5 · Kalkulus

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Bagaimana kemiringan pada satu titik?

• Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
• Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.

Metode

• Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
• Titik stasioner memenuhi dy/dx=0.
• Periksa perubahan tanda turunan, atau turunan kedua jika tidak nol, untuk mengklasifikasikannya.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.

Di mana hal itu gagal

• Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
• Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.

Tidak benar: Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum lokal atau minimum. Turunan nol juga bisa menjadi titik belok: y=x³ pada x=0 bukan maksimum maupun minimum.

Menerapkannya

• Di GCSE/IGCSE gunakan hanya jangkauan polinomial yang diizinkan oleh tingkatan; jangan tambahkan aturan rantai, perkalian, atau pembagian di sana.
• Pada tingkat lanjutan, hubungkan turunan dengan tingkat dan optimasi dengan domain yang valid.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Turunan: Tingkat perubahan sesaat, juga kemiringan garis singgung.
• Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
• Perhatikan: Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.

Tulis dari turunan 10

• Untuk y = x kuadrat dikurangi 2x, temukan turunan pada x = 6.
• Temukan nilai stasioner. Turunan sebesar 0 tidak selalu merupakan titik belok.

Seberapa dapat diandalkan suatu pendekatan?

• Persamaan nonlinear tidak memiliki solusi eksak yang praktis. Pendekatan tetap memerlukan bukti bahwa ia dapat diandalkan.
• Pelajaran ini mempelajari iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari yang sebelumnya.

Metode

• Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan di dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya.
• Metode Newton menggunakan x berikutnya=x-f(x)/f'(x), dengan turunan yang tidak nol.
• Aturan trapesium mengaproksimasi integral tentu menggunakan tinggi titik ujung.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk f(x)=x²-2 dan x₀=1.5, Newton memberikan x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Dengan y=x² pada [0,2] dan dua strip sama besar, h=1 dan luas trapesium=(1/2)(0+2×1+4)=3; luas eksaknya adalah 8/3.

Di mana hal itu gagal

• Perubahan tanda melintasi titik diskontinu tidak membuktikan adanya akar.
• Iterasi dapat konvergen atau berosilasi.
• Perkiraan lebih tinggi atau lebih rendah dari aturan trapesium bergantung pada kelengkungan, bukan hanya apakah fungsi meningkat.

Tidak benar: Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk yang melintasi titik diskontinu. Perubahan tanda menunjukkan adanya akar hanya jika fungsi kontinu di sana: 1/x berubah tanda melintasi x=0 tetapi tidak memiliki akar.

Menerapkannya

• Berikan kriteria penghentian dan laporkan akurasi yang masuk akal.
• Konfirmasi akar pendekatan dengan rentang tanda di sekitar jawaban pembulatan yang disebutkan; jelaskan kegagalan iterasi yang dipilih.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari pendekatan sebelumnya.
• Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan di dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya.
• Waspadai: Perubahan tanda melintasi titik diskontinu tidak membuktikan adanya akar.

Tulis dari langkah Newton ke 1.25

• Untuk x kuadrat minus 1, lakukan satu langkah Newton dari 2.
• Perubahan tanda melintasi titik diskontinu tidak membuktikan adanya akar.

Apakah ekspresi di dalamnya juga berubah?

• Kurva biaya adalah pangkat dari ekspresi yang berubah. Menurunkan pangkat luar saja melewatkan laju inputnya.
• Pelajaran ini mempelajari aturan rantai: Aturan yang mengalikan turunan luar dengan turunan dalam untuk fungsi komposit.

Metode

• Untuk y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
• Untuk uv, turunkan menjadi u prime v+uv prime.
• Untuk u/v, gunakan (u prime v-uv prime)/v², di mana v≠0.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk y=(3x+1)^4, turunan y=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. Pada x=0, gradien adalah 12. Untuk x²+y²=25, turunkan secara implisit: 2x + 2y turunan y = 0, sehingga turunan y = -x/y ketika y≠0.

Di mana hal itu gagal

• Turunan dari hasil kali bukanlah hasil kali dari turunannya.
• Dalam diferensiasi implisit, setiap fungsi turunan dari y membawa faktor dy/dx.
• Penyebut hasil bagi dikuadratkan.

Tidak benar: Turunan dari u(x)v(x) selalu sama dengan u prima dikali v prima. Aturan perkalian adalah (uv)′=u′v+uv′: untuk x·x turunannya adalah 2x, bukan 1×1=1.

Menerapkannya

• Pilih bentuk yang berguna sebelum menurunkan: memperluas polinomial pendek mungkin lebih mudah.
• Untuk laju terkait, tulis hubungannya dalam simbol, turunkan terhadap waktu, lalu substitusikan nilai terukur.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Aturan rantai: Aturan yang mengalikan turunan luar dengan turunan dalam untuk fungsi komposit.
• Untuk y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
• Waspadai: Turunan dari sebuah perkalian bukan hasil kali dari turunannya.

