P2 · Pure Mathematics 2

Matematika Murni 2 (P2) adalah unit wajib kedua di International AS Mathematics dan International AS Pure Mathematics, serta pada kedua jalur International A Level. Referensi ini mencakup semua topik P2 dalam spesifikasi Edexcel IAL (Edisi 3, April 2019): pembuktian, teorema faktor dan sisa, geometri lingkaran, barisan dan deret, eksponensial dan logaritma, identitas dan persamaan trigonometri, titik stasioner, dan integrasi termasuk luas dan aturan trapesium.

• Ujian P2 (WMA12/01) berlangsung selama 1 jam 30 menit dengan 75 soal. Pengetahuan tentang P1 dan rumus-rumusnya diasumsikan dan dapat diujikan pada kertas P2.
• Kalkulator yang sama dan aturan Rumus Matematika dan Tabel Statistik berwarna kuning berlaku seperti untuk P1. Rumus-rumus di bawah ini tidak ada dalam buku — hafalkanlah.
• Pertanyaan "Tunjukkan semua tahap perhitungan" menolak jawaban kalkulator saja; berikan jawaban tidak tepat ke 3 angka penting kecuali diperintahkan lain.

Rumus yang harus Anda kuasai untuk P2 (dari informasi penilaian spesifikasi):

Pembuktian dimulai dari asumsi yang diberikan melalui langkah-langkah logis menuju kesimpulan. P2 menggunakan tiga metode:

• Pembuktian dengan pengurasan: bagi kemungkinan menjadi kasus-kasus dan periksa setiap kasusnya.
• Penyangkalan dengan contoh penyangkal: satu contoh yang melanggar klaim membantahnya.
• Pembuktian aljabar: mulai dari apa yang diberikan, manipulasi identitas (bukan persamaan yang diselesaikan), dan akhiri dengan pernyataan target.

Contoh terpecahkan — pengurasan (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q10). Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif $m$ yang bukan kelipatan 3, nilai $m^2 + 3m + 2$ selalu merupakan kelipatan 3.

• Faktorkan terlebih dahulu: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• Bilangan bulat positif yang tidak habis dibagi oleh 3 adalaheither $m = 3q + 1$ atau $m = 3q + 2$ — itu semua kedua kasus, sehingga mengujinya membuktikan klaim.
• Kasus $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — kelipatan dari 3.
• Kasus $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — kelipatan dari 3.
• Kedua kasus memberikan kelipatan dari 3, sehingga $3 \mid m^2+3m+2$ setiap kali $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• Cek: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

Contoh terpecahkan — kontracontoh. Bantah: "$n^2 - n + 1$ adalah prima untuk semua bilangan bulat $n \ge 2$."

• Satu contoh penyangkal sudah cukup. Coba $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, yang bukan prima.
• Klaim tersebut salah. Periksa $n = 2,3,4$ menghasilkan prima $3, 7, 13$ — pola ini berlaku pada awalnya, yang tepatnya karena contoh penyangkal, bukan lebih banyak contoh, yang menjawab pertanyaan.

Untuk polinomial $f(x)$:

• Teorema faktor: $(x - b)$ adalah faktor dari $f(x)$ tepat ketika $f(b) = 0$. Untuk pembagi berbentuk $(ax - b)$: jika $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ maka $(ax - b)$ adalah faktor.
• Teorema sisa: membagi $f(x)$ dengan $(ax - b)$ menyisakan sisa $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• Pembagian aljabar oleh $(ax \pm b)$ menghasilkan hasil bagi dan sisa; derajat turun satu: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

Contoh terpecahkan — kedua teorema sekaligus (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, di mana $(x+3)$ adalah faktor dari $f(x)$ dan membagi $f(x)$ dengan $(2x - 1)$ menyisakan sisa 7.

(a) Tunjukkan bahwa $b = 3a + 2$.

• Teorem faktor: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) Tentukan $a$ dan $b$.

• Teorem sisa dengan $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• Substitusi $b = 3a + 2$: $a + 6a + 4 = 60$, sehingga $a = 8$ dan $b = 26$.
• Periksa: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ dan $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) Hasil bagi dan sisa ketika $f(x)$ dibagi oleh $(x - 2)$.

• Bagi $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ dengan $(x-2)$: hasil bagi $8x^2 + 42x + 89$, sisa $175$.
• Periksa dengan membangun kembali: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

Lingkaran berpusat di $(a, b)$ dengan jari-jari $r$ memiliki persamaan

Diberikan bentuk展开 $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, kuadratkan sempurna untuk mendapatkan pusat $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ dan $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. Tiga sifat lingkaran dianalisis sebagai berikut:

• sudut dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku;
• garis tegak lurus dari pusat ke tali busur membagi dua tali busur tersebut;
• garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari pada titik singgungnya.

Contoh terpecahkan — titik ujung diameter (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q2). Garis menghubungkan $(-2, 5)$ dan $(4, 15)$ adalah diameter lingkaran $C$.

