Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
1.2
Aritmatika tepat dan estimasi
Bisakah kita mengisi tanpa sisa?
Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Pilih struktur matematika
Faktor-faktor prime mengungkap struktur bersama. Gunakan pangkat prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK. Perkirakan sebelum menghitung; gunakan kurung untuk menjaga urutan operasi.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.
Uji jalan pintas yang menggoda
FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya. Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda. Estimasi desimal bukan pecahan eksak.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
FPB dari dua bilangan bulat positif selalu lebih besar dari masing-masing bilangan tersebut. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan dalam bentuk eksak dan tunjukkan pembatalan. Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
1.3
Persentase, rasio, dan penalaran proporsional
Bisakah kita memulihkan harga asli?
Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Pilih struktur matematika
Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100. Balik persentase dengan membagi dengan pengali. Dalam rasio, pertama-tama temukan total jumlah bagian.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.
Uji jalan pintas yang menggoda
Persentase menggunakan basis yang dinyatakan. Mengurangkan persentase menghilangkan basis tersebut. Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Penurunan 20% diikuti peningkatan 20% mengembalikan harga awal. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Untuk proporsi langsung gunakan y=kx; untuk proporsi terbalik gunakan y=k/x. Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru. Nyatakan apa yang Anda pegang konstan.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
1.4
Barisan, deret, dan rekurensi
Apakah perubahan menambah atau mengalikan?
Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.
Pilih struktur matematika
Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r). Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.
Uji jalan pintas yang menggoda
Suku pertama memiliki indeks 1, sehingga pangkatnya adalah n-1. Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah. Barisan geometri dapat berganti tanda namun tetap konvergen.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap deret geometri memiliki jumlah hingga tak hingga yang terbatas. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau multiplikatif. Dalam keuangan, bedakan deposit tunggal dari aliran deposit sebelum memilih rumus jumlah.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
1.5
Regresi, model keuangan, dan residual
Apakah prediksi didukung oleh data?
Garis meramalkan masa perjalanan bas berdasarkan jarak. Ralat pengiraan kecil kurang penting berbanding menggunakan model di luar buktinya.
Pelajaran ini mempelajari residu: Nilai yang diperhatikan ditolak dengan nilai yang diramalkan oleh model yang disesuaikan.
Pilih struktur matematika
Model linear y=a+bx mempunyai pintasan a dan kecerunan b dengan unit konteks. Periksa residu dan julat data. Untuk perubahan peratusan berulang gunakan model geometri; untuk pinjaman bezakan pokok, kadar, pembayaran dan tempoh.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Model terpasang t=8+2d memprediksi 18 menit pada d=5 km. Jika waktu yang diamati adalah 21, maka residualnya adalah 3 menit. Deposit ¥1000 pada bunga majemuk tahunan 5% menjadi 1000×1.05³=1157.625 setelah 3 tahun.
Uji jalan pintas yang menggoda
Kecocokan yang baik tidak membuktikan mekanisme sebab akibat. Pekali korelasi mengukur pautan linear, bukan kecerunan. Output kalkulator mesti diterjemahkan kepada model, diperiksa dan ditafsirkan.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Korelasi tinggi membolehkan ekstrapolasi yang boleh dipercayai ke mana-mana jarak. Tesis ini salah. Jelaskan definisi atau pengandaian mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Dalam IB AI, catat sumber data, domain, asumsi dan metode kalkulator. Bandingkan model alternatif dan nilai prediksi terhadap residual. Jawaban keuangan harus menyatakan waktu pembayaran dan apakah bunga majemuk.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Nilai yang diamati dikurangi nilai yang diprediksi oleh model yang disesuaikan. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
2.2
Domain, invers, dan komposisi
Input mana yang diperbolehkan?
Model akar kuadrat menghasilkan output real hanya untuk beberapa input. Rumusnya saja tidak menentukan fungsi lengkap.
Pelajaran ini mempelajari domain: Himpunan input yang diizinkan untuk suatu fungsi.
