QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

Fungsi gelombang terikat dapat meluas di luar sumur terbatas meskipun energi partikel berada di bawah potensial eksternal.

Prasyarat: 5, 24, 37.

• Cocokkan keadaan sumur terbatas yang memudar dan turunkan kondisi kuantisasi bergantung paritas
• Tafsirkan akar keadaan terikat tak berdimensi dan bedakan pengapitan dari hamburan
• Gunakan bilangan kuantum hidrogenik, momentum sudut, dan ukuran probabilitas radial

Deklarasikan sumur simetris V=−V₀ untuk |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 dan massa yang sama di seluruh tempat. Energi terikat terletak antara −V₀ dan nol. Di dalamnya, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ menghasilkan solusi osilator; di luar, κ=√(−2mE)/$\hbar$ menghasilkan ekor meluruh. Tolak eksponensial tumbuh untuk mendapatkan keadaan yang dapat dinormalisasi. Simetri pantul memungkinkan keadaan cos(kx) genap atau sin(kx) ganjil di bagian dalam. Pada batas finite tanpa interaksi delta, baik ψ maupun ψ′ kontinu. pencocokan genap memberikan k tan(ka)=κ; pencocokan ganjil memberikan −k cot(ka)=κ. Sumur finite tidak memerlukan ψ menghilang di tepinya seperti dinding tak hingga.

Perkenalkan z=ka dan ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Kemudian κa=√(ρ²−z²) dan 0<z<ρ. Selesaikan z tan z=√(ρ²−z²) untuk keadaan genap, atau −z cot z=√(ρ²−z²) untuk keadaan ganjil, pada interval dengan tanda yang sesuai dan menjauhi kutub tangen. Energi mengikuti sebagai E/V₀=z²/ρ²−1. Untuk ρ=1, akar dasar terletak dalam 0<z<1 dan persamaan genap setara di sana dengan z=cos z. Bisection atau pencari akar yang konvergen memberikan z≈0.739085 dan E/V₀≈−0.453753. Karena ρ<π/2, tidak ada cabang keadaan terikat ganjil yang sesuai. Dalam satu dimensi, sumur persegi menarik memiliki keadaan dasar terikat genap meskipun sedalam apa pun; ekor ambang E=0 tidak dapat terintegralkan secara kuadrat.

Untuk keadaan terikat genap tulis ψ=A cos(kx) di dalam dan ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] di luar. Kelanjutan menetapkan amplitudo ekor relatif; integralkan |ψ|² di atas kedua bagian dalam dan ekor untuk menentukan A. Probabilitas di luar sumur tidak nol dan bergantung pada kedalaman, lebar, dan keadaan yang dipilih. Keadaan terikat memiliki energi diskrit dan asimtot peluruhan yang dinormalisasi. Keadaan hamburan dengan E>0 memiliki gelombang eksternal merambat dan dinormalisasi atau ditafsirkan menggunakan konvensi kontinum/aliran. Ekor yang meluruh bukan bukti bahwa keadaan melanggar kekekalan energi, dan amplitudo ekor mentah bukanlah probabilitas di luar hingga diintegrasikan dan dinormalisasi.

Untuk ion Coulomb satu elektron dengan muatan inti Ze, gunakan model potensial pusat non-relativistik dan pendekatan inti berat kecuali massa tereduksi ditentukan. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; bilangan orbital yang diperbolehkan adalah n≥1, l=0,…,n−1 dan m_l=−l,…,l. L² memiliki nilai eigen l(l+1)$\hbar$² dan L_z=m_l$\hbar$; orbital 1s dasar memiliki l=0, meskipun aturan orbit lingkaran Bohr historis. Degenerasi spasial pada n tetap adalah Σ_l(2l+1)=n² sebelum koreksi spin dan struktur halus. Jika ψ=R_nl(r)Y_lm dengan bagian sudut dinormalisasi, probabilitas radial dalam dr adalah r²|R|²dr, bukan hanya |R|²dr. Untuk hidrogen 1s, densitas radialnya adalah 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: memuncak di r=a₀ dan memiliki rata-rata 3a₀/2, sementara densitas titik tiga dimensi terbesar di titik asal. Bedakan ukuran-ukuran ini sebelum menemukan jari-jari yang paling mungkin.

Sumur terbatas memiliki V = -V0 untuk $|x|<a$ dan nol di luar. Energi terikat berada tepat antara -V0 dan nol. Definisikan

Paritas genap memberikan cosinus interior dan ekor meluruh. Mencocokkan nilai dan turunan pada a menghasilkan Paritas ganjil sebaliknya menghasilkan $-k\cot(ka)=\kappa$. Selesaikan hanya dalam interval paritas yang valid; akar pada kutub tangen bukan merupakan keadaan terikat.

Gunakan nol potensial yang dideklarasikan, cocokkan ψ′ selain ψ, dan sertakan ukuran cangkang radial. Ekor terikat dan gelombang perjalanan kontinum memiliki rezim energi yang berbeda.

keadaan terikat: Keadaan diam yang dinormalisasi dengan probabilitas terkonsentrasi dan energi diskrit dalam model yang ditentukan.

densitas probabilitas radial: Probabilitas per jarak radial, termasuk ukuran cangkang bola setelah integrasi sudut.