(a) Persamaan $C$.

• Titik pusat adalah titik tengah: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• Kuadrat diameter: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, sehingga $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• Periksa: kedua ujung memenuhi persamaan: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ dan $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(b) Koordinat eksak titik pada $C$ yang terdekat dengan sumbu $x$.

• Titik terdekat terletak pada jari-jari vertikal: $x$ sama dengan pusat, $r$ di bawahnya:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• Periksa: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, dan tidak ada $y$ yang lebih kecil mungkin karena pusat berada $10 > \sqrt{34}$ di atas sumbu.

Urutan dapat diberikan oleh rumus untuk suku ke-$n$ atau melalui relasi $x_{n+1} = f(x_n)$. Deskripsikan sebagai naik, turun atau periodik (dari sukunya, bukan dari rumusnya).

Urutan aritmetika: beda konstan $d$.

Bukti rumus jumlah (tulis $S_n$ maju dan mundur, lalu tambahkan) harus diketahui, begitu pula $\Sigma$ notasi.

Urutan geometri: rasio konstan $r$.

Bukti rumus jumlah ($S_n - rS_n$ teleskopik) harus diketahui. Gunakan logaritma untuk menyelesaikan untuk $n$ ketika nilai suatu suku diberikan.

Ekspansi binomial untuk bilangan bulat positif $n$:

Contoh terpecahkan — deret geometri dengan logaritma (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q7). Deret geometri dimulai $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(a) Jumlah tak hingga.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$, dan $|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) Suku ke-$k$ kurang dari 0.0005 — temukan nilai smallest $k$ menggunakan aljabar.

• Suku ke-$k$ adalah $10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• Ambil logaritma (log dari bilangan di bawah 1 bernilai negatif — pertahankan arah ketaksamaan saat membaginya):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• Maka $k > 45.38$ dan bilangan bulat terkecilnya adalah $k = 46$.
• Cek: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ tetapi $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✗.

Contoh terpecahkan — jumlah aritmatika maksimum (disesuaikan dari soal yang sama). Deret aritmatika dimulai $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). Jumlah parsial tertingginya:

• Suku tetap positif hingga $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, sehingga $n \le 122.4$; suku ke-122 adalah $850 - 7(121) = 3 > 0$ dan suku ke-123 adalah $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• Cek: menambahkan suku ke-123 yang negatif akan mengurangi jumlah, sehingga $S_{122}$ adalah maksimum ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) melalui $(0, 1)$ dan tumbuh tanpa batas untuk $a > 1$. Fungsi logaritma $\log_a x$ membalikkannya: $\log_a x = y$ berarti $a^y = x$. Hafalkan:

dan $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. Selesaikan $a^x = b$ dengan $x = \log_a b$ (perubahan basis mungkin diperlukan) (digunakan). Selalu periksa kandidat terhadap domain: logaritma memerlukan argumen positif.

Contoh terpecahkan — persamaan logaritma (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q6). Selesaikan $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• Satukan semua ke dalam satu log di setiap sisi:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• Logaritma yang sama menghasilkan argumen yang sama:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• Pengecekan domain: $4 - x > 0$ memerlukan $x < 4$, sehingga $x = 14$ ditolak. $x = -2$.
• Cek: SRS $= 2\log_2 6$; SRK $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

Contoh terpecahkan — titik potong eksak dalam bentuk $\log_3$ (soal yang sama). Kurva $y = 3^{2x+1}$ dan $y = 6 \times 3^x$ bertemu di $P$; tulis $P$ sebagai $(\log_3 a, b)$.

• Samakan dan substitusikan $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, sehingga $a = 2$, $b = 12$. Cek: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

Dua identitas mengkonversi antara sinus, kosinus, dan tangen:

Selesaikan persamaan trigonometri pada interval tertentu dengan menyederhanakan menjadi satu fungsi (sering kali kuadrat tersembunyi), kemudian membaca solusi kedua dari simetri grafik. Nyatakan interval, gunakan satuannya (derajat atau radian), dan tolak nilai di luar batas.

Contoh terpecahkan — radian dan pecahan eksak (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q8). Selesaikan $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ untuk $0 \le x < \pi$.

• Bagi dengan 3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, dan $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• Dalam $0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) dan $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Cek: pada $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ dan $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

Contoh terpecahkan — kuadrat tersembunyi dalam cosinus (soalan yang sama). Selesaikan $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ untuk $0 \le \theta < 360°$.

• Gantikan $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ dan darabkan keseluruhan persamaan dengan $\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• Gunakan $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• Rumus kuadratik dalam $\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• Akar $-$ berada di bawah $-1$ (tolak); $\cos\theta = 0.6385$ memberikan $\theta = 50.3°$ dan, daripada simetri kosinus, $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• Semakan: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; kedua-dua sudut terletak dalam selang ✓.

Titik stasioner mempunyai $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Klasifikasikan dengan tanda pembezaan:

• pembezaan berubah dari $+$ ke $-$: maksimum;
• pembezaan berubah dari $-$ ke $+$: minimum;
• pembezaan kedua membantu: $f''(x) > 0$ pada titik tersebut mengesahkan minimum, $f''(x) < 0$ adalah maksimum.

Fungsi adalah meningkat apabila $f'(x) > 0$ dan menurun apabila $f'(x) < 0$. Masalah praktikal — bahan paling sedikit, kos paling rendah — diterjemahkan kepada pengoptimuman ungkapan dalam satu pemboleh ubah.

Contoh terpecahkan — optimum pemodelan (disesuaikan daripada Edexcel IAL WMA12 Jun 2025 Soalan9). Alur terbuka memiliki hujung berbentuk segi tiga siku-siku dengan kaki $3x$ dan $2x$ (meter), sisi segi empat tepat $3x \times L$ dan $2x \times L$, serta kapasitas $12\ \text{m}^3$. Luas sisi logam adalah $S\ \text{m}^2$.

(a) Tunjukkan $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• Volume: luas penampang $\times$ dikali panjang $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, sehingga $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• Luas permukaan: dua segitiga ditambah dua persegi panjang:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) Nilai minimum $S$ menggunakan kalkulus.

(c) Justifikasi nilai minimum tersebut.

• Turunan kedua positif di seluruh domain: titik stasioner merupakan minimum ✓.
• Cek: pada $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

Evaluasi integral tentu dengan teorema dasar kalkulus:

Integral tentu merepresentasikan luas di bawah kurva untuk $y \ge 0$. Untuk daerah dibatasi oleh kurva dan garis, integralkan (atas − bawah) di antara titik potongnya, pecah di mana pun urutan mereka berubah. Periksa grafik mana yang berada di atas yang lain.

Contoh terpecahkan — luas antara kurva dan garis (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA12 Juni 2025 Q3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) dengan $P(1, 11)$ dan $Q(4, 5)$ pada $C$; tentukan luas antara $C$ dan ruas garis $PQ$.

• Garis $PQ$: gradien $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, sehingga $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• Cek $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• Luas di bawah garis: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Luas di bawah kurva: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• Luas daerah: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ satuan persegi.
• Cek: garis berada di atas kurva sepanjang waktu (pada $x = 2$: garis $9$, kurva $3(2) + 4 - 8 = 2$), sehingga mengurangkan kurva dari garis adalah cara yang benar ✓.

Aturan trapesium mengestimasi luas dengan $n$ strip selebar $h$:

Lebih banyak strip (atau kurva yang lebih lurus) meningkatkan estimasi; kurva yang melengkung ke atas (konveks, berbentuk U seperti $x^2$) meninggalkan setiap tali busur di atasnya, sehingga aturan ini melebih-lebihkan, sementara kurva yang melengkung ke bawah (konkaf, seperti $\sqrt x$ atau busur lingkaran) meninggalkan tali busur di bawah nya, sehingga aturan ini meremehkan.

Contoh terpecah — aturan trapesium dengan tabel. Estimasi $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ dengan 4 strip.

• Empat strip pada $[1, 3]$ menghasilkan $h = 0.5$ dan lima nilai $y = \dfrac1x$: pada $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ nilainya adalah $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• Nilai sebenarnya adalah $\ln 3 = 1.099$ (3 angka penting). Estimasi merupakan kelebihan: $y = 1/x$ adalah konveks (melengkung ke atas), sehingga setiap strip lurus berada di atas kurva ✓.

• Susun pembuktian; gunakan pengurasan untuk semua kasus; bantah dengan satu contoh penyangkal.
• Terapkan teorema faktor dan sisa, termasuk pembagi $(ax - b)$, dan lakukan pembagian aljabar dengan hasil bagi dan sisa. pembagian aljabar dengan hasil bagi dan sisa.
• Temukan pusat dan jari-jari lingkaran dari salah satu bentuknya; gunakan tiga sifat lingkaran.
• Gunakan $a_n$, $S_n$ dan $S_\infty$ untuk deret aritmatika dan geometri (keduanya pembuktian rumus jumlah), notasi $\Sigma$, dan logaritma untuk menemukan $n$.
• Jabarkan $(a + bx)^n$ dengan koefisien binomial, dan cocokkan koefisien yang diberikan.
• Selesaikan persamaan logaritma dengan tiga aturan, periksa domain; berikan titik potong tepat sebagai $(\log_a b, c)$ ketika diminta.
• Sederhanakan persamaan trigonometri dengan $\tan = \sin/\cos$ dan $\sin^2 + \cos^2 = 1$; selesaikan dalam derajat atau radian sesuai yang diberikan, daftarkan semua solusi interval.
• Temukan dan klasifikasikan titik stasioner; justifikasikan dengan perubahan tanda atau turunan kedua; susun pemodelan minimum dalam satu variabel.
• Evaluasi integral tentu; temukan luas di bawah kurva dan antara kurva dan garis; terapkan aturan trapesium dari tabel dan nyatakan arah kesalahannya.