Pilih struktur matematika
Nyatakan domain dan jangkauan. Untuk invers, pastikan terlebih dahulu fungsi tersebut satu-satu pada domainnya. Komposisi fg berarti terapkan g terlebih dahulu, kemudian f; output antara harus menjadi input yang diizinkan untuk f.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk f(x)=√(x-2), x≥2 dan jangkauannya adalah y≥0. Dari y=√(x-2), diperoleh x=y²+2. Dengan demikian f invers(x)=x²+2 dengan x≥0. Untuk g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Uji jalan pintas yang menggoda
Pengkuadratan dapat memperkenalkan penyelesaian tambahan. Membatasi daerah asal parabola adalah hal yang penting sebelum mengklaim adanya fungsi invers. Translasi horizontal di dalam f memiliki tanda berlawanan dengan pergerakan graf.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap fungsi kuadrat pada semua bilangan real memiliki fungsi invers. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Periksa f(f invers(x))=x pada daerah invers. Gunakan sketsa untuk menguji apakah garis horizontal memotong graf asli lebih dari sekali.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Himpunan input yang diperbolehkan ke dalam sebuah fungsi. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Konsentrasi obat turun dengan persentase yang sama setiap jam. Pengurangan konstan akan akhirnya memprediksi jumlah negatif.
Pelajaran ini mempelajari waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya.
Pilih struktur matematika
Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional. Mengambil logaritma menghasilkan ln y=ln A+kt. Logaritma memerlukan argumen positif, dan log(x+y) tidak sama dengan log x+log y.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Jika y=80e^(-0.2t), y=40 menghasilkan e^(-0.2t)=1/2. Maka t=ln2/0.2≈3.466. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Memplot ln y terhadap t melinearisasi model eksponensial ini.
Uji jalan pintas yang menggoda
Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan. Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaannya. Nilai k negatif menggambarkan peluruhan; nilai awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Untuk x dan y positif, ln(x+y)=ln x+ln y. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Bandingkan observasi aktual dengan model. Penyimpangan sistematis mungkin mengindikasikan kondisi yang berubah. Dalam laporan, jelaskan apa arti laju dan nilai awal, alih-alih hanya memberikan persamaan mentah.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.
Pilih struktur matematika
Untuk bangun serupa dengan faktor skala panjang k, luas diperkali k² dan volume diperkali k³. Nyatakan alasan sudut secara eksplisit. Garis singgung lingkangan tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgungnya.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Jika faktor panjang model ke asli adalah 3, luas model 12 cm² menghasilkan 12×3²=108 cm² dan volume model 8 cm³ menghasilkan 8×3³=216 cm³. Silinder dengan r=3, h=5 memiliki volume πr²h=45π.
Uji jalan pintas yang menggoda
Sudut yang sama saja tidak menjamin kemiripan, bukan kesamaan ukuran. Gunakan panjang yang bersesuaian dalam urutan yang sama. Konversikan satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikan faktor konversi dengan benar.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Menggandakan setiap panjang padatan solid menggandakan volumenya. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Bukti geometri harus menyebutkan teorema yang relevan, mengidentifikasi sudut sama atau rasio, dan menarik kesimpulan. Gambar skala hanyalah bukti ketika tugas memungkinkan pengukuran.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
3.3
Segitiga siku-siku dan segitiga tak siku-siku
Sisi mana yang dibutuhkan tangga?
Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
Pilih struktur matematika
Dalam segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=depan/miring, cosθ=samping/miring dan tanθ=depan/samping. Untuk segitiga lain, gunakan aturan sinus atau kosinus, atau luas=ab sin C/2.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Dengan dua sisi 6 dan 8 yang membentuk sudut 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Uji jalan pintas yang menggoda
Tandai sisi relatif terhadap sudut yang dipilih. Pythagoras membutuhkan sudut siku-siku. Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah. Simpan nilai tanpa pembulatan untuk langkah selanjutnya.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Gunakan denah atau gambar elevasi untuk masalah tiga dimensi sebelum menerapkan aturan segitiga. Jelaskan mengapa segitiga yang dipilih memuat panjang atau sudut yang diperlukan.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan tafsirkan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
Bisakah satu nilai rata-rata menceritakan seluruh kisah?
Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
Pilih struktur matematika
Bandingkan purata dan sebaran yang sesuai dalam konteks. Histogram menggunakan kawasan untuk frekuensi, maka tinggi=frekuensi/lebar kelas. Anggaran berkumpulan mengandaikan nilai perwakilan dalam selang.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.
