4 · Statistik dan probabilitas

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Bisakah satu nilai rata-rata menceritakan seluruh kisah?

• Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
• Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.

Metode

• Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
• Histogram menggunakan luas untuk frekuensi, sehingga tinggi = frekuensi / lebar kelas.
• Estimasi berkelompok mengasumsikan nilai representatif di dalam interval.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.

Di mana hal itu gagal

• Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
• Rata-rata berkelompok adalah sebuah estimasi.
• Korelasi tidak membuktikan sebab-akibat, dan ekstrapolasi memperluas beyond rentang yang diamati.

Tidak benar: Tinggi batang histogram selalu sama dengan frekuensinya, bahkan dengan lebar kelas yang tidak sama. Dengan lebar kelas yang tidak sama, tingginya adalah densitas frekuensi; frekuensi adalah luas batang.

Menerapkannya

• Pilih tampilan visual yang sesuai dengan jenis datanya.
• Berikan perbandingan numerik dan maknanya bagi populasi; jangan menyimpulkan presisi lebih tinggi daripada yang didukung oleh sampel.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Kepadatan frekuensi: Frekuensi dibagi lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
• Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
• Perhatikan: Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.

Tulis dari rata-rata 9

• Kelas dengan lebar 2 memiliki frekuensi 22.
• Nilai-nilai 5, 8, 8, 11, dan 13 memiliki rata-rata dan median. Tinggi batang tidak selalu merupakan frekuensi.

Apa yang berubah setelah pengambilan pertama?

• Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
• Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.

Metode

• Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
• Dengan pengembalian, komposisi tetap tetap.
• Probabilitas bersyarat adalah P(A given B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.

Di mana hal itu gagal

• Saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
• Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.

Tidak benar: Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harusnya independen. Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif bersifat bergantung: jika satu terjadi, yang lain tidak dapat, sehingga P(A and B)=0≠P(A)P(B).

Menerapkannya

• Tabel dua arah membuat penyebut terbatas terlihat jelas.
• Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
• Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
• Perhatikan: saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.

Tulis dari probabilitas bersyarat 0.72

• P(A dan B) adalah 0.36 dan P(B) adalah 0.50.
• Temukan P(A given B). Peristiwa saling lepas yang dapat terjadi bukanlah peristiwa independen.

Apa yang membuat penghitungan dapat diprediksi?

• Seorang inspektur kualitas menghitung barang cacat. Jumlahnya acak, tetapi model dapat menggambarkan rentang yang mungkin.
• Pelajaran ini mempelajari nilai ekspektasi: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak.

Metode

• Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
• E(X)=np dan Var(X)=np(1-p).
• Untuk model normal gunakan z=(x-μ)/σ.
• Model Poisson mendeskripsikan penghitungan dengan laju konstan dan asumsi independensi yang sesuai.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 dan Var(X)=0.8. Untuk kuantitas normal dengan μ=100, σ=15, nilai 130 memiliki z=2. Rata-rata Poisson 3 per jam memberikan rata-rata 6 selama dua jam.

Di mana hal itu gagal

• Tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.
• Untuk variabel kontinu, probabilitas satu nilai pasti adalah nol.
• Koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.

Tidak benar: Setiap hitungan keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Model binomial memerlukan percobaan independen dengan probabilitas tetap; percobaan yang bergantung merusaknya.

Menerapkannya

• Tuliskan peristiwa sebagai pertidaksamaan sebelum menggunakan fungsi distribusi kalkulator.
• Bedakan P(X<k), P(X≤k) dan komplemen ekor.
• Nyatakan asumsi dalam konteksnya.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.

Kunci:

• Nilai harapan: Rata-rata tertimbang probabilitas dari variabel acak.
• Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
• Perhatikan: tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.

Tulis berdasarkan skor-z 5

• Nilai 100 berasal dari distribusi dengan rata-rata 85 dan simpangan baku 3.
• Temukan nilai z. Jumlah binomial memerlukan percobaan yang independen.

Bisakah kebetulan menjelaskan hasilnya?

• Sebuah pabrik mengklaim bahwa hanya 10% barangnya cacat. Sampel mengandung lebih banyak cacat, namun kebetulan saja mungkin menjelaskan sebagian perbedaan tersebut.
• Pelajaran ini mempelajari tingkat signifikansi: ambang batas probabilitas yang dipilih untuk menolak hipotesis nol.

