Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Pilih struktur matematika
Faktor-faktor prime mengungkap struktur bersama. Gunakan pangkat prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK. Perkirakan sebelum menghitung; gunakan kurung untuk menjaga urutan operasi.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.
Uji jalan pintas yang menggoda
FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya. Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda. Estimasi desimal bukan pecahan eksak.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
FPB dari dua bilangan bulat positif selalu lebih besar dari masing-masing bilangan tersebut. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan dalam bentuk eksak dan tunjukkan pembatalan. Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
1.3
Indeks, bentuk akar, dan notasi ilmiah
Sekecil apa panjang mikroskopis?
Mikrokop merekam panjang 0.000072 meter. Representasi ringkas harus mempertahankan ukurannya tetap benar.
Pelajaran ini mempelajari eksponen: pangkat yang应用于 basis.
Pilih struktur matematika
Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan eksponen dan pembagian menguranginya. Eksponen negatif berarti kebalikan; eksponen pecahan mewakili akar. Bentuk standar memiliki 1≤a<10.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
0.000072=7.2×10^(-5). Juga 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Sederhanakan √72=6√2, kemudian rasionalisasi $1/\sqrt{2}$=√2/2.
Uji jalan pintas yang menggoda
Hukum eksponen tidak mengubah jumlah menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7. Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Untuk setiap a positif, a^2+a^3 sama dengan a^5. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Periksa pangkat dari sepuluh terhadap besaran asli. Gunakan bentuk akar untuk geometri eksak, dan bulatkan hanya panjang akhir ketika soal meminta desimal.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.
Pilih struktur matematika
Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r). Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.
Uji jalan pintas yang menggoda
Suku pertama memiliki indeks 1, sehingga pangkatnya adalah n-1. Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah. Barisan geometri dapat berganti tanda namun tetap konvergen.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap deret geometri memiliki jumlah hingga tak hingga yang terbatas. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau multiplikatif. Dalam keuangan, bedakan deposit tunggal dari aliran deposit sebelum memilih rumus jumlah.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
1.5
Persentase, rasio, dan penalaran proporsional
Bisakah kita memulihkan harga asli?
Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Pilih struktur matematika
Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100. Balik persentase dengan membagi dengan pengali. Dalam rasio, pertama-tama temukan total jumlah bagian.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.
Uji jalan pintas yang menggoda
Persentase menggunakan basis yang dinyatakan. Mengurangkan persentase menghilangkan basis tersebut. Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Penurunan 20% diikuti peningkatan 20% mengembalikan harga awal. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Untuk proporsi langsung gunakan y=kx; untuk proporsi terbalik gunakan y=k/x. Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru. Nyatakan apa yang Anda pegang konstan.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
2.2
Domain, invers, dan komposisi
Input mana yang diperbolehkan?
Model akar kuadrat menghasilkan output real hanya untuk beberapa input. Rumusnya saja tidak menentukan fungsi lengkap.
Pelajaran ini mempelajari domain: Himpunan input yang diizinkan untuk suatu fungsi.
Pilih struktur matematika
Nyatakan domain dan jangkauan. Untuk invers, pastikan terlebih dahulu fungsi tersebut satu-satu pada domainnya. Komposisi fg berarti terapkan g terlebih dahulu, kemudian f; output antara harus menjadi input yang diizinkan untuk f.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk f(x)=√(x-2), x≥2 dan jangkauannya adalah y≥0. Dari y=√(x-2), diperoleh x=y²+2. Dengan demikian f invers(x)=x²+2 dengan x≥0. Untuk g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Uji jalan pintas yang menggoda
Pengkuadratan dapat memperkenalkan penyelesaian tambahan. Membatasi daerah asal parabola adalah hal yang penting sebelum mengklaim adanya fungsi invers. Translasi horizontal di dalam f memiliki tanda berlawanan dengan pergerakan graf.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap fungsi kuadrat pada semua bilangan real memiliki fungsi invers. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Periksa f(f invers(x))=x pada daerah invers. Gunakan sketsa untuk menguji apakah garis horizontal memotong graf asli lebih dari sekali.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Himpunan input yang diperbolehkan ke dalam sebuah fungsi. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Konsentrasi obat turun dengan persentase yang sama setiap jam. Pengurangan konstan akan akhirnya memprediksi jumlah negatif.
