1 · Bilangan dan aljabar

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL · Topik 1

Lihat Salindia Latih

1.1

Cakupan dan prasyarat

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

1.2

Aritmatika tepat dan estimasi

Bisakah kita mengisi tanpa sisa?

Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.

Metode

Faktor prima mengungkap struktur bersama.
Gunakan pangkat faktor prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK.
Perkirakan sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.

Contoh terpecahkan

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

Contoh:

72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.

Pohon faktor: 72 terpecah menjadi 2, 2, 2, 3, 3 dan 90 menjadi 2, 3, 3, 5; faktor prima bersama menghasilkan FPB 18 — Pokok faktor: 72 = 2³ × 3² dan 90 = 2 × 3² × 5, jadi HCF = 2 × 3² = 18

Di mana hal itu gagal

FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda.
Estimasi desimal bukan pecahan eksak.

Tidak benar: FPB dari dua bilangan bulat positif selalu lebih besar dari salah satu bilangan tersebut. FPB membagi kedua bilangan, sehingga tidak pernah bisa lebih besar dari bilangan yang lebih kecil: FPB dari 72 dan 90 adalah 18.

Menerapkannya

Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan penyederhanaan.
Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.

Dalam kursus Anda

Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.

Kunci:

Faktor prima: Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Faktor prima mengungkap struktur bersama.
Perhatikan: FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.

Tuliskan berdasarkan FPB dari 4

Temukan FPB dan KPK dari 20 dan 28.
FPB lebih kecil dari kedua bilangan bulat tersebut.

Jelajahi

Aritmatika eksak dan estimasi

Faktor primes mengungkap struktur bersama

Gabungkan pangkat umum 2 dan 9 untuk membenarkan 18 karung identik.

1.3

Persentase, rasio, dan penalaran proporsional

Bisakah kita memulihkan harga asli?

Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.

Metode

Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
Balik persentase dengan membagi pengalinya.
Dalam rasio, temukan terlebih dahulu jumlah total bagian.

Contoh terpecahkan

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

Contoh:

Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.

Diagram batang: harga awal 300 yuan, 240 setelah diskon 20%, 288 setelah kenaikan 20% lagi — 300 → 240 → 288 yuan: diskon 20% kemudian kenaikan 20% tidak mengembalikan nilai ke 300, karena kenaikan 20% kedua didasarkan pada 240

Di mana hal itu gagal

Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
Mengurangkan persentase kehilangan basis tersebut.
Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.

Tidak benar: Penurunan 20% diikuti kenaikan 20% tidak mengembalikan harga awal. Kenaikan 20% diambil dari jumlah yang lebih kecil: 100×0.8×1.2=96, bukan 100.

Menerapkannya

Untuk proporsional langsung gunakan y=kx; untuk proporsional terbalik gunakan y=k/x.
Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru.
Nyatakan apa yang Anda tetapkan tetap konstan.

Dalam kursus Anda

Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

Pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
Perhatikan: Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.

Tuliskan berdasarkan harga akhir 396

Harga 400 turun sebesar 10 persen lalu naik sebesar 10 persen.
Temukan harga akhir. Kedua perubahan tersebut tidak saling menghilangkan.

Jelajahi

Persentase, rasio dan penalaran proporsional

Kenaikan p% memiliki faktor pengali 1+p/100; penurunan memiliki faktor pengali 1-p/100

Jelaskan mengapa penurunan 20% diikuti kenaikan 20% menghasilkan 288 bukan 300.

1.4

Barisan, deret, dan rekurensi

Apakah perubahan menambah atau mengalikan?

Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.

Metode

Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r).
Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.

Contoh terpecahkan

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

Contoh:

Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.

Titik-titik untuk barisan aritmatika 5, 8, 11 dan seterusnya, naik sebesar 3 untuk setiap suku hingga suku kedelapan, 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): langkah-langkah sama sebesar 3 menempatkan suku-suku pada garis lurus

Di mana hal itu gagal

Suku pertama berindeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah.
Barisan geometri dapat bergantian tanda dan tetap konvergen.

Tidak benar: Setiap deret geometri memiliki jumlah tak hingga yang terbatas. Jumlah tak hingga hanya ada ketika −1<r<1; untuk r=2 suku-sukunya membesar tanpa batas.

Menerapkannya

Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau perkalian.
Dalam keuangan, bedakan setoran tunggal dari serangkaian setoran sebelum memilih rumus jumlah.

Dalam kursus Anda

Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

Rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut pada barisan geometri.
Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
Perhatikan: suku pertama memiliki indeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.

Tuliskan berdasarkan suku ke-6 19

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 9 dan beda 2.
Temukan suku ke-6. Deret geometri tak hingga memerlukan rasio dengan nilai mutlak di bawah 1.

Jelajahi

Barisan, deret, dan rekurensi

Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2

Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.

1.5

Model urutan setoran berulang dan penjadwalan

Garis waktu mana yang dijelaskan oleh jumlah tersebut?

