: sinyal yang terbatas pita hingga $f_{max}$ dapat dipulihkan sempurna jika $f_{s} > 2f_{max}$. Di bawah itu, replikasi saling tumpang tindih dan aliasing melipat frekuensi tinggi ke dalam pita sebagai rendah palsu.

Penurunan rumus. Output sampler $x_{s}(t) = x(t)\sum_{n}\delta(t - nT)$ memiliki, melalui konvolusi ke- perkalian (perkalian dalam waktu = konvolusi dalam frekuensi), spektrum $(1/T)\sum_{k} X(\omega - k\omega_{s})$ — replika pada setiap kelipatan frekuensi sampel. Jika $X$ menempati $|\omega| < \omega_{s}/2$, replika tidak pernah bersentuhan; setiap yang lebih sempit tumpang tindih dengannya, dan di dalam area tumpang tindih ini tidak ada filter yang dapat membedakan frekuensi rendah sejati dari frekuensi tinggi yang terlipat.

Contoh terpecahkan 1 — aliasing 4 kHz. Kosinus 4 kHz yang di-sampling pada 6 kHz: $4 > 6/2 = 3$, sehingga urutannya tidak dapat dibedakan dari $|f - f_{s}| = 2$ kHz. Periksa sampel per sampel: $\cos(2\pi \cdot \tfrac{4}{6} n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{3} n)$ dan $\cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{6} n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{1}{3} n)$; kedua urutan sepakat karena $\cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{3} n) = \cos(2\pi(\tfrac{2}{3} - 1)n) = \cos(2\pi \cdot (-\tfrac{1}{3})n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{1}{3} n)$ ✓ (kosinus adalah fungsi genap). Nada 4 kHz yang disampel pada 6 kHz SEBENARNYA adalah urutan 2 kHz.

Contoh terpecahkan 2 — tingkatkan ke anggaran anti-aliasing. Saluran mikrofon membawa konten hingga 20 kHz; sampler beroperasi pada 44.1 kHz ($f_{s}/2 = 22.05$ kHz). Nada gangguan 25 kHz akan beralias menjadi $44.1 - 25 = 19.1$ kHz — di dalam pita 20 kHz yang disebutkan. Filter anti-alias harus dipotong sebelum sampler: pada sampling CD 44.1 kHz, pita pengaman adalah hanya 22.05 − 20 = 2.05 kHz lebar, yang menjelaskan mengapa tangkapan profesional mengoversampling pada 96 atau 192 kHz (pita pengaman 28 dan 76 kHz) dan memfilter dengan lembut. Solusinya selalu sebelum sampler, tidak pernah setelah — frekuensi terlipat tidak membawa tanda yang menunjukkan dari mana asalnya.

Kesalahan umum. Menghitung $f_{s} = 2f_{max}$ sebagai aman (ketaksamaan sangat ketat; pada kesetaraan, gelombang sinus pada $f_{max}$ dapat disampel pada titik nolnya (persimpangan dan menghilang). Penyaringan setelah sampling (fungsi sudah berada di dalam pita). Dan mengasumsikan upsampling digital memulihkan apa yang dilewatkan oleh $f_{s}$ rendah — informasi tersebut tidak pernah terekam.

Ringkasan. Sampling meniru spektrum pada $f_{s}$; $f_{s} > 2f_{max}$ atau alias berlipat; filter anti-alias meletakkan sebelum sampler; pita pengaman antara $f_{max}$ dan $f_{s}/2$ adalah anggaran desain Mengapa ini penting. Tahap analog saluran — kapasitor kopling,

kontrol nada — adalah sistem rasional, dan kutub fungsi sistemnya memprediksi getaran, kecepatan, dan stabilitas sekilas pandang. prediksi menunjukkan ringing, kecepatan, dan stabilitas sekilas.

fungsi sistem 02; untuk sistem LTI, Fungsi sistem $H(s) = Y(s)/X(s)$; untuk sistem LTI, $h(t) \leftrightarrow H(s)$ sebagai pasangan transformasi. Faktor rasional $H(s)$ menjadi kutub dan nol: setiap kutub berkontribusi pada mode alami $e^{pt}$; daerah konvergensi (ROC) menentukan yang mana; kausal stabilitas memerlukan semua kutub berada di setengah bidang kiri terbuka.

Turunan. $\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = 1/(s+a)$ untuk $\mathrm{Re}(s) > -a$ (satu integrasi parsial). Langkah unit $1/s$. Jadi untuk $H(s) = 1/(s+1)$ yang didorong oleh langkah:

pecahan parsial melakukan konvolusi Unit 6.2 dengan tiga baris aljabar — dan kedua rute berakhir pada kurva yang sama ✓.