Pelajaran ini mempelajari waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya.
Pilih struktur matematika
Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional. Mengambil logaritma menghasilkan ln y=ln A+kt. Logaritma memerlukan argumen positif, dan log(x+y) tidak sama dengan log x+log y.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Jika y=80e^(-0.2t), y=40 menghasilkan e^(-0.2t)=1/2. Maka t=ln2/0.2≈3.466. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Memplot ln y terhadap t melinearisasi model eksponensial ini.
Uji jalan pintas yang menggoda
Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan. Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaannya. Nilai k negatif menggambarkan peluruhan; nilai awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Untuk x dan y positif, ln(x+y)=ln x+ln y. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Bandingkan observasi aktual dengan model. Penyimpangan sistematis mungkin mengindikasikan kondisi yang berubah. Dalam laporan, jelaskan apa arti laju dan nilai awal, alih-alih hanya memberikan persamaan mentah.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
3.2
Penalaran sudut, kesebangunan, dan pengukuran
Apakah volume berskala seperti panjang?
Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.
Pilih struktur matematika
Untuk bangun serupa dengan faktor skala panjang k, luas diperkali k² dan volume diperkali k³. Nyatakan alasan sudut secara eksplisit. Garis singgung lingkangan tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgungnya.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Jika faktor panjang model ke asli adalah 3, luas model 12 cm² menghasilkan 12×3²=108 cm² dan volume model 8 cm³ menghasilkan 8×3³=216 cm³. Silinder dengan r=3, h=5 memiliki volume πr²h=45π.
Uji jalan pintas yang menggoda
Sudut yang sama saja tidak menjamin kemiripan, bukan kesamaan ukuran. Gunakan panjang yang bersesuaian dalam urutan yang sama. Konversikan satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikan faktor konversi dengan benar.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Menggandakan setiap panjang padatan solid menggandakan volumenya. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Bukti geometri harus menyebutkan teorema yang relevan, mengidentifikasi sudut sama atau rasio, dan menarik kesimpulan. Gambar skala hanyalah bukti ketika tugas memungkinkan pengukuran.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
3.3
Segitiga siku-siku dan segitiga tak siku-siku
Sisi mana yang dibutuhkan tangga?
Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
Pilih struktur matematika
Dalam segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=depan/miring, cosθ=samping/miring dan tanθ=depan/samping. Untuk segitiga lain, gunakan aturan sinus atau kosinus, atau luas=ab sin C/2.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Dengan dua sisi 6 dan 8 yang membentuk sudut 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Uji jalan pintas yang menggoda
Tandai sisi relatif terhadap sudut yang dipilih. Pythagoras membutuhkan sudut siku-siku. Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah. Simpan nilai tanpa pembulatan untuk langkah selanjutnya.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Gunakan denah atau gambar elevasi untuk masalah tiga dimensi sebelum menerapkan aturan segitiga. Jelaskan mengapa segitiga yang dipilih memuat panjang atau sudut yang diperlukan.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan tafsirkan hasilnya.
3.4
Radian, identitas, dan persamaan trigonometri
Seberapa jauh rim bergerak?
Roda berputar menyapu busur. Radian memungkinkan sudutnya terhubung langsung dengan jarak yang ditempuh sepanjang rim.
Pelajaran ini mempelajari radian: sudut yang dibentuk oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari.
Pilih struktur matematika
Untuk θ dalam radian, panjang busur s=rθ dan luas sektor A=r²θ/2. Gunakan sin²θ+cos²θ=1 dan identitas sudut untuk menyederhanakan atau menyelesaikan. Tuliskan setiap solusi pada interval yang ditentukan.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk r=4 dan θ=π/3, s=4π/3 dan A=8π/3. Menyelesaikan sin x=1/2 pada 0≤x<2π menghasilkan x=π/6 dan 5π/6. Untuk sin2x=1/2, selesaikan terlebih dahulu pada 0≤2x<4π sebelum membagi dengan 2.
