Laju terkait dan limit pecahan yang dapat dihapuskan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| removable limit/rɪˈmuːvəbl ˈlɪmɪt/ | limit yang dapat dihapus |
| related rate/rɪˈleɪtɪd reɪt/ | laju terkait |
Keputusan sebelum jawaban
- Laju kedalaman air bukan laju aliran volume: luas penampang tangki berubah seiring kedalaman. Limit hasil bagi juga dapat memiliki nilai hingga tanpa memberikan fungsi perpanjangan yang terdiferensiasi.
- Tujuan Anda: Terjemahkan laju geometris menjadi turunan dari besaran yang relevan.
Bacalah hubungannya
- Untuk besaran V yang bergantung pada kedalaman h(t) yang berubah, aturan rantai memberikan dV/dt=V′(h) dh/dt. Tangki yang dikuras memiliki dh/dt<0, sehingga dV/dt bertanda negatif; magnitudo aliran keluar adalah negatifnya. Gambarlah geometri dan sebutkan kedalaman instan sebelum mensubstitusikan angka. Jangan perlakukan laju sebagai volume statis dibagi waktu yang berlalu kecuali situasi tersebut benar-benar menentukan rata-rata konstan.
- Turunkan dan diferensiasikan rumus volume kap bola.
A radius-3 spherical tank has depth 1 decreasing at 1/4 per time unit. What is the positive outflow magnitude?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cross-section area is π(2Rh−h²)=5π. Multiply by depth-decrease magnitude 1/4.
Gunakan aturan penentu
- Tangki bola berjari-jari R memiliki kuadrat jari-jari penampang R²−(R−h)²=2Rh−h² pada kedalaman h dari dasar. Mengintegrasikan luas lingkaran ini memberikan volume kap V(h)=π(Rh²−h³/3), untuk 0≤h≤2R. Turunannya π(2Rh−h²) adalah luas penampang saat itu. Pada R=3, h=1, dh/dt=−1/4, laju volume bertanda adalah −5π/4 dan magnitudo aliran keluar 5π/4. Rumus ini berlaku untuk kap dangkal maupun dalam dalam rentang yang ditentukan.
- Pisahkan perpanjangan hasil bagi kontinu dari perpanjangan yang terdiferensiasi.
For x≠0, f(x)=x|x|,g(x)=x. What happens when f/g is filled in at zero?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quotient is |x|. Filling in zero gives continuity, while the left and right derivatives are −1 and 1.
Periksa syarat-syaratnya
- Jika f dan g terdiferensiasi kontinyu di dekat nol, f(0)=g(0)=0 dan g′(0)≠0, maka f(x)/g(x) cenderung ke f′(0)/g′(0). Ini mengikuti dari f(x)=f′(0)x+o(x) dan g(x)=g′(0)x+o(x); kontinuitas g′ menjaga hasil bagi terdefinisi di dekatnya kecuali di nol. Mengisi nilai limit ini memberikan perluasan kontinyu. Argumen ini tidak memerlukan f′(0) nonzero, dan tidak membuktikan hasil bagi yang diperluas terdiferensiasi.
- Pisahkan perpanjangan hasil bagi kontinu dari perpanjangan yang terdiferensiasi.
Untuk bola dengan R=3 dan kedalaman h=1, luas penampang adalah π(6−1)=5π. Penurunan kedalaman sebesar 1/4 per satuan waktu oleh karena itu menghilangkan volume dengan magnitudo 5π/4 per satuan waktu. Untuk f(x)=sin(2x), g(x)=3x, hasil bagi memperluas di nol dengan nilai 2/3. Limit ini tidak mengatakan apa pun tentang ukuran tangki dan tidak boleh disubstitusikan sebagai laju turunan tanpa mengidentifikasi besaran yang bergantung.
For f(x)=sin(2x) and g(x)=3x, express the removable quotient value as a fraction: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The derivatives at zero are 2 and 3, so their quotient gives the limit 2/3.
Terapkan format tugas
- Untuk f(x)=x|x| dan g(x)=x, keduanya terdiferensiasi terus-menerus, f(0)=g(0)=0 dan g′(0)=1. Hasil bagi mereka untuk x≠0 adalah |x|, yang memperluas secara kontinu di nol tetapi memiliki turunan satu-sisi yang tidak sama di sana. Untuk (f²−f)/(2g−g³), faktorkan menjadi (f/g)(f−1)/(2−g²); limit yang dapat dihilangkannya adalah −f′(0)/(2g′(0)). Faktor tambahan mendekati −1 dan 2. Bedakan limit hasil bagi dengan turunan dari perpanjangannya.
- Pisahkan perpanjangan hasil bagi kontinu dari perpanjangan yang terdiferensiasi.
Gunakan luas penampang instan, bukan luas permukaan total tangki. Laporkan perubahan volume bertanda atau aliran keluar positif seperti yang diminta. Limit hasil bagi hingga yang dapat dihilangkan menetapkan kontinuitas, bukan keterdiferensiasian hasil bagi yang diisi.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Terjemahkan laju geometri menjadi turunan dari besaran yang relevan
A continuously differentiable numerator and denominator with simple denominator zero always give a differentiable quotient extension.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The numerator x|x| and denominator x meet the assumptions, but their filled-in quotient |x| is not differentiable at zero.
Jaga pembedaan
- laju terkait — Laju yang diperoleh dengan mendifferensiasikan hubungan antara besaran yang berubah.
- limit yang dapat dihilangkan — Limit hingga terdekat yang digunakan untuk mengisi nilai fungsi yang hilang secara kontinu.
- Terjemahkan laju geometri menjadi turunan dari besaran yang relevan.
- Turunkan dan diferensiasikan rumus volume kap bola.
- Pisahkan perpanjangan hasil bagi kontinu dari perpanjangan yang terdiferensiasi.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.