Dua pembayaran yang sama dapat menghasilkan jumlah bunga yang berbeda jika salah satu dibayar lebih awal.
Pelajaran ini mempelajari deposit: Jumlah yang ditambahkan ke akun pada waktu tertentu.

Metode

Tentukan saldo segera setelah peristiwa yang disebutkan dan berikan saldo awal.
Dengan faktor pertumbuhan r dan setoran akhir periode d, B₀=0 dan B_n=rB_(n−1)+d.
Saldo ke-n adalah d(1+r+…+r^(n−1))=d(r^n−1)/(r−1) untuk r≠1.
Untuk r=1, gunakan B_n=nd.
Jumlah periode n adalah bilangan bulat nonnegatif.

Contoh terpecahkan

$$B_0=0,\quad B_n=rB_{n-1}+d,\quad B_n=d\frac{r^n-1}{r-1}\ (r\ne1)$$

Contoh:

Gunakan tingkat pertumbuhan ilustratif 5% per periode dan setoran 100 unit pada setiap akhir periode. B₁=100, B₂=1.05×100+100=205 dan B₃=1.05×205+100=315.25. Setoran pertama mendapat bunga selama n−1 periode, sementara yang terakhir tidak mendapat bunga saat B_n diukur. Demikianlah B_n=100(1.05^n−1)/0.05. Untuk target setidaknya 500, B₄=431.0125<500 dan B₅=552.563125≥500, jadi 5 periode cukup pertama kali. Saldo melebihi lima setoran yang berjumlah 500 sebanyak 52.563125 unit. Jika setoran yang sama dilakukan pada setiap awal periode dan saldo diukur pada akhir periode, C_n=1.05(B_n); oleh karena itu C₃=331.0125, bukan 315.25.

Dua garis keseimbangan selama 6 periode, setoran di awal sedikit lebih tinggi daripada setoran di akhir; garis setoran di akhir pertama kali melewati target 500 pada n = 5 — Setoran di awal menghasilkan satu periode bunga tambahan; saldo setoran di akhir pertama kali melebihi 500 pada n = 5

Di mana hal itu gagal

Jangan berikan periode bunga tambahan pada setoran akhir periode terakhir.
Saldo mencakup baik setoran maupun pertumbuhan; itu bukan hanya bunganya saja.
Target pasti dan target minimal memerlukan pemeriksaan bilangan bulat yang berbeda.
Suku tahunan yang dikutip tidak dapat langsung digunakan sebagai faktor per-bulan tanpa konversi yang sesuai.

Tidak benar: Setoran di awal dan akhir periode selalu memberikan saldo akhir yang sama. Setoran di awal periode menghasilkan satu periode bunga tambahan, sehingga saldo akhirnya lebih besar.

Menerapkannya

Ilustrasi ini mengasumsikan suku per periode tetap, setoran yang sama, tanpa biaya atau penarikan, serta waktu pelipatan bunga/pembayaran yang disebutkan.
Jika hal-hal ini berubah, perhalus rekurensi: B_n=(1+i_n)B_(n−1)+d_n−w_n untuk setoran/penarikan akhir periode.
Simpan buku catatan terpisah dari pembayaran untuk mengidentifikasi pertumbuhan.
Bandingkan saldo periode bersebelahan sebelum mengklaim persilangan target pertama; di sini semua saldo nonnegatif dan B_n−B_(n−1)=0.05B_(n−1)+100>0.

Dalam kursus Anda

Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

Setoran: Jumlah uang yang ditambahkan ke akun pada waktu tertentu.
Tentukan saldo segera setelah peristiwa yang disebutkan dan berikan saldo awal.
Perhatikan: jangan berikan deposit akhir periode tambahan satu periode bunga.

Jelajahi

Model dan waktu penyetoran berulang

Tentukan saldo segera setelah peristiwa yang disebutkan dan berikan saldo awal

Jejakkan setiap pembayaran melalui jadwal pelipatan bunga yang ditentukan.

Kosa kata Latih

English	Bahasa Indonesia
prime factor/praɪm ˈfæktə/	faktor prima
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	pengali
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	rasio umum
deposit/dɪˈpɒzɪt/	setoran
determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/	determinan
complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/	konjugat kompleks

1.6

Transformasi matriks, invers, dan nilai eigen

Ke mana vektor basis pergi?

Pemetaan meregangkan satu arah dan menjorokkan (shear) arah lain. Matriks mencatat transformasi setiap vektor basis.
Pelajaran ini mempelajari determinan: Skalar yang menentukan apakah matriks persegi dapat dibalik inversnya dan, dalam dua dimensi, faktor luas bertenagnya.

Metode

Matriks 2×2 [[a,b],[c,d]] memiliki determinan ad-bc dan invers [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) jika determinannya tidak nol.
Ubah vektor kolom dengan perkalian kiri.
Matriks paling kanan bertindak pertama dalam suatu perkalian.