Uji jalan pintas yang menggoda
Invers sinus kalkulator memberikan satu nilai utama. Kalkulator tidak memberikan semua solusi. Membagi dengan sin x dapat menghilangkan solusi di mana sin x=0; periksa kasus ini terlebih dahulu.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Nilai utama arcsinus selalu menjadi satu-satunya solusi dalam satu putaran penuh. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Pilih identitas yang menyederhanakan persamaan menjadi satu fungsi trigonometri. Pertahankan sudut familiar yang eksak jika memungkinkan, dan periksa setiap solusi terhadap persamaan asli.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Sudut yang dibentuk oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
Bisakah satu nilai rata-rata menceritakan seluruh kisah?
Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
Pilih struktur matematika
Bandingkan purata dan sebaran yang sesuai dalam konteks. Histogram menggunakan kawasan untuk frekuensi, maka tinggi=frekuensi/lebar kelas. Anggaran berkumpulan mengandaikan nilai perwakilan dalam selang.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.
Uji jalan pintas yang menggoda
Bar histogram tertinggi tidak semestinya mengandungi paling banyak pemerhatian. Purata berkumpulan adalah anggaran. Korelasi tidak membuktikan punca, dan ekstrapolasi melampaui julat yang diperhatikan.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Tinggi bar histogram sentiasa bersamaan dengan frekuensinya, walaupun dengan lebar kelas yang tidak sama. Tesis ini salah. Jelaskan definisi atau pengandaian mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Pilih paparan yang sesuai dengan jenis data. Berikan perbandingan numerikal dan apa artinya bagi populasi; jangan inferkan ketepatan lebih daripada yang disokong oleh sampel.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram. Pilih hubungan, tunjukkan kaedah, periksa pengandaian dan tafsirkan hasilnya.
4.3
Probabilitas, pohon keputusan, dan penalaran bersyarat
Apa yang berubah setelah pengambilan pertama?
Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
Pilih struktur matematika
Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang yang saling lepas. Dengan pengembalian, komposisinya tetap tetap. Probabilitas bersyarat adalah P(A diberikan B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.
Uji jalan pintas yang menggoda
Saling eksklusif berarti tidak ada tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lain. Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harus independen. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Tabel dua arah membuat penyebut yang dibatasi terlihat. Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
4.4
Model binomial, normal, dan Poisson
Apa yang membuat penghitungan dapat diprediksi?
Seorang inspektur kualitas menghitung barang cacat. Jumlahnya acak, tetapi model dapat menggambarkan rentang yang mungkin.
Pelajaran ini mempelajari nilai ekspektasi: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak.
Pilih struktur matematika
Model binomial memerlukan n tetap, percobaan independen, dua hasil, dan p konstan. E(X)=np dan Var(X)=np(1-p). Untuk model normal gunakan z=(x-μ)/σ. Model Poisson menggambarkan jumlah hitungan dengan laju konstan dan asumsi independensi yang sesuai.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 dan Var(X)=0.8. Untuk kuantitas normal dengan μ=100, σ=15, nilai 130 memiliki z=2. Rata-rata Poisson 3 per jam memberikan rata-rata 6 selama dua jam.
Uji jalan pintas yang menggoda
Tidak semua variabel hitung mengikuti distribusi binomial: perubahan pada p atau adanya ketergantungan dapat membatalkannya. Untuk variabel kontinu, probabilitas satu nilai eksak adalah nol. Koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap jumlah keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Tuliskan kejadian sebagai pertidaksamaan sebelum menggunakan fungsi distribusi kalkulator. Bedakan P(X<k), P(X≤k) dan komplemen ekor. Nyatakan asumsi dalam konteksnya.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Rata-rata tertimbang probabilitas dari suatu variabel acak. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
5.2
Turunan dan titik stasioner
Bagaimana kemiringan pada satu titik?
Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.
Pilih struktur matematika
Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Titik stasioner memenuhi dy/dx=0. Periksa perubahan tanda turunan, atau turunan kedua jika tidak nol, untuk mengklasifikasikannya.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.
Uji jalan pintas yang menggoda
Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ bersifat stasioner di 0 tetapi tetap terus meningkat. Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum atau minimum lokal. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Di GCSE/IGCSE gunakan hanya jangkauan polinomial yang diizinkan oleh tingkatan; jangan tambahkan aturan rantai, perkalian, atau pembagian di sana. Di tingkat lanjutan, hubungkan turunan dengan laju dan optimasi dengan domain yang valid.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.