Tulis dari turunan produk 17

• Untuk y = (3x ditambah 2)(x ditambah 1), temukan turunan pada x = 2.
• Turunan dari hasil kali bukanlah hasil kali dari turunannya.

Bisakah kita mengintegralkan kedua faktor secara terpisah?

• Produk sederhana seperti xe^x tidak dapat diintegralkan dengan mengintegrasikan setiap faktornya secara terpisah.
• Pelajaran ini mempelajari integrasi parsial: Metode integrasi yang didasarkan pada turunan dari suatu produk.

Metode

• Gunakan substitusi ketika turunan dalam muncul sebagai faktor.
• Secara parsial, integral u v' = uv - integral u' v.
• Untuk fungsi rasional, lakukan pembagian terlebih dahulu jika perlu, lalu dekomposisi menjadi pecahan parsial.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk integral xe^x dx, ambil u=x dan v'=e^x. Maka integralnya adalah xe^x-e^x+C. Untuk integral 2x/(x²+1) dx, substitusikan w=x²+1, dw=2x dx; jawabannya adalah ln(x²+1)+C.

Di mana hal itu gagal

• Memilih u dan v' dengan baik itu penting: integral yang tersisa harus menjadi lebih sederhana.
• Dalam substitusi tentu, ubah batasnya atau kembalikan ke x sebelum menerapkan batas asli.

Tidak benar: Integral dari suatu perkalian sama dengan hasil kali integral terpisahnya. Perkalian memerlukan metode seperti integrasi parsial atau substitusi: ∫x·x dx=x³/3, bukan (x²/2)(x²/2).

Menerapkannya

• Periksa dengan menurunkan.
• Untuk volume putar sekitar sumbu-x gunakan V=π integral y² dx; jangan menyambungkan kuadrat fungsi dengan integral fungsi.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Integrasi parsial: Metode integrasi berdasarkan turunan dari sebuah perkalian.
• Gunakan substitusi ketika turunan dalam muncul sebagai faktor.
• Perhatikan: memilih u dan v' dengan baik itu penting: integral yang tersisa harus menjadi lebih sederhana.

Tulis dari faktor volume 20

• Garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu-x dari 0 hingga 5. Temukan volume dibagi pi.
• Integral dari hasil kali bukanlah hasil kali dari integralnya.

Apa yang ditentukan oleh nilai awal?

• Laju populasi yang tumbuh berbanding lurus dengan ukurannya saat ini. Persamaan laju menggambarkan seluruh keluarga solusi hingga suatu populasi awal disediakan.
• Pelajaran ini mempelajari kondisi awal: Nilai yang ditentukan yang memilih solusi tertentu dari sebuah keluarga solusi.

Metode

• Untuk dy/dx=ky, pisahkan variabel: dy/y=k dx, menghasilkan y=Ae^(kx).
• Gunakan kondisi awal untuk menemukan A.
• Metode Euler mengambil y berikutnya=y+h f(x,y), dengan langkah h yang dipilih.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Dengan dy/dx=0.5y dan y(0)=2, maka y=2e^(0.5x). Metode Euler dengan h=0.2 menghasilkan y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 dan y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. Nilai kedua yang eksak sekitar 2.4428.

Di mana hal itu gagal

• Kondisi awal menentukan konstanta integrasi; ini bukan pengganti untuk mengintegralkan.
• Membagi dengan y dapat melewatkan solusi ekuilibrium y=0.
• Akurasi Euler bergantung pada ukuran langkah dan persamaan.

Tidak benar: Setiap ukuran langkah memberikan aproksimasi Euler yang sama persis. Metode Euler bergantung pada ukuran langkah; langkah yang lebih kecil biasanya memberikan nilai yang lebih akurat.

Menerapkannya

• Untuk persamaan linear orde dua, gabungkan fungsi komplementer dengan integral parsial yang sesuai, lalu terapkan kondisi awal yang diperlukan.
• Ini adalah ruang lingkup Further Pure; periksa unit yang dinamakan.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Kondisi awal: Nilai yang ditentukan yang memilih solusi tertentu dari suatu keluarga solusi.
• Untuk dy/dx=ky, pisahkan variabel: dy/y=k dx, menghasilkan y=Ae^(kx).
• Perhatikan: kondisi awal menentukan konstanta integrasi; ini bukan pengganti untuk melakukan integrasi.

Tulis dari nilai Euler pertama 6.6

• Gunakan Euler dengan langkah 0.2 untuk y prima = 0.5 y, mulai dari y = 6.
• Temukan dua pendekatan pertama. Ukuran langkah yang berbeda menghasilkan pendekatan yang berbeda.

Tulis dari nilai Euler kedua 7.26

• Lanjutkan perhitungan yang sama satu langkah lagi.
• Setiap langkah dikalikan dengan 1.1: 6, 6.6, 7.26.

Tulis dari nilai eksak 7.33

• Selesaikan y' = 0.5 y secara eksak dan evaluasi pada x = 0.4.
• y = 6 e pangkat 0.5 x menghasilkan sekitar 7.328 — Euler 7.26 meleset di bawah kurva yang melengkung ke atas.