Contoh terarah 1 — baca kutub dengan tiga cara. $H(s) = 1/(s+1)$: kutub pada $s = -1$ ADALAH $e^{-t}$ dalam respons impuls (konstanta waktu 1 detik); respons langkah menetap pada $1 - e^{-t}$ mencapai 95% pada $t = 3$ detik; respons frekuensi $H(j\omega)$ memiliki $|H(j \cdot 1)| = 1/\sqrt{2} = 0.707$ — titik −3 dB terletak tepat pada jarak kutub dari titik asal, dan fasanya di sana adalah $-45°$.

Contoh terarah 2 — tingkatkan ke kontrol nada dua kutub. Penguatan bass penguatan dengan notches, $H(s) = \dfrac{s^{2} + 2s + 100}{(s+1)(s+10)}$: nol di $-1 \pm j9.95$ (mendekati sumbu imajiner dekat $\pm 10$ rad/s, sehingga mereka membuat notch di sana: $|H(j10)| = 20/(10.05 \times 14.14) = 0.14$, sekitar −17 dB), kutub di $-1$ dan $-10$ (keduanya kiri — stabil ✓). Penguatan DC $100/10 = 10$ (20 dB penguatan bass ✓); penguatan frekuensi tinggi $1$ (pembilang $s^{2}$ sama dengan penyebut). Periksa mid-dip: pada $\omega = 0$, 20 dB; pada $\omega \to \infty$, 0 dB; yang transisi terjadi di antara frekuensi kutub — seluruh kurva equalizer dapat terbaca dari lima titik ditandai pada bidang-s.

Kesalahan umum. Membaca stabilitas dari kutub tanpa ROC (kutub pada $-1$ dengan ROC yang membentang ke kiri bersifat anti-kausal dan tidak stabil). Melupakan bahwa $H(s)$ hanya ada bersama ROC-nya. Dan mempercayai plot kutub-nol yang diskala salah: titik −3 dB adalah JARAK kutub dari titik asal hanya untuk faktor orde pertama tanpa nol di dekatnya.

Ringkasan. $H(s) = Y/X$; pecahan parsial mengubah transformasi kembali menjadi eksponensial; kutub menetapkan mode, ROC menentukan kausalitas, setengah bidang kiri menandakan stabilitas, dan $s = j\omega$ menunjukkan respons frekuensi.

Mengapa ini penting. Setelah disampel, equalizer saluran adalah persamaan beda yang berjalan pada prosesor — mengiterasinya secara manual adalah cara perilakunya sebenarnya dipahami.

Ide, dengan gambar. Cermin diskrit dari konvolusi: $y[n] = \sum_{k} x[k]\,h[n-k]$. Sistem yang dijelaskan oleh persamaan beda** seperti $y[n] = 0.5\,y[n-1] + x[n]$ — akumulator dengan peluruhan. Mode homogen adalah $a^{n}$ di mana $a$ adalah akar dari persamaan karakteristik; mengiterasi satu langkah pada satu waktu adalah langsung solusi.

Penurunan rumus. Untuk $y[n] = a\,y[n-1] + x[n]$ dengan input langkah dan kondisi awal nol, sampel pertama adalah $1,\ 1+a,\ 1+a+a^{2},\ \ldots$ — jumlah parsial dari deret geometri, sehingga

dan limit $1/(1-a)$ merupakan gain DC: gema diskrit dari kondisi kontinu $\int h < \infty$.

Contoh terpecahkan 1 — iterasi dan konvergensi. $y[n] = 0.5y[n-1] + x[n]$, $y[-1] = 0$, langkah satuan: $y[0] = 1$, $y[1] = 1.5$, $y[2] = 1.75$, $y[3] = 1.875$ — mendekati gain DC $1/(1-0.5) = 2$ ✓. Selisih menuju limit terbagi dua setiap langkah (sisaan adalah $0.5^{n+1}$), sehingga setelah 10 langkah selisihnya menjadi $0.5^{11} \approx 0.05\%$ — satu baris aritmatika yang memprediksi seluruh tabel.

Contoh terpecahkan 2 — tingkatkan ke akar bergetar. Tetapkan $a = -0.8$: $y[n] = -0.8\,y[n-1] + x[n]$ pada langkah memberikan $y[n] = \tfrac{1}{1.8}(1 - (-0.8)^{n+1})$ — pendekatan menuju $0.556$ bergetar: $y[0] = 1$, $y[1] = 0.2$, $y[2] = 0.84$, $y[3] = 0.328$. Periksa $|a| = 0.8 < 1$ — masih stabil (gejolak menurun), dan tanda berbalik setiap sampel adalah sidik jari dari sebuah akar negatif, analog diskrit dari pasangan kutub kompleks yang bergetar pada setengah laju sampling laju ($z = -0.8$ memetakan ke $s = (\ln 0.8 \pm j\pi)/T$).