Grafik kecepatan memberi tahu kita gerakan pada suatu saat. Bagaimana kita dapat memulihkan perpindahan yang terkumpul seiring waktu?
Pelajaran ini mempelajari integral tak tentu: Fungsi yang turunannya sama dengan fungsi pengintegrasian (integran) yang diberikan.
Pilih struktur matematika
Untuk n≠-1, integral dari ax^n adalah ax^(n+1)/(n+1)+C. Integral tertentu merupakan akumulasi bertanda. Pisahkan pada perubahan tanda jika luas total atau jarak diperlukan.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Untuk v(t)=3t²-3 atas 0≤t≤2, perpindahan=[t³-3t]_0^2=2. Karena v berubah tanda pada t=1, jarak=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Konstanta saling menghilangkan hanya untuk integral tertentu.
Uji jalan pintas yang menggoda
Integral dari 1/x adalah ln|x|+C, bukan aturan pangkat dengan n=-1. Luas bertanda bisa nol meskipun luas total yang terkurung positif.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Integral tertentu selalu sama dengan total luas positif, bahkan ketika grafik memotong sumbu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Identifikasi makna integral dan sertakan satuan yang benar. Laju yang diukur per detik diintegralkan menjadi besaran mendasar, bukan laju lain. Turunkan integral tak tentu untuk memeriksanya.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Fungsi yang turunannya sama dengan fungsi pengintegrasian (integran) yang diberikan. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
Fokus SL yang didukung. Penilaian pertama 2021; berlaku hingga 2028. Kursus penilaian-2029 pertama adalah terpisah. Panduan, persyaratan penilaian, dan praktik yang tersisa tetap mempertahankan catatan yang ada.
Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang disebutkan, gunakan aritmatika, dan kondisi model di bawah ini. Setiap pelajaran mengembangkan metodenya sendiri sebelum transfer mandiri.
Ini adalah contoh pengajaran asli atau fiksi eksplisit, bukan pengukuran aktual atau penyelidikan pembelajaran yang selesai dan dinilai.
Apa yang menjadikan sebuah penyelidikan bersifat matematis?
Seorang siswa ingin memprediksi waktu tunggu antrean di kantin sekolah. Eksplorasi yang berguna memerlukan pertanyaan, data, dan matematika yang dapat dijelaskan siswa.
Pelajaran ini mempelajari asumsi: Kondisi yang diambil agar model matematis memungkinkan dan efeknya harus dievaluasi.
Pilih struktur matematika
Rangkai pertanyaan terfokus dengan variabel terukur dan metode yang layak. Simpan catatan bertanggal mengenai keputusan, sumber, dan penalaran matematika. Gunakan teknologi untuk mendukung analisis, dan jelaskan setiap output penting dengan kata-kata Anda sendiri.
Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Kerjakan kasus yang diverifikasi
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Contoh:
Seorang perintis mencatat rata-rata waktu tunggu 3,5,7 menit ketika 10,20,30 orang berada di depannya. Model pertama adalah t=1+0.2n. Pada n=25 memprediksi 6 menit. Waktu tunggu aktual 8 memberikan residual 2; selidiki variasi laju layanan daripada menyembunyikan ketidakcocokan.
Uji jalan pintas yang menggoda
Jangan menyalin contoh eksplorasi, inventarisasi data, atau buat keterlibatan pribadi. Prediksi bukan bukti sampai dibandingkan dengan observasi. Persetujuan dan privasi penting saat mengumpulkan data sekolah.
Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Peringatan:
Eksplorasi matematis yang diawasi sekolah dapat digantikan oleh ujian tiruan tertulis berbatas waktu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Interpretasikan situasi baru
Sekolah mengawasi persetujuan topik, titik pemeriksaan, autentisitas, dan penilaian. Untuk kurikulum 2021 saat ini gunakan panduan dan kriteria sekolah saat ini; kriteria penyelidikan 2029 milik versi penilaian berbeda.
Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Gunakan ini dalam kursus Anda
Penilaian pertama saat ini-2021 Analisis dan Pendekatan SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kunci:
Kondisi yang diambil agar model matematis memungkinkan dan efeknya harus dievaluasi. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.