Metode

• Nyatakan H₀ dan H₁ dalam parameter populasi sebelum memeriksa hasilnya.
• Hitung probabilitas ekor yang sesuai di bawah H₀.
• Tolak H₀ ketika bukti memenuhi aturan signifikansi yang ditentukan; jika tidak, katakan bahwa bukti tidak cukup.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk H₀:p=0.1 dan H₁:p>0.1 dengan n=10, memerhatikan sekurang-kurangnya 3 kerosakan mempunyai kebarangkalian 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. Pada 5%, ini merupakan bukti yang tidak mencukupi bahawa kadar kerosakan melebihi 10%.

Di mana hal itu gagal

• Gagal menolak H₀ bukan pembuktian bahwa H₀ benar.
• Pilih ekor berdasarkan H₁, bukan berdasarkan ekor mana pun yang memberikan hasil kecil.
• Signifikansi statistik tidak mengukur besaran praktis suatu efek.

Tidak benar: Gagal menolak hipotesis nol membuktikannya benar. Tidak menolak hipotesis nol hanya berarti tidak ada cukup bukti untuk menolaknya.

Menerapkannya

• Akhiri dengan kalimat mengenai populasi dan klaim awal.
• Nyatakan asumsi model dan pertimbangkan apakah prosedur pengambilan sampel mendukungnya.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Tingkat signifikansi: Ambang batas probabilitas yang dipilih untuk menolak hipotesis nol.
• Nyatakan H₀ dan H₁ dalam parameter populasi sebelum memeriksa hasilnya.
• Perhatikan: gagal menolak H₀ bukan bukti bahwa H₀ benar.

Tulis dari nilai-p 0.12

• Nilai-p satu arah adalah 0.12 dan tingkat signifikansi adalah 5 persen.
• Tentukan apakah akan menolak hipotesis nol. Gagal menolak tidak membuktikan hipotesis tersebut benar.

Seberapa tidak pasti rata-rata sampel?

• Dua sampel memberikan rata-rata berbeda. Kita membutuhkan pernyataan tentang ketidakpastian pengambilan sampel, bukan jaminan bahwa satu sampel sama dengan populasi.
• Pelajaran ini mempelajari interval kepercayaan: Interval yang dihitung oleh prosedur yang dirancang untuk mencakup parameter populasi pada tingkat jangka panjang tertentu.

Metode

• Untuk rata-rata normal dengan σ diketahui, interval 95% adalah rata-rata sampel ±1.96σ/√n.
• Untuk chi-kuadrat, jumlahkan (observasi-harapan)²/harapan dengan derajat kebebasan yang tepat.
• Pilih uji yang sesuai dengan data dan asumsi.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Dengan mean=50, σ=10, n=100, standard error=1 dan interval 95% adalah [48.04,51.96]. Untuk frekuensi yang diamati 30 dan 20 berbanding yang diharapkan 25 dan 25, chi-square=25/25+25/25=2, sebelum menentukan darjah kebebasan dan had penolakan.

Di mana hal itu gagal

• Prosedur kepercayaan 95% tidak memberikan probabilitas 95% bahwa rata-rata populasi tetap berada dalam satu interval ini.
• Jumlah harapan dan parameter estimasi memengaruhi validitas dan derajat kebebasan uji chi-kuadrat.

Tidak benar: Korelasi kuat saja menetapkan hubungan sebab-akibat. Korelasi menunjukkan asosiasi; variabel ketiga atau kebetulan dapat menjelaskannya, sehingga sebab-akibat memerlukan eksperimen atau bukti lain.

Menerapkannya

• Laporkan ketidakpastian dalam konteksnya.
• Dalam regresi, periksa residual, hindari ekstrapolasi yang tidak berdasar, dan bedakan hubungan yang disesuaikan dengan penjelasan sebab-akibat.
• S3 dan IB AI HL memerlukan batas jangkauan terverifikasi yang berbeda.

Dalam kursus Anda

• Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
• Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

• Interval kepercayaan: Interval yang dihitung melalui prosedur yang dirancang untuk mencakup parameter populasi pada tingkat jangka panjang tertentu.
• Untuk rata-rata normal dengan σ diketahui, interval 95% adalah rata-rata sampel ±1.96σ/√n.
• Perhatikan: Prosedur kepercayaan 95% tidak memberikan probabilitas 95% bahwa rata-rata populasi tetap berada dalam satu interval ini.

Tulis dari nilai chi-square 6

• Jumlah observasi adalah 18 dan 6. Jumlah harapan adalah 12 dan 12.
• Temukan statistik chi-square. Korelasi yang kuat tidak membuktikan hubungan sebab-akibat.