Uji jalan pintas yang menggoda
Bar histogram tertinggi tidak semestinya mengandungi paling banyak pemerhatian. Purata berkumpulan adalah anggaran. Korelasi tidak membuktikan punca, dan ekstrapolasi melampaui julat yang diperhatikan.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Tinggi bar histogram sentiasa bersamaan dengan frekuensinya, walaupun dengan lebar kelas yang tidak sama. Tesis ini salah. Jelaskan definisi atau pengandaian mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Pilih paparan yang sesuai dengan jenis data. Berikan perbandingan numerikal dan apa artinya bagi populasi; jangan inferkan ketepatan lebih daripada yang disokong oleh sampel.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram. Pilih hubungan, tunjukkan kaedah, periksa pengandaian dan tafsirkan hasilnya.
4.3
Probabilitas, pohon keputusan, dan penalaran bersyarat
Apa yang berubah setelah pengambilan pertama?
Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
Pilih struktur matematika
Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang yang saling lepas. Dengan pengembalian, komposisinya tetap tetap. Probabilitas bersyarat adalah P(A diberikan B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.
Uji jalan pintas yang menggoda
Saling eksklusif berarti tidak ada tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lain. Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harus independen. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Tabel dua arah membuat penyebut yang dibatasi terlihat. Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
4.4
Model binomial, normal, dan Poisson
Apa yang membuat penghitungan dapat diprediksi?
Seorang inspektur kualitas menghitung barang cacat. Jumlahnya acak, tetapi model dapat menggambarkan rentang yang mungkin.
Pelajaran ini mempelajari nilai ekspektasi: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak.
Pilih struktur matematika
Model binomial memerlukan n tetap, percobaan independen, dua hasil, dan p konstan. E(X)=np dan Var(X)=np(1-p). Untuk model normal gunakan z=(x-μ)/σ. Model Poisson menggambarkan jumlah hitungan dengan laju konstan dan asumsi independensi yang sesuai.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 dan Var(X)=0.8. Untuk kuantitas normal dengan μ=100, σ=15, nilai 130 memiliki z=2. Rata-rata Poisson 3 per jam memberikan rata-rata 6 selama dua jam.
Uji jalan pintas yang menggoda
Tidak semua variabel hitung mengikuti distribusi binomial: perubahan pada p atau adanya ketergantungan dapat membatalkannya. Untuk variabel kontinu, probabilitas satu nilai eksak adalah nol. Koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap jumlah keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Tuliskan kejadian sebagai pertidaksamaan sebelum menggunakan fungsi distribusi kalkulator. Bedakan P(X<k), P(X≤k) dan komplemen ekor. Nyatakan asumsi dalam konteksnya.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Rata-rata tertimbang probabilitas dari suatu variabel acak. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
4.5
Pengujian hipotesis dan kesimpulan kontekstual
Bisakah kebetulan menjelaskan hasilnya?
Sebuah pabrik mengklaim bahwa hanya 10% barangnya cacat. Sampel mengandung lebih banyak cacat, namun kebetulan saja mungkin menjelaskan sebagian perbedaan tersebut.
Pelajaran ini mempelajari tingkat signifikansi: ambang batas probabilitas yang dipilih untuk menolak hipotesis nol.
Pilih struktur matematika
Nyatakan H₀ dan H₁ dalam parameter populasi sebelum memeriksa hasil. Hitung probabilitas ekor yang sesuai di bawah H₀. Tolak H₀ ketika bukti memenuhi aturan signifikansi yang ditentukan; jika tidak, katakan bahwa bukti tidak cukup.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk H₀:p=0.1 dan H₁:p>0.1 dengan n=10, memerhatikan sekurang-kurangnya 3 kerosakan mempunyai kebarangkalian 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. Pada 5%, ini merupakan bukti yang tidak mencukupi bahawa kadar kerosakan melebihi 10%.
Uji jalan pintas yang menggoda
Gagal menolak H₀ bukan merupakan bukti bahwa H₀ benar. Pilih ekor dari H₁, bukan dari ekor mana pun yang menghasilkan nilai kecil. Signifikansi statistik tidak mengukur besaran praktis dari suatu efek.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Gagal menolak hipotesis nol membuktikan bahwa hipotesis tersebut benar. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Akhiri dengan kalimat tentang populasi dan klaim asli. Nyatakan asumsi model dan pertimbangkan apakah prosedur pengambilan sampel mendukungnya.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Ambang batas probabilitas yang dipilih untuk menolak hipotesis nol. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
5.2
Turunan dan titik stasioner
Bagaimana kemiringan pada satu titik?
Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.
Pilih struktur matematika
Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Titik stasioner memenuhi dy/dx=0. Periksa perubahan tanda turunan, atau turunan kedua jika tidak nol, untuk mengklasifikasikannya.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.
Uji jalan pintas yang menggoda
Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ bersifat stasioner di 0 tetapi tetap terus meningkat. Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum atau minimum lokal. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Di GCSE/IGCSE gunakan hanya jangkauan polinomial yang diizinkan oleh tingkatan; jangan tambahkan aturan rantai, perkalian, atau pembagian di sana. Di tingkat lanjutan, hubungkan turunan dengan laju dan optimasi dengan domain yang valid.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Persamaan nonlinear tidak memiliki solusi eksak yang praktis. Pendekatan tetap memerlukan bukti bahwa ia dapat diandalkan.
Pelajaran ini mempelajari iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari yang sebelumnya.
Pilih struktur matematika
Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan pada dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya. Metode Newton menggunakan x next=x-f(x)/f prime(x), dengan turunan tak nol. Aturan trapesium memperkirakan integral tentu menggunakan tinggi titik ujung.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk f(x)=x²-2 dan x₀=1.5, Newton memberikan x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Dengan y=x² pada [0,2] dan dua strip sama besar, h=1 dan luas trapesium=(1/2)(0+2×1+4)=3; luas eksaknya adalah 8/3.
Uji jalan pintas yang menggoda
Perubahan tanda melintasi ketidakterputusan tidak membuktikan adanya akar. Iterasi dapat menyimpang atau membentuk siklus. Perkiraan lebih atau kurang dari aturan trapesium bergantung pada kelengkungan, bukan hanya apakah fungsi meningkat.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk satu yang melintasi titik diskontinu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Berikan kriteria penghentian dan laporkan akurasi yang masuk akal. Konfirmasi akar yang didekati dengan rentang tanda di sekitar jawaban bulat yang disebutkan; jelaskan kegagalan iterasi yang dipilih.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Pembaruan berulang di mana setiap aproksimasi baru dihitung dari sebelumnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
Apa yang menjadikan sebuah penyelidikan bersifat matematis?
Seorang siswa ingin memprediksi waktu tunggu antrean di kantin sekolah. Eksplorasi yang berguna memerlukan pertanyaan, data, dan matematika yang dapat dijelaskan siswa.
Pelajaran ini mempelajari asumsi: Kondisi yang diambil agar model matematis memungkinkan dan efeknya harus dievaluasi.
Pilih struktur matematika
Rangkai pertanyaan terfokus dengan variabel terukur dan metode yang layak. Simpan catatan bertanggal mengenai keputusan, sumber, dan penalaran matematika. Gunakan teknologi untuk mendukung analisis, dan jelaskan setiap output penting dengan kata-kata Anda sendiri.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Seorang perintis mencatat rata-rata waktu tunggu 3,5,7 menit ketika 10,20,30 orang berada di depannya. Model pertama adalah t=1+0.2n. Pada n=25 memprediksi 6 menit. Waktu tunggu aktual 8 memberikan residual 2; selidiki variasi laju layanan daripada menyembunyikan ketidakcocokan.
Uji jalan pintas yang menggoda
Jangan menyalin contoh eksplorasi, inventarisasi data, atau buat keterlibatan pribadi. Prediksi bukan bukti sampai dibandingkan dengan observasi. Persetujuan dan privasi penting saat mengumpulkan data sekolah.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Eksplorasi matematis yang diawasi sekolah dapat digantikan oleh ujian tiruan tertulis berbatas waktu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Sekolah mengawasi persetujuan topik, titik pemeriksaan, autentisitas, dan penilaian. Untuk kurikulum 2021 saat ini gunakan panduan dan kriteria sekolah saat ini; kriteria penyelidikan 2029 milik versi penilaian berbeda.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Kondisi yang diambil agar model matematis memungkinkan dan efeknya harus dievaluasi. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