Contoh terpecahkan

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

Contoh:

Untuk A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). Inversnya adalah [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. Persamaan karakteristiknya adalah (2-λ)(3-λ)=0, sehingga nilai eigen adalah 2 dan 3.

The unit square and its image, a parallelogram with corners (0, 0), (2, 0), (3, 3) and (1, 3) — Kolom (2, 0) dan (1, 3) adalah citra vektor basis; faktor skala luasnya adalah determinan, 6

Di mana hal itu gagal

Perkalian matriks biasanya tidak komutatif.
Determinan nol berarti transformasi kehilangan satu dimensi dan tidak memiliki invers.
Nilai eigen dan diagonalisasi adalah materi tingkat lanjut, bukan konten vektor GCSE biasa.

Tidak benar: Setiap matriks persegi memiliki invers. Matriks persegi dengan determinan 0 bersifat singular dan tidak memiliki invers.

Menerapkannya

Temukan vektor eigen dengan menyelesaikan (A-λI)v=0 dengan v≠0.
Jelaskan makna geometrisnya: vektor ini mempertahankan arah garisnya di bawah transformasi tersebut.

Dalam kursus Anda

Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

Determinan: Skalar yang menentukan apakah suatu matriks persegi dapat diinverskan, dan pada dua dimensi, faktor luasnya dengan tanda.
Matriks 2×2 [[a,b],[c,d]] memiliki determinan ad-bc dan invers [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) jika determinannya tidak nol.
Perhatikan: perkalian matriks umumnya tidak komutatif.

Tulis dari determinan 8

Matriks tersebut memiliki baris (4, 1) dan (0, 2).
Temukan determinannya. Matriks persegi dengan determinan 0 tidak memiliki invers.

Jelajahi

Transformasi matriks, invers, dan nilai eigen

Matriks 2×2 [[a,b],[c,d]] memiliki determinan ad-bc dan invers [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) jika determinannya tidak nol

Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.

1.7

Bilangan kompleks dan akar

Bagaimana jika akarnya bukan bilangan real?

Persamaan x²+1=0 tidak memiliki akar real. Memperluas sistem bilangan memungkinkan kita merepresentasikan dan menghitung kedua akarnya.
Pelajaran ini mempelajari konjugat kompleks: Bilangan yang diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner.

Metode

Tulis z=a+bi dengan i²=-1.
Konjugatnya adalah a-bi dan z dikali konjugatnya=a²+b².
Modulusnya adalah √(a²+b²); argumen memerlukan kuadran yang tepat.
Akar konjugat muncul pada polinomial dengan koefisien real.

Contoh terpecahkan

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

Contoh:

Untuk z=3+4i, |z|=5 dan konjugat z=3-4i. Resiproknya adalah (3-4i)/25. Untuk x²-6x+13=0, akarnya adalah 3±2i. Mengalikan dengan konjugat membuat penyebut kompleks menjadi real.

Diagram Argand dengan 3 + 4i di atas sumbu real dan konjugatnya 3 − 4i yang direfleksikan di bawahnya — Konjugat 3 − 4i adalah refleksi dari 3 + 4i terhadap sumbu real; keduanya memiliki modulus 5

Di mana hal itu gagal

Akar kuadrat dari suatu jumlah bukan merupakan jumlah dari akar-akar kuadratnya.
Invers tangen saja mungkin mengembalikan kuadran yang salah.
Jangan keliru antara modulus dengan modulus kuadrat.

Tidak benar: Untuk a+bi, modulusnya selalu a+b. Modulusnya adalah √(a²+b²): untuk 3+4i nilainya adalah 5, bukan 7.

Menerapkannya

Gambar sumbu real secara horizontal dan sumbu imajiner secara vertikal.
Untuk perkalian, modulus dikalikan dan argumen dijumlahkan; pangkat memperluas pola geometris ini melalui teorema de Moivre.

Dalam kursus Anda

Aplikasi dan Interpretasi HL, kursus pertama kali diujikan pada 2021.
Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.

Kunci:

Konjugat kompleks: Bilangan yang diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner.
Tulis z=a+bi dengan i²=-1.
Waspadai: akar kuadrat dari suatu jumlah bukan merupakan jumlah dari akar-akar kuadratnya.

Tulis dari modulus 17

Temukan modulus dari 8 ditambah 15 i.
Modulus bukan merupakan jumlah dari kedua bagian tersebut.

Tulis dari modulus 5

Temukan modulus dari 3 ditambah 4 i.
Akar dari 9 ditambah 16 = 5 — Teorema Pythagoras lagi, dalam bidang kompleks.

Tulis dari perkalian 25

Kalikan z = 3 ditambah 4 i dengan konjugatnya.
Hasil kalinya adalah 25 — z dikali konjugatnya selalu merupakan kuadrat modulus, yaitu bilangan real.

Jelajahi

Bilangan kompleks dan akar

Tulis z=a+bi dengan i²=-1

Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.

Pelajaran interaktif untuk topik ini

Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.

Topik lain dalam International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL