C.12 · Laju terkait dan limit pecahan yang dapat dihapus

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aturan rantai, penampang melingkar, dan limit.

• Terjemahkan laju geometri menjadi turunan dari besaran yang relevan
• Turunkan dan diferensiasikan rumus volume kap bola
• Pisahkan perluasan hasil bagi kontinu dari perluasan yang terdiferensiasi

related rate (laju terkait): Laju yang diperoleh dengan mendifferensiasikan hubungan antara besaran yang berubah.

removable limit (limit yang dapat dihilangkan): Limit berhingga di sekitar titik yang digunakan untuk mengisi nilai fungsi yang hilang secara kontinu.

Untuk besaran V yang bergantung pada kedalaman h(t) yang berubah, aturan rantai memberikan dV/dt=V′(h) dh/dt. Tangki yang mengosongkan memiliki dh/dt<0, sehingga dV/dt bertanda negatif; besar aliran keluar adalah negatifnya. Gambarlah geometri dan tentukan kedalaman instan sebelum mensubstitusikan angka. Jangan perlakukan laju sebagai volume statis dibagi selang waktu kecuali situasi tersebut secara spesifik menyatakan laju rata-rata konstan.

Tangki bola berjari-jari R memiliki jari-jari penampang kuadrat R²−(R−h)²=2Rh−h² pada kedalaman h dari dasar. Mengintegralkan area lingkaran ini memberikan volume tutup V(h)=π(Rh²−h³/3), untuk 0≤h≤2R. Turunannya π(2Rh−h²) adalah area penampang saat ini. Pada R=3,h=1,dh/dt=−1/4, laju volume bertanda adalah −5π/4 dan besar aliran keluar 5π/4. Formula ini bekerja untuk tutup dangkal maupun dalam dalam rentang yang disebutkan.

Jika f dan g terdiferensiasi kontinyu di sekitar nol, f(0)=g(0)=0 dan g′(0)≠0, maka f(x)/g(x) mendekati f′(0)/g′(0). Hal ini mengikuti dari f(x)=f′(0)x+o(x) dan g(x)=g′(0)x+o(x); kontinuitas g′ menjaga hasil bagi tetap terdefinisi di sekitar titik tersebut kecuali di nol. Mengisi limit ini memberikan perluasan kontinu. Argumen ini tidak memerlukan f′(0) tak nol, dan tidak membuktikan bahwa hasil bagi yang diperluas terdiferensiasi.

Untuk f(x)=x|x| dan g(x)=x, keduanya terdiferensiasi kontinyu, f(0)=g(0)=0 dan g′(0)=1. Hasil bagi mereka untuk x≠0 adalah |x|, yang dapat diperluas secara kontinu di nol tetapi memiliki turunan satu sisi yang berbeda di sana. Untuk (f²−f)/(2g−g³), faktorkan menjadi (f/g)(f−1)/(2−g²); limit yang dapat dihilangkannya adalah −f′(0)/(2g′(0)). Faktor tambahan mendekati −1 dan 2. Bedakanlah limit hasil bagi dengan turunan dari perluasannya.

Untuk bola dengan R=3 dan kedalaman h=1, luas penampang adalah π(6−1)=5π. Penurunan kedalaman sebesar 1/4 per satuan waktu oleh karena itu menghilangkan volume dengan magnitudo 5π/4 per satuan waktu. Untuk f(x)=sin(2x), g(x)=3x, hasil bagi memperluas di nol dengan nilai 2/3. Limit ini tidak mengatakan apa pun tentang ukuran tangki dan tidak boleh disubstitusikan sebagai laju turunan tanpa mengidentifikasi besaran yang bergantung.

Gunakan luas penampang instan, bukan luas permukaan total tangki. Laporkan perubahan volume bertanda atau aliran keluar positif seperti yang diminta. Limit hasil bagi hingga yang dapat dihilangkan menetapkan kontinuitas, bukan keterdiferensiasian hasil bagi yang diisi.

Tangki bola berjari-jari 2 m dan kedalaman air h diukur dari dasarnya. Turunkan V(h). Pada h=1 m dan $dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$, temukan perubahan volume bertanda dan besar aliran keluar.

Penyelesaian terarah

Pada kedalaman s, jari-jari penampang melingkar memenuhi $r(s)^2=2Rs-s^2$. Mengintegrasikan cakram memberikan $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$ untuk $0\le h\le2R$.

Besar aliran keluar adalah $0.3\pi\ \mathrm{m^3/min}$. Tanda menggambarkan kehilangan air tersimpan, bukan aliran keluar fisik yang negatif.

Misalkan f,g terdiferensiasi kontinyu di sekitar nol, $f(0)=g(0)=0$, $f'(0)=4$, $g'(0)=2$. Temukan limit yang dapat dihilangkan dari $(f^2-f)/(2g-g^3)$. Apakah asumsi-asumsi ini menyiratkan diferensiasi hasil bagi yang diperluas? Berikan contoh penyangkal untuk implikasi umum tersebut.

Periksa setelah mencoba

Karena g'(0) tak nol, penyebut tak nol di sekitar nol kecuali di nol. Faktorkan ekspresi menjadi $(f/g)(f-1)/(2-g^2)$. Limitnya adalah $(4/2)(-1)/2=-1$. Diferensiasi orde pertama memberikan $f/g\to f'(0)/g'(0)$; hal ini tidak memberikan kontrol orde kedua. Sebagai penyangkal yang mempertahankan turunan ini, ambil $f(x)=4x+x|x|$ dan $g(x)=2x$. Keduanya terdiferensialkan secara kontinu. Untuk x tak nol, hasil baginya menjadi $(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$. Ekspansinya adalah $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$, memberikan turunan satu sisi yang berbeda. Dengan demikian, perluasan tersebut kontinu tetapi tidak terdiferensial.