Kesalahan umum. Mengiterasi dengan $y[-1]$ yang salah (nyatakan kondisi awal sebelum baris pertama). Menyatakan stabilitas dari beberapa sampel pertama (hanya $|a| < 1$ yang menentukan). Dan membaca penguatan DC dari $n = 0$ sendiri — itu adalah $1/(1-a)$, LIMIT, terlihat hanya saat sampel menetap.

Ringkasan. Persamaan beda → iterasi; jumlah parsial geometris; K gain DC $1/(1-a)$; akar di dalam lingkaran satuan = stabilitas; negatif atau akar kompleks = osilasi.

Mengapa ini penting. Ekuator dikirim sebagai koefisien $a_{k}, b_{k}$ dari persamaan beda; transformasi z adalah cara angka-angka itu dipilih, dan lingkaran satuan adalah tempat respons frekuensinya dibaca. angka dipilih, dan lingkaran unit adalah tempat respons frekuensinya dibaca.

Gagasan, dengan gambar. Transformasi-z z $X(z) = \sum_{n} x[n]z^{-n}$ memainkan peran Laplace dalam waktu diskrit. The $a^{n}u[n] \leftrightarrow 1/(1 - az^{-1})$ dengan ROC $|z| > |a|$. Untuk sistem kausal, kutub DI DALAM lingkaran unit berarti stabilitas. The transformasi invers adalah pembagian panjang atau pecahan parsial.

Turunan. $\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}z^{-n}$ bersifat geometris dengan rasio $az^{-1}$; ia konvergen ke $1/(1 - az^{-1})$ tepat ketika $|az^{-1}| < 1$, yaitu $|z| > |a|$ — ROC adalah luar dari lingkaran yang melalui kutub. Stabilitas memerlukan ROC mencakup lingkaran satuan (sumbu frekuensi $z = e^{j\omega}$), yang memaksa $|a| < 1$ — kondisi lingkaran satuan dalam satu baris.

Contoh terlatih 1 — akumulator lagi, dengan transformasi. $H(z) = 1/(1 - 0.5z^{-1})$, kutub di $z = 0.5$ — di dalam lingkaran satuan, stabil ✓. Respons langkah: $Y(z) = H(z)\,\dfrac{z}{z-1} = \dfrac{z^{2}}{(z-0.5)(z-1)}$; parsial pecahan memberikan $y[n] = 2(1 - 0.5^{n+1})$. Periksa $n = 0$: $2(1 - 0.5) = 1$ ✓ sesuai dengan iterasi Unit 6.6, dan $n \to \infty$ menghasilkan Contoh terlatih $2$ — kamus bidang-ke-bidang. Pemetaan

Contoh terpecahkan 2 — kam pesawat ke pesawat. Pemetaan $s \to z = e^{sT}$ mengirim $s = j\omega$ ke lingkaran satuan $e^{j\omega T}$ (frekuensi = sudut), dan tingkat peluruhan yang kontinu $\sigma$ dengan $e^{\sigma T}$ ms berkorespondensi dengan $z = 0.5$ with $T = 1$ ms corresponds to $\sigma = \ln(0.5)/0.001 = -693\ \text{s}^{-1}$ — konstanta waktu sebesar $1/693 = 1.44$ ms. Periksa terhadap iterasi Unit 6.6: celah berkurang setengah per SAMPLE ($0.5 = e^{-0.693}$), dan $0.693/T$ per detik adalah sama $-693\ \text{s}^{-1}$ ✓. Kedua transformasi merupakan satu subjek yang dilihat dari dua sisi sungai yang sama.

Kesalahan umum. Mengutip $H(z)$ tanpa ROC-nya (fungsi rasional yang sama fungsi dapat menggambarkan sistem berbeda ketika ROC berubah). Membaca respons frekuensi dari sumbu real (ia berada pada $|z| = 1$). Dan mengacaukan konvensi $z$ dan $z^{-1}$ konvensi — untuk urutan kausal $a^{n}u[n]$, ROC adalah $|z| > |a|$; urutan kiri memiliki ROC berbeda.

Ringkasan. $a^{n} \leftrightarrow 1/(1-az^{-1})$, ROC di luar; untuk sistem kausal, kutub di dalam lingkaran satuan = stabilitas; $z = e^{sT}$ memetakan peluruhan menjadi radius dan frekuensi ke sudut — dan penguatan DC $1/(1-a)$ menutup loop dengan iterasi dua langkah sebelumnya.